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9. 对于一次函数$y = kx + k - 1(k ≠ 0)$，下列叙述正确的是(
A.当$0 ＜ k ＜ 1$时，函数图象经过第一、二、三象限
B.当$k ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.当$k ＜ 1$时，函数图象一定交于$y$轴的负半轴
D.函数图象一定经过点$(-1, -2)$
C
).A.当$0 ＜ k ＜ 1$时，函数图象经过第一、二、三象限
B.当$k ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.当$k ＜ 1$时，函数图象一定交于$y$轴的负半轴
D.函数图象一定经过点$(-1, -2)$
答案
9. C 【点拨】本题考查一次函数的性质.
【解析】A.当0＜k＜1时,函数图象经过第一、三、四象限,故A错误;B.当k＞0时,y随x的增大而增大,故B错误;C.当k＜1时,函数图象一定交于y轴的负半轴,故C正确;D.
∵y=kx+k-1=k(x+1)-1,
∴函数图象一定经过点(-1,-1),故D错误.故选C.
【解析】A.当0＜k＜1时,函数图象经过第一、三、四象限,故A错误;B.当k＞0时,y随x的增大而增大,故B错误;C.当k＜1时,函数图象一定交于y轴的负半轴,故C正确;D.
∵y=kx+k-1=k(x+1)-1,
∴函数图象一定经过点(-1,-1),故D错误.故选C.
解析
【分析】本题需根据一次函数$y=kx+b(k≠0)$的性质，逐一分析每个选项：
1. 一次函数中，$k$决定增减性：$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大；$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小。
2. $b$决定与$y$轴交点：$b＞0$时交$y$轴正半轴，$b=0$过原点，$b＜0$交$y$轴负半轴。
3. 求函数定点时，可将函数变形为$y=k(x+1)-1$，令$x+1=0$得$x=-1$，此时$y=-1$，即过定点$(-1,-1)$。
接下来逐个判断选项：
选项A：$0＜k＜1$时，$k＞0$使函数过一、三象限，$b=k-1＜0$使图象交$y$轴负半轴，故图象过一、三、四象限，A错误。
选项B：$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，并非减小，B错误。
选项C：$k＜1$时，$b=k-1＜0$，函数与$y$轴交点为$(0,k-1)$，一定在负半轴，C正确。
选项D：代入$x=-1$得$y=-1$，函数过$(-1,-1)$而非$(-1,-2)$，D错误。综上选C。
【解析】A. 当$0＜k＜1$时，$k＞0$，函数图象过第一、三象限；$b=k-1＜0$，图象与$y$轴交于负半轴，故图象经过第一、三、四象限，A错误；
B. 当$k＞0$时，根据一次函数性质，$y$随$x$的增大而增大，B错误；
C. 当$k＜1$时，$b=k-1＜0$，函数图象与$y$轴交点为$(0,k-1)$，一定在$y$轴负半轴，C正确；
D. 将函数变形为$y=k(x+1)-1$，令$x=-1$，则$y=-1$，故函数图象一定经过点$(-1,-1)$，而非$(-1,-2)$，D错误。故选C。
【答案】C
【知识点】一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系
【点评】本题考查一次函数的基础性质，需熟练掌握$k$、$b$对函数图象和增减性的影响，以及求函数定点的方法，属于初中数学基础题，难度适中。
【难度系数】0.7
1. 一次函数中，$k$决定增减性：$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大；$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小。
2. $b$决定与$y$轴交点：$b＞0$时交$y$轴正半轴，$b=0$过原点，$b＜0$交$y$轴负半轴。
3. 求函数定点时，可将函数变形为$y=k(x+1)-1$，令$x+1=0$得$x=-1$，此时$y=-1$，即过定点$(-1,-1)$。
接下来逐个判断选项：
选项A：$0＜k＜1$时，$k＞0$使函数过一、三象限，$b=k-1＜0$使图象交$y$轴负半轴，故图象过一、三、四象限，A错误。
选项B：$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，并非减小，B错误。
选项C：$k＜1$时，$b=k-1＜0$，函数与$y$轴交点为$(0,k-1)$，一定在负半轴，C正确。
选项D：代入$x=-1$得$y=-1$，函数过$(-1,-1)$而非$(-1,-2)$，D错误。综上选C。
【解析】A. 当$0＜k＜1$时，$k＞0$，函数图象过第一、三象限；$b=k-1＜0$，图象与$y$轴交于负半轴，故图象经过第一、三、四象限，A错误；
B. 当$k＞0$时，根据一次函数性质，$y$随$x$的增大而增大，B错误；
C. 当$k＜1$时，$b=k-1＜0$，函数图象与$y$轴交点为$(0,k-1)$，一定在$y$轴负半轴，C正确；
D. 将函数变形为$y=k(x+1)-1$，令$x=-1$，则$y=-1$，故函数图象一定经过点$(-1,-1)$，而非$(-1,-2)$，D错误。故选C。
【答案】C
【知识点】一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系
【点评】本题考查一次函数的基础性质，需熟练掌握$k$、$b$对函数图象和增减性的影响，以及求函数定点的方法，属于初中数学基础题，难度适中。
【难度系数】0.7
10. 如图,在矩形ABCD中,AD=7,CD=4,E是AD上一点,且AE=3,F是AB边上的动点,以EF为一边作菱形EFGH,使顶点H落在CD上,连接CG,则△HCG面积的最小值为(
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.3
D.$\dfrac{7}{2}$
B
).A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.3
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
10. B 【点拨】本题考查矩形的性质,菱形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理和三角形的面积,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】如题图,延长HG,AB相交于点M,过点G作GN⊥DC交DC的延长线于点N,则∠GNH=∠A=90°.
∵四边形ABCD为矩形,四边形EFGH为菱形,
∴DN//AM,EF//HM,GH=EF,AB=CD=4,
∴∠GHN=∠M,∠EFA=∠M,
∴∠GHN=∠EFA,
∴△GNH≌△EAF(AAS),
∴NG=AE=3,当EF,EH取最大值时,DH取最大值,此时CH取最小值,△HCG的面积最小,当EF取最大值时,点B,F重合,此时EF取最大值=$\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴EH最大值为5,
∴DH=$\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴CH最小值为4-3=1,
∴$S_{△HCG}$最小值为$\frac{1}{2}CH·GN=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$.故选B.
【解析】如题图,延长HG,AB相交于点M,过点G作GN⊥DC交DC的延长线于点N,则∠GNH=∠A=90°.
∵四边形ABCD为矩形,四边形EFGH为菱形,
∴DN//AM,EF//HM,GH=EF,AB=CD=4,
∴∠GHN=∠M,∠EFA=∠M,
∴∠GHN=∠EFA,
∴△GNH≌△EAF(AAS),
∴NG=AE=3,当EF,EH取最大值时,DH取最大值,此时CH取最小值,△HCG的面积最小,当EF取最大值时,点B,F重合,此时EF取最大值=$\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴EH最大值为5,
∴DH=$\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴CH最小值为4-3=1,
∴$S_{△HCG}$最小值为$\frac{1}{2}CH·GN=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$.故选B.
解析
【分析】
本题是矩形与菱形结合的几何最值问题，解题思路为：利用矩形和菱形的性质构造全等三角形，确定△HCG的高为定值，将△HCG的面积最小值转化为线段CH的最小值；再通过分析菱形边长的最大值，求出CH的最小值，进而计算面积最小值。
【解析】
如题图，延长HG、AB相交于点M，过点G作GN⊥DC交DC的延长线于点N，则∠GNH=∠A=90°。
∵四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，
∴DN//AM，EF//HM，GH=EF，AB=CD=4，
∴∠GHN=∠M，∠EFA=∠M，
∴∠GHN=∠EFA，
∴△GNH≌△EAF（AAS），
∴NG=AE=3。
△HCG的面积为$\frac{1}{2}×CH×GN$，因GN为定值3，故当CH取最小值时，△HCG面积最小。
CH=CD-DH=4-DH，需先求DH的最大值：菱形边长EH=EF，当EF取最大值时，EH最大，此时点F与B重合，EF最大值为$\sqrt{AE^2 + AB^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，即EH最大值为5。
在Rt△DEH中，DE=AD-AE=7-3=4，由勾股定理得$DH=\sqrt{EH^2 - DE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴CH最小值为4-3=1，
∴$S_{△HCG}$最小值为$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、菱形性质、全等三角形判定、三角形面积
【点评】
本题综合运用矩形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，核心是通过构造全等三角形将△HCG的高转化为定值，把面积最值问题转化为线段最值问题，体现了转化思想的应用，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题是矩形与菱形结合的几何最值问题，解题思路为：利用矩形和菱形的性质构造全等三角形，确定△HCG的高为定值，将△HCG的面积最小值转化为线段CH的最小值；再通过分析菱形边长的最大值，求出CH的最小值，进而计算面积最小值。
【解析】
如题图，延长HG、AB相交于点M，过点G作GN⊥DC交DC的延长线于点N，则∠GNH=∠A=90°。
∵四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，
∴DN//AM，EF//HM，GH=EF，AB=CD=4，
∴∠GHN=∠M，∠EFA=∠M，
∴∠GHN=∠EFA，
∴△GNH≌△EAF（AAS），
∴NG=AE=3。
△HCG的面积为$\frac{1}{2}×CH×GN$，因GN为定值3，故当CH取最小值时，△HCG面积最小。
CH=CD-DH=4-DH，需先求DH的最大值：菱形边长EH=EF，当EF取最大值时，EH最大，此时点F与B重合，EF最大值为$\sqrt{AE^2 + AB^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，即EH最大值为5。
在Rt△DEH中，DE=AD-AE=7-3=4，由勾股定理得$DH=\sqrt{EH^2 - DE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴CH最小值为4-3=1，
∴$S_{△HCG}$最小值为$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、菱形性质、全等三角形判定、三角形面积
【点评】
本题综合运用矩形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，核心是通过构造全等三角形将△HCG的高转化为定值，把面积最值问题转化为线段最值问题，体现了转化思想的应用，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.5
11. 若分式$\dfrac{x}{x-2}$有意义,则$x$的取值范围是________.
答案
11. x≠2 【点拨】本题考查分式有意义的条件.
【解析】由题意得x-2≠0,解得x≠2.故答案为x≠2.
【解析】由题意得x-2≠0,解得x≠2.故答案为x≠2.
解析
【分析】分式有意义的核心条件是分母不能为0，因此对于分式$\dfrac{x}{x-2}$，只需让其分母$x-2$不等于0，解该不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，据此列出不等式：$x - 2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$。
【答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本概念，属于基础题型，难度较低，只要牢记分式有意义时分母不为0的知识点就能快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，据此列出不等式：$x - 2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$。
【答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本概念，属于基础题型，难度较低，只要牢记分式有意义时分母不为0的知识点就能快速解答。
【难度系数】0.9
12. 发射前为确保万无一失,工程师要了解"天目一号气象卫星"零件的安全情况,应采用
普查
的方式比较合适.(填"抽样调查"或"普查")答案
12. 普查 【点拨】本题考查普查与抽样调查.
【解析】发射前为确保万无一失,工程师要了解“天目一号气象卫星”零件的安全情况,应采用普查的方式比较合适.故答案为普查.
【解析】发射前为确保万无一失,工程师要了解“天目一号气象卫星”零件的安全情况,应采用普查的方式比较合适.故答案为普查.
解析
【分析】首先明确普查和抽样调查的适用场景：普查是对所有调查对象进行全面调查，结果准确，适合要求高、不能出现失误的情况；抽样调查是抽取部分样本调查，结果为近似值，适合调查对象数量大或调查具有破坏性的场景。本题中卫星零件安全直接关系发射成败，要求绝对准确，需对所有零件检查，因此选对应方式。
【解析】普查是对调查对象的全部个体进行调查，结果准确可靠；抽样调查仅抽取部分样本，结果存在误差。由于“天目一号气象卫星”的零件安全情况直接影响发射万无一失，必须确保每个零件都安全，不能有疏漏，因此应采用普查的方式。
【答案】普查
【知识点】普查与抽样调查
【点评】本题考查统计中调查方式的选择，核心是理解不同调查方式的适用条件，结合卫星零件安全要求极高的实际需求即可判断，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】普查是对调查对象的全部个体进行调查，结果准确可靠；抽样调查仅抽取部分样本，结果存在误差。由于“天目一号气象卫星”的零件安全情况直接影响发射万无一失，必须确保每个零件都安全，不能有疏漏，因此应采用普查的方式。
【答案】普查
【知识点】普查与抽样调查
【点评】本题考查统计中调查方式的选择，核心是理解不同调查方式的适用条件，结合卫星零件安全要求极高的实际需求即可判断，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.8
13. 某市林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示:
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为
0.9
.(精确到0.1)答案
13. 0.9 【点拨】本题考查利用频率估计概率.
【解析】由题中表格数据可得随着样本数量不断增加,这种树苗移植成活的频率稳定在0.9,所以银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.故答案为0.9.
【解析】由题中表格数据可得随着样本数量不断增加,这种树苗移植成活的频率稳定在0.9,所以银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.故答案为0.9.
解析
【分析】
要估计银杏树苗移植成活的概率，需依据“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件概率的估计值”的规律。观察表格中不同移植棵数对应的成活频率，随着移植棵数增加，成活频率会逐渐趋于稳定，找到这个稳定的频率值，就能得到成活概率的估计值。
【解析】
观察表格数据，当移植棵数为15000时，成活频率为0.9，且随着移植棵数不断增大，成活频率逐渐稳定在0.9附近。根据频率估计概率的方法，当试验次数足够多时，频率的稳定值即为概率的估计值，因此银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
利用频率估计概率
【点评】
本题考查利用频率估计概率，核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，属于基础题型，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
要估计银杏树苗移植成活的概率，需依据“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件概率的估计值”的规律。观察表格中不同移植棵数对应的成活频率，随着移植棵数增加，成活频率会逐渐趋于稳定，找到这个稳定的频率值，就能得到成活概率的估计值。
【解析】
观察表格数据，当移植棵数为15000时，成活频率为0.9，且随着移植棵数不断增大，成活频率逐渐稳定在0.9附近。根据频率估计概率的方法，当试验次数足够多时，频率的稳定值即为概率的估计值，因此银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
利用频率估计概率
【点评】
本题考查利用频率估计概率，核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，属于基础题型，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
14. 若关于 $ x $ 的一元一次不等式组 $\begin{cases} x - 1 ≥ 2x + 1, \\ 3x + 1 ＜ a \end{cases}$ 的解集为 $ x ≤ -2 $，且关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{a}{y + 1} - 2$ 的解是非正数，则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和为 ______。
答案
14. -7 【点拨】本题考查一元一次不等式组的解集,分式方程的解法及一元一次不等式组的整数解.
【解析】$\begin{cases} x-1≥2x+1① \\ 3x+1＜a② \end{cases}$,解不等式①,得x≤-2,解不等式②,得$x＜\frac{a-1}{3}$.
∵不等式组的解集为x≤-2,
∴$\frac{a-1}{3}＞-2$,解得a＞-5.解分式方程$\frac{y-1}{y+1}=\frac{a}{y+1}-2$得$y=\frac{a-1}{3}$.
∵分式方程的解是非正数,
∴a-1≤0,即a≤1.
∵y+1≠0,
∴y≠-1,
∴$\frac{a-1}{3}≠-1$,
∴a≠-2,
∴-5＜a≤1且a≠-2,
∴所有满足条件的整数a的值之和为-4+(-3)+(-1)+0+1=-7.故答案为-7.
【解析】$\begin{cases} x-1≥2x+1① \\ 3x+1＜a② \end{cases}$,解不等式①,得x≤-2,解不等式②,得$x＜\frac{a-1}{3}$.
∵不等式组的解集为x≤-2,
∴$\frac{a-1}{3}＞-2$,解得a＞-5.解分式方程$\frac{y-1}{y+1}=\frac{a}{y+1}-2$得$y=\frac{a-1}{3}$.
∵分式方程的解是非正数,
∴a-1≤0,即a≤1.
∵y+1≠0,
∴y≠-1,
∴$\frac{a-1}{3}≠-1$,
∴a≠-2,
∴-5＜a≤1且a≠-2,
∴所有满足条件的整数a的值之和为-4+(-3)+(-1)+0+1=-7.故答案为-7.
解析
【分析】
要解决本题，需分三步：①解一元一次不等式组，根据其解集确定a的初步范围；②解分式方程，结合“解为非正数”和“分式分母不为0”的隐含条件，进一步确定a的范围；③在确定的a的范围内找出所有整数a并求和。
【解析】
解一元一次不等式组 $\begin{cases} x - 1 ≥ 2x + 1① \\ 3x + 1 ＜ a② \end{cases}$：
解不等式①：移项得 $x - 2x ≥ 1 + 1$，合并同类项得 $-x ≥ 2$，系数化为1得 $x ≤ -2$；
解不等式②：移项得 $3x ＜ a - 1$，系数化为1得 $x ＜ \frac{a - 1}{3}$；
∵不等式组的解集为 $x ≤ -2$，根据“同小取小”原则，需满足 $\frac{a - 1}{3} ＞ -2$，两边同乘3得 $a - 1 ＞ -6$，解得 $a ＞ -5$；
解分式方程 $\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{a}{y + 1} - 2$：
方程两边同乘最简公分母 $y + 1$（$y ≠ -1$），得 $y - 1 = a - 2(y + 1)$；
展开并整理：$y - 1 = a - 2y - 2$，移项合并得 $3y = a - 1$，解得 $y = \frac{a - 1}{3}$；
根据题意：
1. 分式方程的解为非正数，即 $y ≤ 0$，故 $\frac{a - 1}{3} ≤ 0$，解得 $a ≤ 1$；
2. 分式分母不能为0，即 $y + 1 ≠ 0$，故 $y ≠ -1$，代入 $y = \frac{a - 1}{3}$ 得 $\frac{a - 1}{3} ≠ -1$，解得 $a ≠ -2$；
综合得a的范围：$-5 ＜ a ≤ 1$ 且 $a ≠ -2$，其中满足条件的整数a为：$-4、-3、-1、0、1$；
它们的和为：$-4 + (-3) + (-1) + 0 + 1 = -7$；
【答案】
-7
【知识点】
一元一次不等式组、分式方程的解、整数解
【点评】
本题综合考查一元一次不等式组的解集确定、分式方程的解法及解的限制条件，需注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免遗漏该条件导致错误，整体难度适中，需细心分析各条件的限制。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分三步：①解一元一次不等式组，根据其解集确定a的初步范围；②解分式方程，结合“解为非正数”和“分式分母不为0”的隐含条件，进一步确定a的范围；③在确定的a的范围内找出所有整数a并求和。
【解析】
解一元一次不等式组 $\begin{cases} x - 1 ≥ 2x + 1① \\ 3x + 1 ＜ a② \end{cases}$：
解不等式①：移项得 $x - 2x ≥ 1 + 1$，合并同类项得 $-x ≥ 2$，系数化为1得 $x ≤ -2$；
解不等式②：移项得 $3x ＜ a - 1$，系数化为1得 $x ＜ \frac{a - 1}{3}$；
∵不等式组的解集为 $x ≤ -2$，根据“同小取小”原则，需满足 $\frac{a - 1}{3} ＞ -2$，两边同乘3得 $a - 1 ＞ -6$，解得 $a ＞ -5$；
解分式方程 $\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{a}{y + 1} - 2$：
方程两边同乘最简公分母 $y + 1$（$y ≠ -1$），得 $y - 1 = a - 2(y + 1)$；
展开并整理：$y - 1 = a - 2y - 2$，移项合并得 $3y = a - 1$，解得 $y = \frac{a - 1}{3}$；
根据题意：
1. 分式方程的解为非正数，即 $y ≤ 0$，故 $\frac{a - 1}{3} ≤ 0$，解得 $a ≤ 1$；
2. 分式分母不能为0，即 $y + 1 ≠ 0$，故 $y ≠ -1$，代入 $y = \frac{a - 1}{3}$ 得 $\frac{a - 1}{3} ≠ -1$，解得 $a ≠ -2$；
综合得a的范围：$-5 ＜ a ≤ 1$ 且 $a ≠ -2$，其中满足条件的整数a为：$-4、-3、-1、0、1$；
它们的和为：$-4 + (-3) + (-1) + 0 + 1 = -7$；
【答案】
-7
【知识点】
一元一次不等式组、分式方程的解、整数解
【点评】
本题综合考查一元一次不等式组的解集确定、分式方程的解法及解的限制条件，需注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免遗漏该条件导致错误，整体难度适中，需细心分析各条件的限制。
【难度系数】
0.5
15. 如图,点 D,E 分别为 AB,AC 的中点,BF 平分$∠ABC$交 DE 于点 F.若$AB=4,BC=6$,则$EF=$
1
.答案
15. 1 【点拨】本题考查三角形中位线定理,角平分线的定义,等腰三角形的性质.
【解析】
∵D,E分别为AB,AC的中点,AB=4,
∴DE是△ABC的中位线,$BD=\frac{1}{2}AB=2$,$DE=\frac{1}{2}BC=3$,DE//BC,
∴∠DFB=∠FBC.
∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠FBC,
∴∠DFB=∠DBF,
∴DF=BD=2,
∴EF=DE-DF=3-2=1.故答案为1.
【解析】
∵D,E分别为AB,AC的中点,AB=4,
∴DE是△ABC的中位线,$BD=\frac{1}{2}AB=2$,$DE=\frac{1}{2}BC=3$,DE//BC,
∴∠DFB=∠FBC.
∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠FBC,
∴∠DFB=∠DBF,
∴DF=BD=2,
∴EF=DE-DF=3-2=1.故答案为1.
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理得到DE与BC的平行关系和长度，以及BD的长度；再结合BF平分∠ABC，利用平行线的内错角相等，推导出∠DBF=∠DFB，从而得到DF=BD；最后用DE减去DF即可求出EF的长度。
【解析】
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，$BD=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}BC$，且$DE// BC$。
已知$AB=4$，$BC=6$，
∴$BD=\frac{1}{2}×4=2$，$DE=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$DE// BC$，
∴$∠DFB=∠FBC$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵BF平分$∠ABC$，
∴$∠DBF=∠FBC$（角平分线的定义）。
∴$∠DBF=∠DFB$，
∴$DF=BD=2$（等角对等边）。
因此，$EF=DE-DF=3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、角平分线的定义及等腰三角形的性质，解题关键是利用中位线定理得到线段平行和长度关系，结合角平分线与平行线的性质构造等腰三角形，进而求出线段长度，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先根据D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理得到DE与BC的平行关系和长度，以及BD的长度；再结合BF平分∠ABC，利用平行线的内错角相等，推导出∠DBF=∠DFB，从而得到DF=BD；最后用DE减去DF即可求出EF的长度。
【解析】
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，$BD=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}BC$，且$DE// BC$。
已知$AB=4$，$BC=6$，
∴$BD=\frac{1}{2}×4=2$，$DE=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$DE// BC$，
∴$∠DFB=∠FBC$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵BF平分$∠ABC$，
∴$∠DBF=∠FBC$（角平分线的定义）。
∴$∠DBF=∠DFB$，
∴$DF=BD=2$（等角对等边）。
因此，$EF=DE-DF=3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、角平分线的定义及等腰三角形的性质，解题关键是利用中位线定理得到线段平行和长度关系，结合角平分线与平行线的性质构造等腰三角形，进而求出线段长度，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
16. 如图，$□ ABCD$中，对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$∠ BAD$和$∠ ABC$的平分线相交于点$E$，若$□ ABCD$的周长为$18$，$△ AOB$的周长比$△ AOD$的周长少$3$，则$OE=$______.
答案
16. $\frac{3}{2}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定和性质.
【解析】如题图,延长AE交BC于点F,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,OA=OC,∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠DAB+∠ABC)=$\frac{1}{2}×180°=90°$,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BE.
∵AD//BC,
∴∠DAF=∠AFB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF,
∴∠AFB=∠BAF,
∴AB=BF.
∵AE⊥BE,
∴AE=EF,
∴OE是△ACF的中位线.
∵□ABCD的周长为18,△AOB的周长比△AOD的周长少3,
∴2(AB+AD)=18,AD-AB=3,
∴AB=3,AD=6,
∴CF=BC-BF=AD-AB=3,
∴OE=$\frac{1}{2}CF=\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.
【解析】如题图,延长AE交BC于点F,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,OA=OC,∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠DAB+∠ABC)=$\frac{1}{2}×180°=90°$,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BE.
∵AD//BC,
∴∠DAF=∠AFB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF,
∴∠AFB=∠BAF,
∴AB=BF.
∵AE⊥BE,
∴AE=EF,
∴OE是△ACF的中位线.
∵□ABCD的周长为18,△AOB的周长比△AOD的周长少3,
∴2(AB+AD)=18,AD-AB=3,
∴AB=3,AD=6,
∴CF=BC-BF=AD-AB=3,
∴OE=$\frac{1}{2}CF=\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义推导线段关系，通过构造辅助线找到中位线，再利用周长条件计算边长，最终借助中位线定理求出OE的长度。首先利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合角平分线得到AE⊥BE；延长AE交BC于F，由等腰三角形三线合一得E是AF中点，结合O是AC中点，确定OE是△ACF的中位线；再根据平行四边形周长和△AOB与△AOD的周长差求出AB、AD的长度，进而得到CF的长度，最后计算OE。
【解析】
解：延长AE交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，OA=OC，∠BAD + ∠ABC = 180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BAE + ∠ABE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴∠AEB = 90°，即AE⊥BE，
∵AD//BC，
∴∠DAF = ∠AFB，
又
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF = ∠BAF，
∴∠AFB = ∠BAF，
∴AB = BF，
∵AE⊥BE，
∴E为AF的中点（等腰三角形三线合一），
又
∵O是AC的中点（平行四边形对角线互相平分），
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE = $\frac{1}{2}$CF，
已知□ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，
∵平行四边形周长=2(AB + AD)=18，故AB + AD = 9，
又
∵△AOB周长=OA + OB + AB，△AOD周长=OA + OD + AD，且OB=OD，
∴AD - AB = 3，
联立得：$\begin{cases}AB + AD = 9 \\ AD - AB = 3\end{cases}$，
解得：AB=3，AD=6，
∵BC=AD=6，BF=AB=3，
∴CF=BC - BF=6 - 3=3，
∴OE = $\frac{1}{2}$CF = $\frac{1}{2}$×3 = $\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线及中位线的相关知识，解题核心是构造辅助线得到中位线，再结合周长条件求边长，对几何综合应用能力要求较高，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义推导线段关系，通过构造辅助线找到中位线，再利用周长条件计算边长，最终借助中位线定理求出OE的长度。首先利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合角平分线得到AE⊥BE；延长AE交BC于F，由等腰三角形三线合一得E是AF中点，结合O是AC中点，确定OE是△ACF的中位线；再根据平行四边形周长和△AOB与△AOD的周长差求出AB、AD的长度，进而得到CF的长度，最后计算OE。
【解析】
解：延长AE交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，OA=OC，∠BAD + ∠ABC = 180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BAE + ∠ABE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴∠AEB = 90°，即AE⊥BE，
∵AD//BC，
∴∠DAF = ∠AFB，
又
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF = ∠BAF，
∴∠AFB = ∠BAF，
∴AB = BF，
∵AE⊥BE，
∴E为AF的中点（等腰三角形三线合一），
又
∵O是AC的中点（平行四边形对角线互相平分），
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE = $\frac{1}{2}$CF，
已知□ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，
∵平行四边形周长=2(AB + AD)=18，故AB + AD = 9，
又
∵△AOB周长=OA + OB + AB，△AOD周长=OA + OD + AD，且OB=OD，
∴AD - AB = 3，
联立得：$\begin{cases}AB + AD = 9 \\ AD - AB = 3\end{cases}$，
解得：AB=3，AD=6，
∵BC=AD=6，BF=AB=3，
∴CF=BC - BF=6 - 3=3，
∴OE = $\frac{1}{2}$CF = $\frac{1}{2}$×3 = $\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线及中位线的相关知识，解题核心是构造辅助线得到中位线，再结合周长条件求边长，对几何综合应用能力要求较高，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
