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22. (8分)如图,$□ ABCD$的对角线交于$O$,以$OD$,$CD$为邻边作$□ DOEC$,$OE$交$BC$于点$F$,连接$BE$.
(1)求证:$F$为$BC$中点;
(2)若$OB ⊥ AC$,$□ ABCD$的周长为$8$,求$OF$的长.
(1)求证:$F$为$BC$中点;
(2)若$OB ⊥ AC$,$□ ABCD$的周长为$8$,求$OF$的长.
答案
本题考查平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,矩形的判定与性质.
(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$\therefore OB = OD$.
$\because$ 四边形$DOEC$是平行四边形,$\therefore OD // EC$,$OD = EC$.
$\because EC // OB$,$EC = OB$,$\therefore$ 四边形$OBEC$是平行四边形,
$\therefore BF = CF$,即$F$为$BC$的中点.
(2)在$□ABCD$中,$\because OB ⊥ AC$,$\therefore □ABCD$是菱形.
在$□OBEC$中,$\because OB ⊥ AC$,$\therefore □OBEC$是矩形,
$\therefore BC = OE = 2OF$.
又$\because$ 菱形$ABCD$的周长为$4BC = 8$,$\therefore BC = 2$,
$\therefore OF = \dfrac{1}{2}BC = 1$.
(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$\therefore OB = OD$.
$\because$ 四边形$DOEC$是平行四边形,$\therefore OD // EC$,$OD = EC$.
$\because EC // OB$,$EC = OB$,$\therefore$ 四边形$OBEC$是平行四边形,
$\therefore BF = CF$,即$F$为$BC$的中点.
(2)在$□ABCD$中,$\because OB ⊥ AC$,$\therefore □ABCD$是菱形.
在$□OBEC$中,$\because OB ⊥ AC$,$\therefore □OBEC$是矩形,
$\therefore BC = OE = 2OF$.
又$\because$ 菱形$ABCD$的周长为$4BC = 8$,$\therefore BC = 2$,
$\therefore OF = \dfrac{1}{2}BC = 1$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形、菱形、矩形的性质逐步推导：
(1) 要证F为BC中点，先利用平行四边形ABCD的对角线互相平分得OB=OD；再结合平行四边形DOEC的性质，推出OB与EC平行且相等，证明四边形OBEC是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可得结论。
(2) 先由OB⊥AC判定□ABCD为菱形，再结合□OBEC的性质判定其为矩形，利用菱形周长求出BC，最后结合矩形对角线性质及F是BC中点，计算OF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OB = OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵ 四边形DOEC是平行四边形，
∴ OD // EC，OD = EC（平行四边形对边平行且相等），
∴ EC // OB，EC = OB，
∴ 四边形OBEC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ BF = CF（平行四边形对角线互相平分），即F为BC的中点。
(2) 解：
在□ABCD中，
∵ OB ⊥ AC，
∴ □ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∵ 菱形ABCD的周长为8，
∴ 4BC = 8，得BC = 2。
∵ 四边形OBEC是平行四边形，且OB ⊥ AC，
∴ □OBEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴ BC = OE = 2OF（矩形的对角线相等且互相平分），
∴ OF = ½ BC = ½ × 2 = 1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形、矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用各类四边形的性质进行逻辑推导，是一道中等难度的几何证明与计算题目。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形、菱形、矩形的性质逐步推导：
(1) 要证F为BC中点，先利用平行四边形ABCD的对角线互相平分得OB=OD；再结合平行四边形DOEC的性质，推出OB与EC平行且相等，证明四边形OBEC是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可得结论。
(2) 先由OB⊥AC判定□ABCD为菱形，再结合□OBEC的性质判定其为矩形，利用菱形周长求出BC，最后结合矩形对角线性质及F是BC中点，计算OF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OB = OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵ 四边形DOEC是平行四边形，
∴ OD // EC，OD = EC（平行四边形对边平行且相等），
∴ EC // OB，EC = OB，
∴ 四边形OBEC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ BF = CF（平行四边形对角线互相平分），即F为BC的中点。
(2) 解：
在□ABCD中，
∵ OB ⊥ AC，
∴ □ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∵ 菱形ABCD的周长为8，
∴ 4BC = 8，得BC = 2。
∵ 四边形OBEC是平行四边形，且OB ⊥ AC，
∴ □OBEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴ BC = OE = 2OF（矩形的对角线相等且互相平分），
∴ OF = ½ BC = ½ × 2 = 1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形、矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用各类四边形的性质进行逻辑推导，是一道中等难度的几何证明与计算题目。
【难度系数】
0.5
23. (10 分)我们定义:若两个分式 A 与 B 的差为常数,且这个常数为正数,则称 A 是 B 的“和雅式”,这个常数称为 A 关于 B 的“和雅值”.
如分式 $A=\frac{2x}{x+1},B=\frac{-2}{x+1},A-B=\frac{2x}{x+1}-\frac{-2}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$,则 A 是 B 的“和雅式”,A 关于 B 的“和雅值”为 2.
(1)已知分式 $C=\frac{1}{x+2},D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$,判断 C 是否为 D 的“和雅式”,若不是,请说明理由;若是,请证明并求出 C 关于 D 的“和雅值”;
(2)已知分式 $M=\frac{(x-b)(x-1)}{x},N=\frac{x(x-a)}{x}$,M 是 N 的“和雅式”,且 M 关于 N 的“和雅值”是 1,求 $a+b$ 的值;
(3)已知分式 $P=\frac{E}{9-x^2},Q=\frac{x}{3-x}$,P 是 Q 的“和雅式”,且 P 关于 Q 的“和雅值”是 1,x 为整数,且 P 的值也为整数,求 E 所代表的代数式及所有符合条件的 x 的值之和.
如分式 $A=\frac{2x}{x+1},B=\frac{-2}{x+1},A-B=\frac{2x}{x+1}-\frac{-2}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$,则 A 是 B 的“和雅式”,A 关于 B 的“和雅值”为 2.
(1)已知分式 $C=\frac{1}{x+2},D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$,判断 C 是否为 D 的“和雅式”,若不是,请说明理由;若是,请证明并求出 C 关于 D 的“和雅值”;
(2)已知分式 $M=\frac{(x-b)(x-1)}{x},N=\frac{x(x-a)}{x}$,M 是 N 的“和雅式”,且 M 关于 N 的“和雅值”是 1,求 $a+b$ 的值;
(3)已知分式 $P=\frac{E}{9-x^2},Q=\frac{x}{3-x}$,P 是 Q 的“和雅式”,且 P 关于 Q 的“和雅值”是 1,x 为整数,且 P 的值也为整数,求 E 所代表的代数式及所有符合条件的 x 的值之和.
答案
本题考查分式的运算,新定义.
(1)$C$不是$D$的“和雅式”,理由如下:
$\because C - D = \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 4x + 4} = \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)^2} = \dfrac{1 - (x + 3)}{x + 2} = \dfrac{-x - 2}{x + 2} = -1 ＜ 0$,
$\therefore C$不是$D$的“和雅式”.
(2)由题意,得$M - N = 1$,$\therefore \dfrac{(x - b)(x - 1)}{x} - \dfrac{x(x - a)}{x} = 1$,
$\therefore (a - b - 1)x + b = x$,$\therefore \begin{cases} a - b - 1 = 1, \\ b = 0, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} a = 2, \\ b = 0, \end{cases}$
$\therefore a + b = 2$.
(3)由题意,得$P - Q = 1$,
$\therefore \dfrac{E}{(3 + x)(3 - x)} - \dfrac{x}{3 - x} = 1$,$\therefore E = 3x + 9$.
$\because P = \dfrac{E}{9 - x^2} = \dfrac{3}{3 - x}$为整数,$x$为整数.
$\therefore 3 - x$的值为$±1$或$±3$,$\therefore x$的值为$0$,$2$,$4$,$6$,
$\therefore 0 + 2 + 4 + 6 = 12$,$\therefore$ 所有符合条件的$x$的值之和为12.
(1)$C$不是$D$的“和雅式”,理由如下:
$\because C - D = \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 4x + 4} = \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)^2} = \dfrac{1 - (x + 3)}{x + 2} = \dfrac{-x - 2}{x + 2} = -1 ＜ 0$,
$\therefore C$不是$D$的“和雅式”.
(2)由题意,得$M - N = 1$,$\therefore \dfrac{(x - b)(x - 1)}{x} - \dfrac{x(x - a)}{x} = 1$,
$\therefore (a - b - 1)x + b = x$,$\therefore \begin{cases} a - b - 1 = 1, \\ b = 0, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} a = 2, \\ b = 0, \end{cases}$
$\therefore a + b = 2$.
(3)由题意,得$P - Q = 1$,
$\therefore \dfrac{E}{(3 + x)(3 - x)} - \dfrac{x}{3 - x} = 1$,$\therefore E = 3x + 9$.
$\because P = \dfrac{E}{9 - x^2} = \dfrac{3}{3 - x}$为整数,$x$为整数.
$\therefore 3 - x$的值为$±1$或$±3$,$\therefore x$的值为$0$,$2$,$4$,$6$,
$\therefore 0 + 2 + 4 + 6 = 12$,$\therefore$ 所有符合条件的$x$的值之和为12.
解析
【分析】
首先明确“和雅式”的定义：若两个分式A与B的差为正数常数，则称A是B的“和雅式”，该常数为“和雅值”。解题时，每一问均需根据定义计算对应分式的差，结合条件（差为正数常数、和雅值为1等），通过分式的通分、约分、整式运算等逐步推导求解。
【解析】
(1) 判断C是否为D的“和雅式”，需计算$C-D$：
先化简D：$D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}=\frac{x+3}{x+2}$，
则$C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x+3}{x+2}=\frac{1-(x+3)}{x+2}=\frac{-x-2}{x+2}=-1$，
因为差为-1（负数，不是正数），所以C不是D的“和雅式”。
(2) 由题意，M是N的“和雅式”且和雅值为1，故$M-N=1$：
$\frac{(x-b)(x-1)}{x}-\frac{x(x-a)}{x}=1$，
左边分子化简：$(x^2 -x -bx +b)-(x^2 -ax)=(a -b -1)x +b$，
因此$\frac{(a -b -1)x +b}{x}=1$，即$(a -b -1)x +b =x$，
整理得$(a -b -2)x +b=0$，该式对定义域内所有x成立，故系数和常数项均为0，
即$\begin{cases}a -b -2=0 \\ b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=0\end{cases}$，所以$a+b=2$。
(3) 由题意，P是Q的“和雅式”且和雅值为1，故$P-Q=1$：
$\frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=1$，
通分左边（$9-x^2=(3+x)(3-x)$）：$\frac{E -x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=1$，
分子整理得$E -3x -x^2=9 -x^2$，解得$E=3x+9$，
则$P=\frac{3x+9}{9-x^2}=\frac{3}{3-x}$，
因P为整数且x为整数，故$3-x$是3的约数，即$3-x=\pm1,\pm3$，
解得$x=0,2,4,6$，均满足分母不为0，符合条件，
所有符合条件的x之和为$0+2+4+6=12$。
【答案】
(1) C不是D的“和雅式”，理由见解析；
(2) $a+b=2$；
(3) E代表的代数式为$3x+9$，所有符合条件的x的值之和为12。
【知识点】
分式的运算、新定义运算
【点评】
本题为新定义结合分式运算的综合题，需准确理解新定义，熟练运用分式通分、约分及整式运算，同时结合整数性质求解参数，考查学生的理解与运算能力。
【难度系数】
0.5
首先明确“和雅式”的定义：若两个分式A与B的差为正数常数，则称A是B的“和雅式”，该常数为“和雅值”。解题时，每一问均需根据定义计算对应分式的差，结合条件（差为正数常数、和雅值为1等），通过分式的通分、约分、整式运算等逐步推导求解。
【解析】
(1) 判断C是否为D的“和雅式”，需计算$C-D$：
先化简D：$D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}=\frac{x+3}{x+2}$，
则$C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x+3}{x+2}=\frac{1-(x+3)}{x+2}=\frac{-x-2}{x+2}=-1$，
因为差为-1（负数，不是正数），所以C不是D的“和雅式”。
(2) 由题意，M是N的“和雅式”且和雅值为1，故$M-N=1$：
$\frac{(x-b)(x-1)}{x}-\frac{x(x-a)}{x}=1$，
左边分子化简：$(x^2 -x -bx +b)-(x^2 -ax)=(a -b -1)x +b$，
因此$\frac{(a -b -1)x +b}{x}=1$，即$(a -b -1)x +b =x$，
整理得$(a -b -2)x +b=0$，该式对定义域内所有x成立，故系数和常数项均为0，
即$\begin{cases}a -b -2=0 \\ b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=0\end{cases}$，所以$a+b=2$。
(3) 由题意，P是Q的“和雅式”且和雅值为1，故$P-Q=1$：
$\frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=1$，
通分左边（$9-x^2=(3+x)(3-x)$）：$\frac{E -x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=1$，
分子整理得$E -3x -x^2=9 -x^2$，解得$E=3x+9$，
则$P=\frac{3x+9}{9-x^2}=\frac{3}{3-x}$，
因P为整数且x为整数，故$3-x$是3的约数，即$3-x=\pm1,\pm3$，
解得$x=0,2,4,6$，均满足分母不为0，符合条件，
所有符合条件的x之和为$0+2+4+6=12$。
【答案】
(1) C不是D的“和雅式”，理由见解析；
(2) $a+b=2$；
(3) E代表的代数式为$3x+9$，所有符合条件的x的值之和为12。
【知识点】
分式的运算、新定义运算
【点评】
本题为新定义结合分式运算的综合题，需准确理解新定义，熟练运用分式通分、约分及整式运算，同时结合整数性质求解参数，考查学生的理解与运算能力。
【难度系数】
0.5
24. (12分)某工厂急需生产一批健身器械共500台,送往销售点出售.当生产150台后,接到通知,要求提前完成任务,因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍,一共用8天刚好完成任务.
(1)原来每天生产健身器械多少台?
(2)运输公司大货车数量不足10辆,小货车数量充足,计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输.已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台,每辆车需要费用1 500元;每辆小货车一次可以运输健身器械20台,每辆车需要费用800元.在运输总费用不多于16 000元的前提下,请写出所有符合题意的运输方案.哪种运输方案的费用最低,最低运输费用是多少?
(1)原来每天生产健身器械多少台?
(2)运输公司大货车数量不足10辆,小货车数量充足,计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输.已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台,每辆车需要费用1 500元;每辆小货车一次可以运输健身器械20台,每辆车需要费用800元.在运输总费用不多于16 000元的前提下,请写出所有符合题意的运输方案.哪种运输方案的费用最低,最低运输费用是多少?
答案
本题考查分式方程的应用,二元一次不等式的应用,二元一次不等式的非负整数解.
(1)设原来每天生产健身器械$x$台,则提高工作效率后每天生产健身器械$1.4x$台,根据题意得
$\dfrac{150}{x} + \dfrac{500 - 150}{1.4x} = 8$,解得$x = 50$.
经检验,$x = 50$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原来每天生产健身器械50台.
(2)设使用$m$辆大货车,使用$n$辆小货车($0 ＜ m ＜ 10$).
$\because$ 同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输,
$\therefore 50m + 20n ≥ 500$,$\therefore n ≥ 25 - \dfrac{5}{2}m$.
又$\because$ 运输公司大货车数量不足10辆,小货车足够,且运输费用不超过16 000元,
$\therefore \begin{cases} m ＜ 10, \\ 1\ 500m + 800(25 - \dfrac{5}{2}m) ≤ 16\ 000, \end{cases}$
解得$8 ≤ m ＜ 10$.
又$\because m$为整数,$\therefore m = 8$或$m = 9$.
当$m = 8$时,$n ≥ 25 - \dfrac{5}{2}m = 25 - \dfrac{5}{2} × 8 = 5$;
当$m = 9$时,$n ≥ 25 - \dfrac{5}{2}m = 25 - \dfrac{5}{2} × 9 = \dfrac{5}{2}$.
又$\because n$是整数,$\therefore n$的最小值为$n = 3$,
$\therefore$ 共有2种运输方案,
方案一,使用8辆大货车,5辆小货车;
方案二,使用9辆大货车,3辆小货车.
方案一所需费用为$1\ 500 × 8 + 800 × 5 = 16\ 000$(元);
方案二所需费用为$1\ 500 × 9 + 800 × 3 = 15\ 900$(元).
$\because 16\ 000 ＞ 15\ 900$,
$\therefore$ 方案二运输费用最低,最低费用是15 900元.
(1)设原来每天生产健身器械$x$台,则提高工作效率后每天生产健身器械$1.4x$台,根据题意得
$\dfrac{150}{x} + \dfrac{500 - 150}{1.4x} = 8$,解得$x = 50$.
经检验,$x = 50$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原来每天生产健身器械50台.
(2)设使用$m$辆大货车,使用$n$辆小货车($0 ＜ m ＜ 10$).
$\because$ 同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输,
$\therefore 50m + 20n ≥ 500$,$\therefore n ≥ 25 - \dfrac{5}{2}m$.
又$\because$ 运输公司大货车数量不足10辆,小货车足够,且运输费用不超过16 000元,
$\therefore \begin{cases} m ＜ 10, \\ 1\ 500m + 800(25 - \dfrac{5}{2}m) ≤ 16\ 000, \end{cases}$
解得$8 ≤ m ＜ 10$.
又$\because m$为整数,$\therefore m = 8$或$m = 9$.
当$m = 8$时,$n ≥ 25 - \dfrac{5}{2}m = 25 - \dfrac{5}{2} × 8 = 5$;
当$m = 9$时,$n ≥ 25 - \dfrac{5}{2}m = 25 - \dfrac{5}{2} × 9 = \dfrac{5}{2}$.
又$\because n$是整数,$\therefore n$的最小值为$n = 3$,
$\therefore$ 共有2种运输方案,
方案一,使用8辆大货车,5辆小货车;
方案二,使用9辆大货车,3辆小货车.
方案一所需费用为$1\ 500 × 8 + 800 × 5 = 16\ 000$(元);
方案二所需费用为$1\ 500 × 9 + 800 × 3 = 15\ 900$(元).
$\because 16\ 000 ＞ 15\ 900$,
$\therefore$ 方案二运输费用最低,最低费用是15 900元.
解析
【分析】
第(1)问：要计算原来每天生产健身器械的数量，需利用“总生产时间为8天”的等量关系，设原来每天生产x台，分别表示生产前150台和剩余350台的时间，两者相加等于8天，据此列分式方程求解，且需检验解的合理性；第(2)问：要确定运输方案，需根据“运输总量不低于500台”“总费用不超过16000元”及“大货车数量不足10辆”的条件，设大货车数量为m、小货车数量为n，列出不等式组，结合m、n为正整数的要求确定m的取值，进而得到所有方案，再计算各方案费用比较得出最低费用。
【解析】
(1)设原来每天生产健身器械$x$台，则提高效率后每天生产$1.4x$台。
根据总生产时间为8天，列方程：
$\frac{150}{x} + \frac{500 - 150}{1.4x} = 8$
化简得：$\frac{150}{x} + \frac{250}{x} = 8$，即$\frac{400}{x}=8$，解得$x=50$。
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际生产要求。
(2)设使用$m$辆大货车，$n$辆小货车（$m$为正整数，$0＜m＜10$）。
根据运输总量要求：$50m + 20n ≥ 500$，整理得$n ≥ 25 - \frac{5}{2}m$；
根据运输费用要求：$1500m + 800n ≤ 16000$，将$n ≥ 25 - \frac{5}{2}m$代入得：
$1500m + 800(25 - \frac{5}{2}m) ≤ 16000$，计算得$-500m ≤ -4000$，解得$m ≥8$。
结合$0＜m＜10$且$m$为整数，得$m=8$或$m=9$。
当$m=8$时，$n ≥ 25 - \frac{5}{2}×8=5$，取整数$n=5$；
当$m=9$时，$n ≥ 25 - \frac{5}{2}×9=2.5$，取整数$n=3$。
计算各方案费用：
方案一（$m=8,n=5$）：$1500×8 + 800×5=16000$元；
方案二（$m=9,n=3$）：$1500×9 + 800×3=15900$元。
比较得方案二费用更低。
【答案】
(1)原来每天生产健身器械50台；
(2)共有2种运输方案：方案一：使用8辆大货车，5辆小货车；方案二：使用9辆大货车，3辆小货车；方案二的费用最低，最低运输费用是15900元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，方案选择
【点评】
本题结合实际生产与运输场景，考查分式方程和不等式组的应用，需注意分式方程解的检验，以及方案选择时整数解的确定，是中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要计算原来每天生产健身器械的数量，需利用“总生产时间为8天”的等量关系，设原来每天生产x台，分别表示生产前150台和剩余350台的时间，两者相加等于8天，据此列分式方程求解，且需检验解的合理性；第(2)问：要确定运输方案，需根据“运输总量不低于500台”“总费用不超过16000元”及“大货车数量不足10辆”的条件，设大货车数量为m、小货车数量为n，列出不等式组，结合m、n为正整数的要求确定m的取值，进而得到所有方案，再计算各方案费用比较得出最低费用。
【解析】
(1)设原来每天生产健身器械$x$台，则提高效率后每天生产$1.4x$台。
根据总生产时间为8天，列方程：
$\frac{150}{x} + \frac{500 - 150}{1.4x} = 8$
化简得：$\frac{150}{x} + \frac{250}{x} = 8$，即$\frac{400}{x}=8$，解得$x=50$。
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际生产要求。
(2)设使用$m$辆大货车，$n$辆小货车（$m$为正整数，$0＜m＜10$）。
根据运输总量要求：$50m + 20n ≥ 500$，整理得$n ≥ 25 - \frac{5}{2}m$；
根据运输费用要求：$1500m + 800n ≤ 16000$，将$n ≥ 25 - \frac{5}{2}m$代入得：
$1500m + 800(25 - \frac{5}{2}m) ≤ 16000$，计算得$-500m ≤ -4000$，解得$m ≥8$。
结合$0＜m＜10$且$m$为整数，得$m=8$或$m=9$。
当$m=8$时，$n ≥ 25 - \frac{5}{2}×8=5$，取整数$n=5$；
当$m=9$时，$n ≥ 25 - \frac{5}{2}×9=2.5$，取整数$n=3$。
计算各方案费用：
方案一（$m=8,n=5$）：$1500×8 + 800×5=16000$元；
方案二（$m=9,n=3$）：$1500×9 + 800×3=15900$元。
比较得方案二费用更低。
【答案】
(1)原来每天生产健身器械50台；
(2)共有2种运输方案：方案一：使用8辆大货车，5辆小货车；方案二：使用9辆大货车，3辆小货车；方案二的费用最低，最低运输费用是15900元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，方案选择
【点评】
本题结合实际生产与运输场景，考查分式方程和不等式组的应用，需注意分式方程解的检验，以及方案选择时整数解的确定，是中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.6
