26. (12分)综合与实践.
问题情境:
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时,如图2,在正方形内取一点E,使∠CED=90°,将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E',射线DE,E'B交于点F.
特例研究:
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律:如图1,发现点E在对角线AC中点O处时,点F与点B重合,此时四边形EFE'C的形状为正方形.
探究发现:
(1)博学小组发现,如图2,只要∠CED=90°,四边形EFE'C的形状都是正方形,请证明;
(2)奋发小组受博学小组的启发,进一步深入探究,如图3,取BC的中点G,连接E'G,FO,AF,又发现:在点E的运动过程中,FO与E'G始终保持特定的数量关系,请写出此数量关系,并说明理由;
拓展应用:
(3)在(2)的条件下,若AF=1,BC=5,求BF的长.

本题考查正方形的判定和性质,勾股定理,直角三角形的性质,三角形全等的判定与性质,等腰三角形的性质.
(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore ∠BCD = 90°$,$BC = CD$,$\therefore ∠BCE + ∠DCE = 90°$.
$\because$ 点$E$绕点$C$逆时针旋转$90°$得到点$E'$,
$\therefore CE = CE'$,$∠ECE' = 90°$.
$\therefore ∠BCE + ∠BCE' = 90°$,
$\therefore ∠DCE = ∠BCE'$,$\therefore △CDE ≅ △CBE'(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠CED = ∠CE'B = 90°$,$\therefore$ 四边形$EFE'C$是矩形.
$\because CE = CE'$,$\therefore$ 四边形$EFE'C$是正方形.
(2)$FO = \sqrt{2}E'G$,理由如下:
如图1,连接$BD$,$OG$,
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$O$是$AC$的中点,
$\therefore O$是$BD$的中点,$AC = BD$,$OC = OB = \dfrac{1}{2}AC$.
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore ∠BOC = 90°$,$∠OBC = ∠OCB = 45°$.
$\because G$是$BC$的中点,$\therefore OG = BG = GC$,
$\therefore OC = \sqrt{OG^2 + GC^2} = \sqrt{2}GC$.
$\because$ 四边形$EFE'C$是正方形,$\therefore ∠BE'C = 90°$.
$\because G$是$BC$的中点,$\therefore E'G = \dfrac{1}{2}BC = GC$,
$\therefore OC = \sqrt{2}E'G$,$\therefore FO = \sqrt{2}E'G$.

(3)如图2,取$AF$的中点$M$,取$BF$的中点$N$,连接$OM$,$ON$,$MN$,
$\therefore MN // AB$,$MN = \dfrac{1}{2}AB$,
$\because BC = AB = 5$,$\therefore MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}$.
由(2)得$OB = OC = OF = OA$,
$\therefore AM = FM = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{1}{2}$,$∠OMF = 90°$,
$∠AOM = ∠FOM = \dfrac{1}{2}∠AOF$,$FN = BN = \dfrac{1}{2}BF$,$∠ONF = 90°$,
$∠BON = ∠FON = \dfrac{1}{2}∠BOF$.
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore ∠AOB = 90°$,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 5\sqrt{2}$,$OA = OB = OF = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore ∠FOM + ∠FON = \dfrac{1}{2}∠AOF + \dfrac{1}{2}∠BOF = \dfrac{1}{2}(∠AOF + ∠BOF) = \dfrac{1}{2}∠AOB = 45°$,$OM = \sqrt{OF^2 - MF^2} = \dfrac{7}{2}$.
过点$M$作$MQ ⊥ ON$于点$Q$,
$\therefore MQ = OQ = \dfrac{7\sqrt{2}}{4}$,
$\therefore NQ = \sqrt{MN^2 - MQ^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$,$\therefore ON = OQ + NQ = 2\sqrt{2}$,
$\therefore FN = \sqrt{OF^2 - ON^2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,$\therefore BF = 2FN = 3\sqrt{2}$.

【分析】
本题为正方形相关的几何综合题，按“特殊到一般”的思路分三小问探究：
(1) 要证四边形EFE'C为正方形，先利用正方形性质和旋转性质证明△CDE≌△CBE'，得到直角，结合已知的两个直角先证矩形，再由邻边相等（CE=CE'）得正方形；
(2) 探究FO与E'G的数量关系，通过连接辅助线BD、OG，利用正方形中点性质和直角三角形斜边中线定理，推导OC与E'G的关系，再结合正方形中OF=OC，得出FO与E'G的数量关系；
(3) 求BF的长，通过取AF、BF中点构造中位线，结合正方形的边长、对角线性质，利用勾股定理计算线段长度，最终得到BF的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90°，BC=CD，
∴ ∠BCE + ∠DCE=90°。
∵ 点E绕点C逆时针旋转90°得到点E'，
∴ CE=CE'，∠ECE'=90°，
∴ ∠BCE + ∠BCE'=90°，
∴ ∠DCE=∠BCE'，
∴ △CDE≌△CBE'(SAS)，
∴ ∠CED=∠CE'B=90°，
又
∵ ∠CED=90°，∠ECE'=90°，
∴ 四边形EFE'C是矩形，
∵ CE=CE'，
∴ 矩形EFE'C是正方形。
(2) FO=√2 E'G，理由如下：
如图1，连接BD，OG，
∵ 四边形ABCD是正方形，O是AC中点，
∴ O是BD中点，AC=BD，OC=OB=1/2 AC，∠BOC=90°，∠OCB=45°，
∵ G是BC中点，
∴ 在Rt△BOC中，OG=GC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴ OC=√(OG² + GC²)=√2 GC，
∵ 四边形EFE'C是正方形，
∴ ∠BE'C=90°，
在Rt△BE'C中，G是BC中点，
∴ E'G=1/2 BC=GC，
∴ OC=√2 E'G，
又
∵ 正方形中OF=OC，
∴ FO=√2 E'G。
(3) 如图2，取AF的中点M，取BF的中点N，连接OM，ON，MN，
∴ MN//AB，MN=1/2 AB，
∵ BC=AB=5，
∴ MN=5/2，
由(2)得OB=OC=OF=OA，
∵ AF=1，
∴ AM=FM=1/2 AF=1/2，
∵ O是正方形对角线交点，
∴ OA=OB=OF=1/2 AC=5√2/2，∠AOB=90°，
∵ M是AF中点，OM⊥AF（等腰三角形三线合一），同理ON⊥BF，
∴ ∠OMF=∠ONF=90°，
∠FOM=1/2∠AOF，∠FON=1/2∠BOF，
∴ ∠FOM + ∠FON=1/2(∠AOF + ∠BOF)=1/2∠AOB=45°，
在Rt△OMF中，OM=√(OF² - FM²)=√[(5√2/2)² - (1/2)²]=7/2，
过M作MQ⊥ON于Q，
∵ ∠MOQ=45°，
∴ MQ=OQ=OM·cos45°=7√2/4，
在Rt△MQN中，MN=5/2，MQ=7√2/4，
∴ NQ=√(MN² - MQ²)=√2/4，
∴ ON=OQ + NQ=2√2，
在Rt△ONF中，FN=√(OF² - ON²)=3√2/2，
∴ BF=2FN=3√2。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) FO=√2 E'G；
(3) BF=3√2；


【知识点】
正方形性质、全等三角形、勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的综合探究题，遵循从特殊到一般的探究思路，融合多个核心知识点，需要较强的辅助线构造和逻辑推理能力，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4