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17. 如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB = EF = 2 cm,BC = FG = 8 cm,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合.当两张纸片交叉所成的角α最小时,重叠部分的面积等于
$\dfrac{17}{2}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
17. $\frac{17}{2}\ \mathrm{cm}^2$ 【点拨】本题考查矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理.
【解析】如题图,设AD与EH的交点为点K,BC与EH的交点为点M,与FD的交点为点N.
∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形,
∴∠ADC=∠HDF=90°,CD=AB=EF=HD=2 cm,∠C=∠H=90°,
∴∠CDN=∠HDK,
∴△CDN≌△HDK(ASA),
∴DN=DK.
∵四边形DNMK是平行四边形,
∴平行四边形DNMK是菱形,
∴MN=DN.
∵将两纸片按题图所示叠放,使点D与点G重合,且重叠部分为平行四边形,
∴当点B与点E重合时,两张纸片交叉所成的角α最小,设DN=MN=a cm,则CN=(8-a)cm,
∵$DN^2=CD^2+CN^2$,
∴$a^2=2^2+(8-a)^2$,解得$a=\frac{17}{4}$,
∴DN=$\frac{17}{4}$ cm,
∴重叠部分的面积=$DN·EF=\frac{17}{4}×2=\frac{17}{2}(\mathrm{cm}^2)$.故答案为$\frac{17}{2}\ \mathrm{cm}^2$.
【解析】如题图,设AD与EH的交点为点K,BC与EH的交点为点M,与FD的交点为点N.
∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形,
∴∠ADC=∠HDF=90°,CD=AB=EF=HD=2 cm,∠C=∠H=90°,
∴∠CDN=∠HDK,
∴△CDN≌△HDK(ASA),
∴DN=DK.
∵四边形DNMK是平行四边形,
∴平行四边形DNMK是菱形,
∴MN=DN.
∵将两纸片按题图所示叠放,使点D与点G重合,且重叠部分为平行四边形,
∴当点B与点E重合时,两张纸片交叉所成的角α最小,设DN=MN=a cm,则CN=(8-a)cm,
∵$DN^2=CD^2+CN^2$,
∴$a^2=2^2+(8-a)^2$,解得$a=\frac{17}{4}$,
∴DN=$\frac{17}{4}$ cm,
∴重叠部分的面积=$DN·EF=\frac{17}{4}×2=\frac{17}{2}(\mathrm{cm}^2)$.故答案为$\frac{17}{2}\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】要解决本题，需先明确两张矩形纸片的性质，当交叉角α最小时，重叠的平行四边形为菱形。利用矩形的直角和对边相等，证明三角形全等得到边的关系，再结合菱形性质和勾股定理建立方程，求出菱形边长后计算面积。
【解析】
1. 由四边形ABCD和EFGH是矩形，得∠ADC=∠HDF=90°，CD=AB=2cm，HD=EF=2cm，故CD=HD，∠C=∠H=90°，因此∠CDN=∠HDK，可证△CDN≌△HDK（ASA），得DN=DK。
2. 因为重叠部分四边形DNMK是平行四边形，且DN=DK，所以平行四边形DNMK是菱形，即MN=DN。
3. 当α最小时，点B与点E重合，设DN=a cm，则CN=(8 - a)cm。在Rt△CDN中，根据勾股定理：DN²=CD² + CN²，代入得a²=2² + (8 - a)²，展开计算：a²=4 + 64 -16a +a²，化简得16a=68，解得a=17/4。
4. 重叠部分为菱形，面积=底×高，底为DN=17/4 cm，高为EF=2cm，所以面积=17/4 ×2=17/2 (cm²)。
【答案】$\frac{17}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】矩形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】本题综合运用矩形、菱形的性质及勾股定理，关键是确定α最小时重叠部分为菱形，通过全等三角形转化边的关系，体现了几何推理与方程思想的结合，需学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】0.4
【解析】
1. 由四边形ABCD和EFGH是矩形，得∠ADC=∠HDF=90°，CD=AB=2cm，HD=EF=2cm，故CD=HD，∠C=∠H=90°，因此∠CDN=∠HDK，可证△CDN≌△HDK（ASA），得DN=DK。
2. 因为重叠部分四边形DNMK是平行四边形，且DN=DK，所以平行四边形DNMK是菱形，即MN=DN。
3. 当α最小时，点B与点E重合，设DN=a cm，则CN=(8 - a)cm。在Rt△CDN中，根据勾股定理：DN²=CD² + CN²，代入得a²=2² + (8 - a)²，展开计算：a²=4 + 64 -16a +a²，化简得16a=68，解得a=17/4。
4. 重叠部分为菱形，面积=底×高，底为DN=17/4 cm，高为EF=2cm，所以面积=17/4 ×2=17/2 (cm²)。
【答案】$\frac{17}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】矩形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】本题综合运用矩形、菱形的性质及勾股定理，关键是确定α最小时重叠部分为菱形，通过全等三角形转化边的关系，体现了几何推理与方程思想的结合，需学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】0.4
18. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$,$∠ BCD$的平分线交$AD$于点$F$,则线段$EF$的长为________.
答案
18. 4 【点拨】本题考查平行四边形的性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定.
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=6,AD=BC=8,AD//BC,
∴∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF.
∵BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠ABE=∠CBE,∠BCF=∠DCF,
∴∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF,
∴AB=AE=6,DF=CD=6,
∴EF=AE+DF-AD=6+6-8=4.故答案为4.
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=6,AD=BC=8,AD//BC,
∴∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF.
∵BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠ABE=∠CBE,∠BCF=∠DCF,
∴∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF,
∴AB=AE=6,DF=CD=6,
∴EF=AE+DF-AD=6+6-8=4.故答案为4.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用平行四边形的性质结合角平分线的定义推导等腰三角形，再通过线段和差计算EF的长度：首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到角的等量关系；再结合角平分线推出等腰三角形，得到对应线段相等；最后代入线段和差公式计算EF。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF。
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AE=AB=6，DF=CD=6，
∴EF=AE + DF - AD = 6 + 6 - 8 = 4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形判定
【点评】
本题是平行四边形与角平分线结合的基础几何计算题，关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，将未知线段转化为已知线段，通过线段和差求解，需熟练掌握平行四边形和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用平行四边形的性质结合角平分线的定义推导等腰三角形，再通过线段和差计算EF的长度：首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到角的等量关系；再结合角平分线推出等腰三角形，得到对应线段相等；最后代入线段和差公式计算EF。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF。
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AE=AB=6，DF=CD=6，
∴EF=AE + DF - AD = 6 + 6 - 8 = 4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形判定
【点评】
本题是平行四边形与角平分线结合的基础几何计算题，关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，将未知线段转化为已知线段，通过线段和差求解，需熟练掌握平行四边形和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共9小题,共66分.解答应写出过程)
答案
解：
19. 计算：
(1) 原式$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(2) 原式$=\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=1 + \sqrt{5} - 2$
$=\sqrt{5} - 1$
20. 解方程：
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2(x+1) = 5$
$2x + 2 = 5$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$(x+1)(x-1) ≠ 0$，
原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$。
(2) $x^2 - 6x - 4 = 0$
移项得$x^2 - 6x = 4$
配方得$x^2 -6x +9 = 4+9$
即$(x-3)^2 =13$
开方得$x-3 = \pm \sqrt{13}$
$x_1 = 3+\sqrt{13}$，$x_2 = 3-\sqrt{13}$
21. 先化简再求值：
原式$=\frac{a+1-1}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{1}{a-1}$
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$
22.
(1) 88.5
(2) 九；九年级成绩的方差小于八年级，方差越小数据越整齐
(3) $600 × \frac{9}{20} = 270$
答：估计八年级成绩不低于90分的学生有270人。
23. 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
又∵ BE//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
24.
(1) 将A(-2,3)代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，
反比例函数表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将B(1,n)代入$y=-\frac{6}{x}$，得$n=-6$，即B(1,-6)。
将A(-2,3)、B(1,-6)代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ k + b = -6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-3 \\ b=-3 \end{cases}$
一次函数表达式为$y=-3x-3$。
(2) 设一次函数图像与x轴交于点C，令y=0，得$-3x-3=0$，$x=-1$，即C(-1,0)，OC=1。
$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 6 = \frac{9}{2}$。
(3) $x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
25.
(1) 设A型号电风扇的进价为x元，B型号电风扇的进价为y元，
根据题意得：
$\begin{cases} 3x + 2y = 1900 \\ 2x + 3y = 2100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=300 \\ y=500 \end{cases}$
答：A型号电风扇的进价为300元，B型号电风扇的进价为500元。
(2) 设购进B型号电风扇a台，则购进A型号电风扇$(30-a)$台，
根据题意得：
$50(30-a) + 100a ≥ 1800$
$1500 + 50a ≥ 1800$
$50a ≥ 300$
$a ≥ 6$
答：该商店至少购进B型号电风扇6台。
26.
(1) 证明：∵ ∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
又∵ AC=BC，CD=CE，
∴ △ACE ≌ △BCD（SAS）。
(2) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴ AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2} = 4$，∠B=∠BAC=45°，
∵ △ACE ≌ △BCD，
∴ AE=BD=AB-AD=3，∠CAE=∠B=45°，
∴ ∠DAE = ∠BAC + ∠CAE = 90°，
在Rt△ADE中，$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
19. 计算：
(1) 原式$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(2) 原式$=\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=1 + \sqrt{5} - 2$
$=\sqrt{5} - 1$
20. 解方程：
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2(x+1) = 5$
$2x + 2 = 5$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$(x+1)(x-1) ≠ 0$，
原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$。
(2) $x^2 - 6x - 4 = 0$
移项得$x^2 - 6x = 4$
配方得$x^2 -6x +9 = 4+9$
即$(x-3)^2 =13$
开方得$x-3 = \pm \sqrt{13}$
$x_1 = 3+\sqrt{13}$，$x_2 = 3-\sqrt{13}$
21. 先化简再求值：
原式$=\frac{a+1-1}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{1}{a-1}$
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$
22.
(1) 88.5
(2) 九；九年级成绩的方差小于八年级，方差越小数据越整齐
(3) $600 × \frac{9}{20} = 270$
答：估计八年级成绩不低于90分的学生有270人。
23. 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
又∵ BE//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
24.
(1) 将A(-2,3)代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，
反比例函数表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将B(1,n)代入$y=-\frac{6}{x}$，得$n=-6$，即B(1,-6)。
将A(-2,3)、B(1,-6)代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ k + b = -6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-3 \\ b=-3 \end{cases}$
一次函数表达式为$y=-3x-3$。
(2) 设一次函数图像与x轴交于点C，令y=0，得$-3x-3=0$，$x=-1$，即C(-1,0)，OC=1。
$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 6 = \frac{9}{2}$。
(3) $x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
25.
(1) 设A型号电风扇的进价为x元，B型号电风扇的进价为y元，
根据题意得：
$\begin{cases} 3x + 2y = 1900 \\ 2x + 3y = 2100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=300 \\ y=500 \end{cases}$
答：A型号电风扇的进价为300元，B型号电风扇的进价为500元。
(2) 设购进B型号电风扇a台，则购进A型号电风扇$(30-a)$台，
根据题意得：
$50(30-a) + 100a ≥ 1800$
$1500 + 50a ≥ 1800$
$50a ≥ 300$
$a ≥ 6$
答：该商店至少购进B型号电风扇6台。
26.
(1) 证明：∵ ∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
又∵ AC=BC，CD=CE，
∴ △ACE ≌ △BCD（SAS）。
(2) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴ AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2} = 4$，∠B=∠BAC=45°，
∵ △ACE ≌ △BCD，
∴ AE=BD=AB-AD=3，∠CAE=∠B=45°，
∴ ∠DAE = ∠BAC + ∠CAE = 90°，
在Rt△ADE中，$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
解析
【分析】
本题为初中数学基础解答题，涵盖代数、几何、统计核心知识点，解题思路如下：19题是二次根式加减运算，需先化简各项为最简二次根式，再合并同类二次根式；20题（1）为分式方程，需去分母转化为整式方程，求解后必须检验增根；（2）为一元二次方程，采用配方法，移项后配方开方求解；21题是分式化简求值，先通分约分，再代入指定值计算；22题是统计应用，计算平均数、方差，用样本估计总体；23题是平行四边形判定，利用平行四边形性质推导对边关系，证明另一组对边平行且相等；24题是反比例函数与一次函数综合，用待定系数法求解析式，结合图像计算三角形面积、求不等式解集；25题是应用题，列二元一次方程组求进价，列不等式求最少购进数量；26题是几何综合，用SAS证三角形全等，再结合勾股定理计算边长。
【解析】
19. 计算：
(1) 原式$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(2) 原式$=\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=1 + \sqrt{5} - 2$
$=\sqrt{5} - 1$
20. 解方程：
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2(x+1) = 5$
$2x + 2 = 5$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$(x+1)(x-1) ≠ 0$，
原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$。
(2) $x^2 - 6x - 4 = 0$
移项得$x^2 - 6x = 4$
配方得$x^2 -6x +9 = 4+9$
即$(x-3)^2 =13$
开方得$x-3 = \pm \sqrt{13}$
$x_1 = 3+\sqrt{13}$，$x_2 = 3-\sqrt{13}$
21. 先化简再求值：
原式$=\frac{a+1-1}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{1}{a-1}$
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$
22.
(1) 88.5
(2) 九；九年级成绩的方差小于八年级，方差越小数据越整齐
(3) $600 × \frac{9}{20} = 270$
答：估计八年级成绩不低于90分的学生有270人。
23. 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
又
∵ BE//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
24.
(1) 将A(-2,3)代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，
反比例函数表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将B(1,n)代入$y=-\frac{6}{x}$，得$n=-6$，即B(1,-6)。
将A(-2,3)、B(1,-6)代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ k + b = -6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-3 \\ b=-3 \end{cases}$
一次函数表达式为$y=-3x-3$。
(2) 设一次函数图像与x轴交于点C，令y=0，得$-3x-3=0$，$x=-1$，即C(-1,0)，OC=1。
$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 6 = \frac{9}{2}$。
(3) $x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
25.
(1) 设A型号电风扇的进价为x元，B型号电风扇的进价为y元，
根据题意得：
$\begin{cases} 3x + 2y = 1900 \\ 2x + 3y = 2100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=300 \\ y=500 \end{cases}$
答：A型号电风扇的进价为300元，B型号电风扇的进价为500元。
(2) 设购进B型号电风扇a台，则购进A型号电风扇$(30-a)$台，
根据题意得：
$50(30-a) + 100a ≥ 1800$
$1500 + 50a ≥ 1800$
$50a ≥ 300$
$a ≥ 6$
答：该商店至少购进B型号电风扇6台。
26.
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
又
∵ AC=BC，CD=CE，
∴ △ACE ≌ △BCD（SAS）。
(2) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴ AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2} = 4$，∠B=∠BAC=45°，
∵ △ACE ≌ △BCD，
∴ AE=BD=AB-AD=3，∠CAE=∠B=45°，
∴ ∠DAE = ∠BAC + ∠CAE = 90°，
在Rt△ADE中，$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
19. (1) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$；(2) $\sqrt{5} - 1$；
20. (1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x_1=3+\sqrt{13}$，$x_2=3-\sqrt{13}$；
21. $1$；
22. (1) $88.5$；(2) 九，九年级成绩方差小更整齐；(3) $270$；
23. 四边形DEBF是平行四边形；
24. (1) 反比例函数$y=-\frac{6}{x}$，一次函数$y=-3x-3$；(2) $\frac{9}{2}$；(3) $x＜-2$或$0＜x＜1$；
25. (1) A型号进价300元，B型号500元；(2) 至少购进B型号6台；
26. (1) △ACE≌△BCD；(2) $DE=\sqrt{10}$；
【知识点】
二次根式运算、方程与不等式应用、平行四边形判定
【点评】
本题为初中数学基础解答题集合，覆盖代数、几何、统计核心考点，注重基础运算与逻辑推理，是中考常见题型，要求学生熟练掌握各类基础解题方法，难度适中，适合巩固数学基础。
【难度系数】
0.7
本题为初中数学基础解答题，涵盖代数、几何、统计核心知识点，解题思路如下：19题是二次根式加减运算，需先化简各项为最简二次根式，再合并同类二次根式；20题（1）为分式方程，需去分母转化为整式方程，求解后必须检验增根；（2）为一元二次方程，采用配方法，移项后配方开方求解；21题是分式化简求值，先通分约分，再代入指定值计算；22题是统计应用，计算平均数、方差，用样本估计总体；23题是平行四边形判定，利用平行四边形性质推导对边关系，证明另一组对边平行且相等；24题是反比例函数与一次函数综合，用待定系数法求解析式，结合图像计算三角形面积、求不等式解集；25题是应用题，列二元一次方程组求进价，列不等式求最少购进数量；26题是几何综合，用SAS证三角形全等，再结合勾股定理计算边长。
【解析】
19. 计算：
(1) 原式$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(2) 原式$=\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{5} - 2$
$=1 + \sqrt{5} - 2$
$=\sqrt{5} - 1$
20. 解方程：
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2(x+1) = 5$
$2x + 2 = 5$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$(x+1)(x-1) ≠ 0$，
原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$。
(2) $x^2 - 6x - 4 = 0$
移项得$x^2 - 6x = 4$
配方得$x^2 -6x +9 = 4+9$
即$(x-3)^2 =13$
开方得$x-3 = \pm \sqrt{13}$
$x_1 = 3+\sqrt{13}$，$x_2 = 3-\sqrt{13}$
21. 先化简再求值：
原式$=\frac{a+1-1}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{a+1}{a(a-1)}$
$=\frac{1}{a-1}$
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$
22.
(1) 88.5
(2) 九；九年级成绩的方差小于八年级，方差越小数据越整齐
(3) $600 × \frac{9}{20} = 270$
答：估计八年级成绩不低于90分的学生有270人。
23. 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
又
∵ BE//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
24.
(1) 将A(-2,3)代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，
反比例函数表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将B(1,n)代入$y=-\frac{6}{x}$，得$n=-6$，即B(1,-6)。
将A(-2,3)、B(1,-6)代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ k + b = -6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-3 \\ b=-3 \end{cases}$
一次函数表达式为$y=-3x-3$。
(2) 设一次函数图像与x轴交于点C，令y=0，得$-3x-3=0$，$x=-1$，即C(-1,0)，OC=1。
$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 6 = \frac{9}{2}$。
(3) $x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
25.
(1) 设A型号电风扇的进价为x元，B型号电风扇的进价为y元，
根据题意得：
$\begin{cases} 3x + 2y = 1900 \\ 2x + 3y = 2100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=300 \\ y=500 \end{cases}$
答：A型号电风扇的进价为300元，B型号电风扇的进价为500元。
(2) 设购进B型号电风扇a台，则购进A型号电风扇$(30-a)$台，
根据题意得：
$50(30-a) + 100a ≥ 1800$
$1500 + 50a ≥ 1800$
$50a ≥ 300$
$a ≥ 6$
答：该商店至少购进B型号电风扇6台。
26.
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
又
∵ AC=BC，CD=CE，
∴ △ACE ≌ △BCD（SAS）。
(2) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴ AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2} = 4$，∠B=∠BAC=45°，
∵ △ACE ≌ △BCD，
∴ AE=BD=AB-AD=3，∠CAE=∠B=45°，
∴ ∠DAE = ∠BAC + ∠CAE = 90°，
在Rt△ADE中，$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
19. (1) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$；(2) $\sqrt{5} - 1$；
20. (1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x_1=3+\sqrt{13}$，$x_2=3-\sqrt{13}$；
21. $1$；
22. (1) $88.5$；(2) 九，九年级成绩方差小更整齐；(3) $270$；
23. 四边形DEBF是平行四边形；
24. (1) 反比例函数$y=-\frac{6}{x}$，一次函数$y=-3x-3$；(2) $\frac{9}{2}$；(3) $x＜-2$或$0＜x＜1$；
25. (1) A型号进价300元，B型号500元；(2) 至少购进B型号6台；
26. (1) △ACE≌△BCD；(2) $DE=\sqrt{10}$；
【知识点】
二次根式运算、方程与不等式应用、平行四边形判定
【点评】
本题为初中数学基础解答题集合，覆盖代数、几何、统计核心考点，注重基础运算与逻辑推理，是中考常见题型，要求学生熟练掌握各类基础解题方法，难度适中，适合巩固数学基础。
【难度系数】
0.7
19. (6分)计算.
(1) $\sqrt{24} - \sqrt{12} ÷ \sqrt{2}$;
(2) $(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
(1) $\sqrt{24} - \sqrt{12} ÷ \sqrt{2}$;
(2) $(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
答案
19. 【点拨】本题考查二次根式的混合运算,掌握运算法则是解题的关键.
【解析】(1) $\sqrt{24}-\sqrt{12}÷\sqrt{2}$
$=2\sqrt{6}-\sqrt{6}$
$=\sqrt{6}$.
(2) $(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=7-9-\sqrt{2}$
$=-2-\sqrt{2}$.
【解析】(1) $\sqrt{24}-\sqrt{12}÷\sqrt{2}$
$=2\sqrt{6}-\sqrt{6}$
$=\sqrt{6}$.
(2) $(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=7-9-\sqrt{2}$
$=-2-\sqrt{2}$.
解析
【分析】本题是二次根式的混合运算题目，解题思路为：（1）先化简式子中的二次根式，再遵循“先算除法，后算减法”的运算顺序，利用二次根式除法法则计算除法部分，最后合并同类二次根式；（2）第一部分利用平方差公式计算，第二部分化简二次根式，再合并结果。
【解析】(1) $\sqrt{24} - \sqrt{12} ÷ \sqrt{2}$
$=2\sqrt{6} - \sqrt{12÷2}$
$=2\sqrt{6} - \sqrt{6}$
$=\sqrt{6}$；
(2) $(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$=(\sqrt{7})^2 - 3^2 - 2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=7 - 9 - \sqrt{2}$
$=-2 - \sqrt{2}$
【答案】(1) $\sqrt{6}$；(2) $-2 - \sqrt{2}$
【知识点】二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的化简、除法法则及平方差公式，运算时注意运算顺序和符号，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】(1) $\sqrt{24} - \sqrt{12} ÷ \sqrt{2}$
$=2\sqrt{6} - \sqrt{12÷2}$
$=2\sqrt{6} - \sqrt{6}$
$=\sqrt{6}$；
(2) $(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$=(\sqrt{7})^2 - 3^2 - 2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=7 - 9 - \sqrt{2}$
$=-2 - \sqrt{2}$
【答案】(1) $\sqrt{6}$；(2) $-2 - \sqrt{2}$
【知识点】二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的化简、除法法则及平方差公式，运算时注意运算顺序和符号，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
20. (8 分)(1)计算:$\dfrac{m}{m^2 - 4} - \dfrac{1}{2m - 4}$;
(2)解方程:$\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x} = 1$.
(2)解方程:$\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x} = 1$.
答案
20. 【点拨】本题考查分式的化简和解分式方程.
【解析】(1) $\frac{m}{m^2-4}-\frac{1}{2m-4}$
$=\frac{2m}{2(m+2)(m-2)}-\frac{m+2}{2(m+2)(m-2)}$
$=\frac{m-2}{2(m+2)(m-2)}$
$=\frac{1}{2(m+2)}$
$=\frac{1}{2m+4}$.
(2)$\frac{1}{x-2}+\frac{x-2}{x}=1$,
方程两边同乘x(x-2),得$x+(x-2)(x-2)=x(x-2)$,
解得x=4,
检验:当x=4时,x(x-2)≠0,
所以原方程的解为x=4.
【解析】(1) $\frac{m}{m^2-4}-\frac{1}{2m-4}$
$=\frac{2m}{2(m+2)(m-2)}-\frac{m+2}{2(m+2)(m-2)}$
$=\frac{m-2}{2(m+2)(m-2)}$
$=\frac{1}{2(m+2)}$
$=\frac{1}{2m+4}$.
(2)$\frac{1}{x-2}+\frac{x-2}{x}=1$,
方程两边同乘x(x-2),得$x+(x-2)(x-2)=x(x-2)$,
解得x=4,
检验:当x=4时,x(x-2)≠0,
所以原方程的解为x=4.
解析
【分析】
本题分为两部分，第(1)题是分式的减法运算，解题思路是先对各分母因式分解，找到最简公分母通分，再按同分母分式减法法则计算，最后约分得到结果；第(2)题是解分式方程，解题思路是先去分母转化为整式方程，解整式方程后代入最简公分母检验，排除增根得到原方程的解。
【解析】
(1) 计算：$\dfrac{m}{m^2 - 4} - \dfrac{1}{2m - 4}$
对分母因式分解：$m^2 - 4=(m+2)(m-2)$，$2m-4=2(m-2)$，最简公分母为$2(m+2)(m-2)$，通分后：
$\dfrac{m}{(m+2)(m-2)}=\dfrac{2m}{2(m+2)(m-2)}$，$\dfrac{1}{2(m-2)}=\dfrac{m+2}{2(m+2)(m-2)}$，
原式$=\dfrac{2m}{2(m+2)(m-2)} - \dfrac{m+2}{2(m+2)(m-2)}=\dfrac{2m-(m+2)}{2(m+2)(m-2)}=\dfrac{m-2}{2(m+2)(m-2)}$，
约分后得$\dfrac{1}{2(m+2)}=\dfrac{1}{2m+4}$。
(2) 解方程：$\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x} = 1$
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，去分母得：
$x + (x-2)^2 = x(x-2)$，
展开整理：$x + x^2 -4x +4 = x^2 -2x$，
移项合并同类项得：$-x +4 = -2x$，解得$x=4$，
检验：当$x=4$时，$x(x-2)=4×2=8≠0$，故$x=4$是原方程的解。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2m + 4}$；(2) $x=4$
【知识点】
分式的化简、解分式方程
【点评】
本题考查分式的减法运算和解分式方程，属于初中数学基础题型，需掌握因式分解找公分母、分式方程必须检验的要点，运算时注意符号和通分的准确性。
【难度系数】
0.6
本题分为两部分，第(1)题是分式的减法运算，解题思路是先对各分母因式分解，找到最简公分母通分，再按同分母分式减法法则计算，最后约分得到结果；第(2)题是解分式方程，解题思路是先去分母转化为整式方程，解整式方程后代入最简公分母检验，排除增根得到原方程的解。
【解析】
(1) 计算：$\dfrac{m}{m^2 - 4} - \dfrac{1}{2m - 4}$
对分母因式分解：$m^2 - 4=(m+2)(m-2)$，$2m-4=2(m-2)$，最简公分母为$2(m+2)(m-2)$，通分后：
$\dfrac{m}{(m+2)(m-2)}=\dfrac{2m}{2(m+2)(m-2)}$，$\dfrac{1}{2(m-2)}=\dfrac{m+2}{2(m+2)(m-2)}$，
原式$=\dfrac{2m}{2(m+2)(m-2)} - \dfrac{m+2}{2(m+2)(m-2)}=\dfrac{2m-(m+2)}{2(m+2)(m-2)}=\dfrac{m-2}{2(m+2)(m-2)}$，
约分后得$\dfrac{1}{2(m+2)}=\dfrac{1}{2m+4}$。
(2) 解方程：$\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x} = 1$
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，去分母得：
$x + (x-2)^2 = x(x-2)$，
展开整理：$x + x^2 -4x +4 = x^2 -2x$，
移项合并同类项得：$-x +4 = -2x$，解得$x=4$，
检验：当$x=4$时，$x(x-2)=4×2=8≠0$，故$x=4$是原方程的解。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2m + 4}$；(2) $x=4$
【知识点】
分式的化简、解分式方程
【点评】
本题考查分式的减法运算和解分式方程，属于初中数学基础题型，需掌握因式分解找公分母、分式方程必须检验的要点，运算时注意符号和通分的准确性。
【难度系数】
0.6
21. (6 分)先化简,再求值:$(1 - \dfrac{4}{a + 3}) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 9}$,其中$a = -2$.
答案
21. 【点拨】本题考查分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则是解题的关键.
【解析】$(1-\frac{4}{a+3})÷\frac{a^2-2a+1}{a^2-9}$
$=\frac{a+3-4}{a+3}÷\frac{(a-1)^2}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a-1}{a+3}·\frac{(a+3)(a-3)}{(a-1)^2}$
$=\frac{a-3}{a-1}$,
当a=-2时,原式=$\frac{-2-3}{-2-1}=\frac{5}{3}$.
【解析】$(1-\frac{4}{a+3})÷\frac{a^2-2a+1}{a^2-9}$
$=\frac{a+3-4}{a+3}÷\frac{(a-1)^2}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a-1}{a+3}·\frac{(a+3)(a-3)}{(a-1)^2}$
$=\frac{a-3}{a-1}$,
当a=-2时,原式=$\frac{-2-3}{-2-1}=\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的分式减法，通过通分合并分子；再将除法转化为乘法，同时对分子、分母的多项式进行因式分解；接着约分化简得到最简分式；最后把给定的$a$值代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(1 - \dfrac{4}{a + 3}) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 9}\\=&\dfrac{a + 3 - 4}{a + 3} ÷ \dfrac{(a - 1)^2}{(a + 3)(a - 3)}\\=&\dfrac{a - 1}{a + 3} · \dfrac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 1)^2}\\=&\dfrac{a - 3}{a - 1}\end{aligned}$
当$a = -2$时，原式$=\dfrac{-2 - 3}{-2 - 1} = \dfrac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式的运算法则和因式分解方法，运算时需注意通分、因式分解及约分的正确性，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的分式减法，通过通分合并分子；再将除法转化为乘法，同时对分子、分母的多项式进行因式分解；接着约分化简得到最简分式；最后把给定的$a$值代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(1 - \dfrac{4}{a + 3}) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 9}\\=&\dfrac{a + 3 - 4}{a + 3} ÷ \dfrac{(a - 1)^2}{(a + 3)(a - 3)}\\=&\dfrac{a - 1}{a + 3} · \dfrac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 1)^2}\\=&\dfrac{a - 3}{a - 1}\end{aligned}$
当$a = -2$时，原式$=\dfrac{-2 - 3}{-2 - 1} = \dfrac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式的运算法则和因式分解方法，运算时需注意通分、因式分解及约分的正确性，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
