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10. 假设$●$，$▲$，$■$表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么$▲$和$■$，$●$和$▲$两种物体的质量之间有什么相等关系呢？
(1)用含有符号$●$，$▲$，$■$的等式加以表示；
(2)使用字母表示(1)中的相等关系，并使字母的系数为尽量小的整数.
(1)用含有符号$●$，$▲$，$■$的等式加以表示；
(2)使用字母表示(1)中的相等关系，并使字母的系数为尽量小的整数.
答案
10. (1)$3▲=2■,3●=▲+●$.
(2)设物体$▲$的质量为 $x$,物体$■$的质量为 $y$,则 $3x=2y$.
设物体$●$的质量为 $z$,则 $3z=x+z$,即 $2z=x$.
(2)设物体$▲$的质量为 $x$,物体$■$的质量为 $y$,则 $3x=2y$.
设物体$●$的质量为 $z$,则 $3z=x+z$,即 $2z=x$.
解析
【分析】首先根据天平平衡时左右两边总质量相等的原理，分别从两次天平中提取等量关系：第一次天平左侧是3个▲，右侧是2个■，可建立▲与■的质量关系；第二次天平左侧是3个●，右侧是1个▲加1个●，可建立●与▲的质量关系，再通过等式的性质化简得到结果。
【解析】根据天平平衡的性质，左右两边物体总质量相等：
(1) 由图(1)可得：$3▲ = 2■$；
由图(2)可得：$3● = ▲ + ●$，根据等式的基本性质，两边同时减去$●$，得$3● - ● = ▲ + ● - ●$，即$2● = ▲$。
(2) 设$▲$的质量为$x$，$■$的质量为$y$，将$3▲=2■$代入得：$3x = 2y$；
设$●$的质量为$z$，将$2●=▲$代入得：$2z = x$。
【答案】(1)$3▲=2■,3●=▲+●$；(2)设$▲$为$x$，$■$为$y$，则$3x=2y$；设$●$为$z$，则$2z=x$。
【知识点】等式的性质、等量关系、用字母表示数
【点评】本题以天平平衡为载体考查等量关系的建立，核心是利用等式的基本性质化简式子，属于基础应用题，能帮助学生巩固对等式性质的理解，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据天平平衡的性质，左右两边物体总质量相等：
(1) 由图(1)可得：$3▲ = 2■$；
由图(2)可得：$3● = ▲ + ●$，根据等式的基本性质，两边同时减去$●$，得$3● - ● = ▲ + ● - ●$，即$2● = ▲$。
(2) 设$▲$的质量为$x$，$■$的质量为$y$，将$3▲=2■$代入得：$3x = 2y$；
设$●$的质量为$z$，将$2●=▲$代入得：$2z = x$。
【答案】(1)$3▲=2■,3●=▲+●$；(2)设$▲$为$x$，$■$为$y$，则$3x=2y$；设$●$为$z$，则$2z=x$。
【知识点】等式的性质、等量关系、用字母表示数
【点评】本题以天平平衡为载体考查等量关系的建立，核心是利用等式的基本性质化简式子，属于基础应用题，能帮助学生巩固对等式性质的理解，难度较低。
【难度系数】0.7
11. (2024·广东佛山南海区期末)综合与实践
某兴趣小组利用长为 $ a $ 厘米,宽为 $ b $ 厘米的长方形纸板制作长方体纸盒,做了以下尝试：
(纸板厚度及接缝处忽略不计)
(1)如图(1),若 $ a = b $,先在纸板四角剪去4个同样大小边长为 $ c $ 厘米的小正方形,再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒,此时 $ b $ 与 $ c $ 的数量关系为
(2)如图(2),若 $ a = b $,先在纸板四角剪去4个同样大小边长为 $ c $ 厘米的小正方形,再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒,为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的,将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面,要求既不重叠又恰好铺满,此时 $ b $ 与 $ c $ 的数量关系为
(3)若 $ a = 20, b = 12 $,在纸板四角剪去4个同样大小边长为 $ c $ 厘米的小正方形,恰好可以制作成一个无盖的长方体纸盒,请你通过列表研究,当 $ c $ 取何整数时,所得长方体的体积 $ V $ 最大?
精题详解
某兴趣小组利用长为 $ a $ 厘米,宽为 $ b $ 厘米的长方形纸板制作长方体纸盒,做了以下尝试：
(纸板厚度及接缝处忽略不计)
(1)如图(1),若 $ a = b $,先在纸板四角剪去4个同样大小边长为 $ c $ 厘米的小正方形,再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒,此时 $ b $ 与 $ c $ 的数量关系为
$b=3c$
.(2)如图(2),若 $ a = b $,先在纸板四角剪去4个同样大小边长为 $ c $ 厘米的小正方形,再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒,为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的,将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面,要求既不重叠又恰好铺满,此时 $ b $ 与 $ c $ 的数量关系为
$b=4c$
.(3)若 $ a = 20, b = 12 $,在纸板四角剪去4个同样大小边长为 $ c $ 厘米的小正方形,恰好可以制作成一个无盖的长方体纸盒,请你通过列表研究,当 $ c $ 取何整数时,所得长方体的体积 $ V $ 最大?
精题详解
答案
11. (1)$b=3c$ [解析]由题意,得 $b-2c=c$,$\therefore b=3c$.
(2)$b=4c$ [解析]$\because$ 在纸板四角剪去四个同样大小边长为 $c$ 厘米的小正方形,$\therefore$ 剩余长为 $b-2c$.
$\because$ 剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面,要求既不重叠又恰好铺满，
$\therefore$ 此时的长为 $2c$,$\therefore b-2c=2c$,$\therefore b=4c$.
(3)由表格中的数据,可知当 $c≥2$ 时,随着 $c$ 的增大,体积$V$逐渐减小,并且当 $c=2$ 时,$V$ 的值大于 $c=1$ 时 $V$ 的值，
$\therefore$ 当 $c=2$ 时,所得长方体的体积 $V$ 最大.
(2)$b=4c$ [解析]$\because$ 在纸板四角剪去四个同样大小边长为 $c$ 厘米的小正方形,$\therefore$ 剩余长为 $b-2c$.
$\because$ 剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面,要求既不重叠又恰好铺满，
$\therefore$ 此时的长为 $2c$,$\therefore b-2c=2c$,$\therefore b=4c$.
(3)由表格中的数据,可知当 $c≥2$ 时,随着 $c$ 的增大,体积$V$逐渐减小,并且当 $c=2$ 时,$V$ 的值大于 $c=1$ 时 $V$ 的值，
$\therefore$ 当 $c=2$ 时,所得长方体的体积 $V$ 最大.
解析
【分析】
本题围绕长方形纸板制作无盖长方体纸盒展开，分三小问分析：
(1) 折成无盖正方体时，正方体各边长相等，剪去小正方形后，纸盒的底面边长和高均等于小正方形边长c，据此建立宽b与c的关系；
(2) 折成无盖长方体后，底面的长由原宽b减去两个小正方形边长得到，剪下的四个小正方形平铺底面刚好铺满，说明底面长等于2个小正方形边长，据此推导b与c的关系；
(3) 先根据长方体体积公式写出V关于c的表达式，再确定c的整数取值范围，通过计算不同整数c对应的体积，比较后找到最大值对应的c。
【解析】
(1) 因为折成的是无盖正方体纸盒，所以正方体的棱长均相等，剪去边长为c的小正方形后，纸盒的底面边长和高都等于c。原长方形的宽为b，剪去左右两个小正方形的边长后，剩余长度等于正方体的棱长c，因此有：$b - 2c = c$，解得$b = 3c$。
(2) 折成无盖长方体纸盒后，底面的长为原宽b减去上下两个小正方形的边长，即$b - 2c$。剪下的四个小正方形平铺底面既不重叠又恰好铺满，说明底面的长等于2个小正方形的边长（$2c$），因此有：$b - 2c = 2c$，解得$b = 4c$。
(3) 长方体体积公式为$V = 长×宽×高$，本题中，长$= 20 - 2c$，宽$= 12 - 2c$，高$= c$，所以$V = c(20 - 2c)(12 - 2c)$。
确定c的取值范围：要使长方体的长和宽均为正数，需满足$20 - 2c ＞ 0$且$12 - 2c ＞ 0$，解得$c ＜ 6$，又$c ＞ 0$，且c为整数，所以c可取1、2、3、4、5。
分别计算各整数c对应的体积：
当$c=1$时，$V=1×(20-2×1)×(12-2×1)=1×18×10=180$；
当$c=2$时，$V=2×(20-2×2)×(12-2×2)=2×16×8=256$；
当$c=3$时，$V=3×(20-2×3)×(12-2×3)=3×14×6=252$；
当$c=4$时，$V=4×(20-2×4)×(12-2×4)=4×12×4=192$；
当$c=5$时，$V=5×(20-2×5)×(12-2×5)=5×10×2=100$；
比较可知，当$c=2$时，体积V最大。
【答案】
(1) $b=3c$；(2) $b=4c$；(3) 当$c=2$时，所得长方体的体积$V$最大。
【知识点】
整式的运算、长方体体积、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际制作长方体纸盒的情境，考查了图形边长关系的推导、体积计算及最值求解，需要学生理解图形变化后的边长变化，通过列表计算比较体积大小，是一道综合性较强的实践应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕长方形纸板制作无盖长方体纸盒展开，分三小问分析：
(1) 折成无盖正方体时，正方体各边长相等，剪去小正方形后，纸盒的底面边长和高均等于小正方形边长c，据此建立宽b与c的关系；
(2) 折成无盖长方体后，底面的长由原宽b减去两个小正方形边长得到，剪下的四个小正方形平铺底面刚好铺满，说明底面长等于2个小正方形边长，据此推导b与c的关系；
(3) 先根据长方体体积公式写出V关于c的表达式，再确定c的整数取值范围，通过计算不同整数c对应的体积，比较后找到最大值对应的c。
【解析】
(1) 因为折成的是无盖正方体纸盒，所以正方体的棱长均相等，剪去边长为c的小正方形后，纸盒的底面边长和高都等于c。原长方形的宽为b，剪去左右两个小正方形的边长后，剩余长度等于正方体的棱长c，因此有：$b - 2c = c$，解得$b = 3c$。
(2) 折成无盖长方体纸盒后，底面的长为原宽b减去上下两个小正方形的边长，即$b - 2c$。剪下的四个小正方形平铺底面既不重叠又恰好铺满，说明底面的长等于2个小正方形的边长（$2c$），因此有：$b - 2c = 2c$，解得$b = 4c$。
(3) 长方体体积公式为$V = 长×宽×高$，本题中，长$= 20 - 2c$，宽$= 12 - 2c$，高$= c$，所以$V = c(20 - 2c)(12 - 2c)$。
确定c的取值范围：要使长方体的长和宽均为正数，需满足$20 - 2c ＞ 0$且$12 - 2c ＞ 0$，解得$c ＜ 6$，又$c ＞ 0$，且c为整数，所以c可取1、2、3、4、5。
分别计算各整数c对应的体积：
当$c=1$时，$V=1×(20-2×1)×(12-2×1)=1×18×10=180$；
当$c=2$时，$V=2×(20-2×2)×(12-2×2)=2×16×8=256$；
当$c=3$时，$V=3×(20-2×3)×(12-2×3)=3×14×6=252$；
当$c=4$时，$V=4×(20-2×4)×(12-2×4)=4×12×4=192$；
当$c=5$时，$V=5×(20-2×5)×(12-2×5)=5×10×2=100$；
比较可知，当$c=2$时，体积V最大。
【答案】
(1) $b=3c$；(2) $b=4c$；(3) 当$c=2$时，所得长方体的体积$V$最大。
【知识点】
整式的运算、长方体体积、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际制作长方体纸盒的情境，考查了图形边长关系的推导、体积计算及最值求解，需要学生理解图形变化后的边长变化，通过列表计算比较体积大小，是一道综合性较强的实践应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
