25. (12 分)在矩形$ABCD$中,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$AD=5\ \mathrm{cm}$.
(1)若点$E$在线段$BC$上,点$F$在线段$CD$上,在图1中,
①利用无刻度的直尺和圆规按要求完成作图:作点$E$,使得$AE=AD$;再作点$F$,连接$EF$,使得$FD=FE$(不写作法,保留作图痕迹);
②在①作出的图形中,求$DF$的长;
(2)如图2,若$F$为射线$DC$上一点,将$△ ADF$沿$AF$所在直线翻折至$△ AEF$的位置,点$D$落在点$E$处,连接$CE$.
①若点$F$在线段$DC$上,当$CE// AF$时,$EF$与$CD$有何数量关系?请说明理由;
②当$△ CEF$为直角三角形时,请直接写出$DF$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

本题考查矩形的性质,尺规作图,作线段等于已知线段,过已知直线上一点作已知直线的垂线,翻折变换,全等三角形的判定与性质,勾股定理,分类讨论思想.
(1)①如图1,点$E$,$F$即为所求.

②如图1,连接$AF$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore ∠B = ∠C = 90°$,$AD = BC = 5\ \mathrm{cm}$,$AB = CD = 3(\mathrm{cm})$,
$\therefore AD = AE = 5\ \mathrm{cm}$,$\therefore BE = \sqrt{AE^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4(\mathrm{cm})$,
$\therefore EC = BC - BE = 5 - 4 = 1(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt }△AEF$和$\mathrm{Rt }△ADF$中,$\begin{cases} AF = AF, \\ AE = AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt }△AEF ≅ \mathrm{Rt }△ADF(\mathrm{HL})$,$\therefore EF = DF$.
设$EF = DF = x\ \mathrm{cm}$,则$CF = CD - DF = (3 - x)(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt }△ECF$中,$EF^2 = CF^2 + CE^2$,
$\therefore x^2 = (3 - x)^2 + 1^2$,解得$x = \dfrac{5}{3}$,$\therefore DF = \dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$.
(2)①$EF = \dfrac{1}{2}CD$.理由如下:
如图2,连接$DE$,由翻折的性质可知,$AD = AE$,$DF = EF$,
$\therefore AF$垂直平分线段$DE$,
当$CE // AF$时,$CE ⊥ DE$,
$\therefore ∠DEC = 90°$.
$\because DF = EF$,$\therefore ∠FDE = ∠FED$.
$\because ∠FED + ∠FEC = ∠DEC = 90°$,$∠CDE + ∠ECD = 90°$,
$\therefore ∠FCE = ∠FEC$,$\therefore EF = CF$,
$\therefore EF = DF = CF$,$\therefore EF = \dfrac{1}{2}CD$;

②如图3,当$∠FEC = 90°$时,$A$,$E$,$C$三点共线,设$DF = EF = x\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ADC = 90°$,$AB = CD = 3\ \mathrm{cm}$,$AD = BC = 5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}(\mathrm{cm})$.
$\because S_{△ADC} = S_{△ADF} + S_{△AFC}$,
$\therefore \dfrac{1}{2} × 5 × 3 = \dfrac{1}{2} × \sqrt{34} · x + \dfrac{1}{2} × 5 · x$,
解得$x = \dfrac{5}{3}(\sqrt{34} - 5)$,$\therefore DF = \dfrac{5}{3}(\sqrt{34} - 5)(\mathrm{cm})$;

如图4,当$∠ECF = 90°$时,由(1)②可知$DF = \dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$;

如图5,当$∠EFC = 90°$时,四边形$AEFD$是正方形,$DF = AD = 5\ \mathrm{cm}$;

如图6,当$∠ECF = 90°$时,$E$,$B$,$C$三点共线,设$DF = EF = y\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ABE = 90°$,$AE = AD = 5\ \mathrm{cm}$,$AB = CD = 3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4(\mathrm{cm})$,
$\therefore EC = BC + BE = 5 + 4 = 9(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt }△ECF$中,$EF^2 = CE^2 + CF^2$,
$\therefore y^2 = 9^2 + (y - 3)^2$,解得$y = 15$.
$\therefore DF = 15\ \mathrm{cm}$.

综上所述,$DF$的长为$\dfrac{5}{3}(\sqrt{34} - 5)\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题为矩形相关的几何综合题，解题思路如下：
（1）①作图：要作AE=AD，根据圆的定义，以A为圆心、AD长为半径画弧，交BC于点E；要作FD=FE，根据线段垂直平分线的性质，F需在DE的垂直平分线上，因此作DE的垂直平分线交CD于点F，即为所求。②求DF：利用矩形性质得各边长度，在Rt△ABE中用勾股定理求BE，再得EC；结合翻折/全等证明Rt△AEF≌Rt△ADF，得EF=DF，设DF=x，在Rt△ECF中用勾股定理列方程求解。
（2）①翻折后AF垂直平分DE，结合CE//AF得CE⊥DE，通过等腰三角形角的推导，得出EF=CF，进而得EF=1/2 CD。②分类讨论△CEF为直角三角形的4种情况，分别用勾股定理、面积法计算DF，注意射线DC上点F的不同位置。
【解析】
（1）①作图：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E；作线段DE的垂直平分线，交CD于点F，点E、F即为所求（作图痕迹保留）。
②解：连接AF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5cm，AB=CD=3cm，
∴AE=AD=5cm，
在Rt△ABE中，BE=√(AE² - AB²)=√(5² - 3²)=4cm，
∴EC=BC - BE=5 - 4=1cm。
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
$\begin{cases} AF=AF \\ AE=AD \end{cases}$，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴EF=DF。
设DF=EF=x cm，则CF=(3 - x)cm，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF²=CF² + CE²，
即$x^2=(3 - x)^2 + 1^2$，
解得$x=\dfrac{5}{3}$，
∴$DF=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
（2）①$EF=\dfrac{1}{2}CD$，理由如下：
连接DE，由翻折性质得：AD=AE，DF=EF，
∴AF垂直平分线段DE，
∵CE//AF，
∴CE⊥DE，即∠DEC=90°，
∵DF=EF，
∴∠FDE=∠FED，
又
∵∠FED + ∠FEC=90°，∠CDE + ∠ECD=90°，
∴∠FCE=∠FEC，
∴EF=CF，
∴EF=DF=CF，故$EF=\dfrac{1}{2}CD$。
②分4种情况讨论：
当∠FEC=90°时，A、E、C共线，设DF=EF=x cm，AC=√(5²+3²)=√34 cm，由面积法得：$\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{1}{2}×\sqrt{34}·x + \dfrac{1}{2}×5·x$，解得$x=\dfrac{5}{3}(\sqrt{34}-5)$；
当∠ECF=90°时，同（1）②，$DF=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$；
当∠EFC=90°时，四边形AEFD为正方形，$DF=AD=5\ \mathrm{cm}$；
当∠ECF=90°（E在BC延长线）时，设DF=EF=y cm，BE=4 cm，EC=9 cm，由勾股定理得：$y^2=9^2 + (y-3)^2$，解得$y=15$；
综上，DF的长为$\dfrac{5}{3}(\sqrt{34}-5)\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)①作图见解析；②$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$；
(2)①$EF=\dfrac{1}{2}CD$；②$\dfrac{5}{3}(\sqrt{34}-5)\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
矩形性质、翻折变换、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、尺规作图、全等三角形、勾股定理及分类讨论思想，（2）②需全面考虑直角三角形的不同情况，对学生几何分析能力要求较高，是一道区分度较好的几何综合题。
【难度系数】
0.4