18. 如图,在$□ ABCD$中,$∠D=30°,AC=AD=6,E,F$分别为$CD,AB$边上的动点,且$DE=BF$.现将$△ ADE$关于直线$AE$对称,点$D$的对应点记为$D'$,将$△ CBF$关于直线$CF$对称,点$B$的对应点记为$B'$,$□ ABCD$的面积为________,当以点$A,B',C,D'$为顶点的四边形是菱形时,$DE$的长度为________.

本题考查翻折变换的性质,平行四边形的性质,含30°角的直角三角形的性质,菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理.
在$□ABCD$中,$∠D = ∠B = 30°$,$AC = AD = CB = 6$,过点$A$作$AH ⊥ CD$,则$AH = \dfrac{1}{2}AD = 3$,$∠ACD = ∠D = 30°$,$CH = DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$,$CD = 2CH = 6\sqrt{3}$,$S_{□ABCD} = CD · AH = 6\sqrt{3} × 3 = 18\sqrt{3}$. $\because DE = BF$,$△AD'E$与$△ADE$关于$AE$对称,$△CB'F$与$△CBF$关于$CF$对称,$\therefore AD' = AD = CB = CB'$,$∠AD'E = ∠D = ∠B = ∠CB'F = 30°$. $\because$ 以点$A$,$B'$,$C$,$D'$为顶点的四边形是菱形,$\therefore AD' = CD' = AC = AB' = CB' = 6$,$\therefore △ACD'$和$△ACB'$都是等边三角形. 当点$E$在$DH$上时,如图1.

$\because ∠AD'C = ∠ACD' = 60°$,$∠ACD = ∠D = 30°$,$∠AD'E = ∠D = 30°$,$\therefore ∠DCD' = ∠ACD' - ∠ACD = 60° - 30° = 30°$,$∠CD'E = ∠AD'C + ∠AD'E = 60° + 30° = 90°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt }△CD'E$中,$DE = D'E = \dfrac{1}{2}CE = \dfrac{1}{3}DC = \dfrac{1}{3} × 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,
如图2,当点$E$在$HC$上时,在等边$△ACB'$中,$∠AB'C = ∠ACB' = 60°$,$∠ACD = ∠D = 30°$,$∠CB'E = ∠B'CE = ∠B = 30°$,$\therefore CE = B'E = \dfrac{2}{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{2}AC = \dfrac{2}{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 6 = 2\sqrt{3}$,
$\therefore DE = CD - CE = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.综上所述,$DE$的长度为$2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$.故答案为$18\sqrt{3}$;$2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$.

【分析】
首先，求平行四边形ABCD的面积，需利用含30°角的直角三角形性质，过A作CD边上的高AH，结合已知AD=AC=6、∠D=30°，算出高AH和底CD的长度，进而求出面积。其次，当以A、B'、C、D'为顶点的四边形是菱形时，利用翻折变换性质得AD'=AD、CB'=CB，结合平行四边形对边相等（AD=CB），可知AD'=CB'，再根据菱形四边相等的性质，得AD'=AC=CB'，推出△ACD'和△ACB'为等边三角形，最后分E在DH上和HC上两种情况，结合直角三角形性质计算DE的长度。
【解析】
1. 求□ABCD的面积：
过点A作AH⊥CD于H，在□ABCD中，∠D=30°，AD=6，
∴AH=½AD=3，DH=√(AD² - AH²)=√(6² - 3²)=3√3，
又
∵AC=AD=6，AH⊥CD，
∴CH=DH=3√3，
∴CD=DH + CH=6√3，
∴S□ABCD=CD·AH=6√3×3=18√3。
2. 求DE的长度：
由翻折性质得：AD'=AD=6，CB'=CB=6，∠AD'E=∠D=30°，∠CB'F=∠B=30°，
∵□ABCD中，AD=CB，
∴AD'=CB'，
若四边形AB'CD'为菱形，则AD'=CD'=AC=AB'=CB'=6，
∴△ACD'和△ACB'均为等边三角形，∠ACD'=∠CAD'=60°，∠ACB'=∠CAB'=60°。
情况1：点E在DH上：
∠ACD=∠D=30°，
∴∠DCD'=∠ACD' - ∠ACD=60° - 30°=30°，
∠CD'E=∠AD'C + ∠AD'E=60° + 30°=90°，
在Rt△CD'E中，∠DCD'=30°，
∴D'E=½CE，
设DE=x，则D'E=x，CE=CD - DE=6√3 - x，
∴x=½(6√3 - x)，解得x=2√3，即DE=2√3。
情况2：点E在HC上：
同理，∠B'CE=30°，∠CB'E=30°，
∴CE=B'E，结合等边△ACB'的性质，得CE=2√3，
∴DE=CD - CE=6√3 - 2√3=4√3。
综上，DE的长度为2√3或4√3。
【答案】
18√3；2√3或4√3
【知识点】
平行四边形性质、翻折变换、菱形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、翻折变换、菱形等知识点，需熟练运用含30°角的直角三角形性质，且需分类讨论E点的位置，难度适中，能较好考查学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.5

三、解答题(本大题共8小题,共76分.解答应写出过程)
19. (8分)解方程.
(1)$\frac{2}{x}=\frac{3}{x-1}$;
(2)$\frac{2x}{x-3}=1-\frac{6}{3-x}$.

本题考查解分式方程.
(1)$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x-1}$
方程两边同乘$x(x-1)$得
$2(x-1)=3x$,解得$x = -2$.
经检验,$x = -2$是原分式方程的解.
(2)$\dfrac{2x}{x-3}=1-\dfrac{6}{3-x}$
方程两边同乘$(x-3)$得
$2x = (x - 3) + 6$,解得$x = 3$.
当$x = 3$时,$x - 3 = 0$.
$\therefore x = 3$是增根,原分式方程无解.

【分析】
解分式方程的核心思路是将其转化为整式方程求解，步骤为：①确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去分母化为整式方程；②解整式方程；③检验所得根是否使原分式方程分母为0，若分母为0则是增根，原方程无解，否则为原方程的解。本题需注意第(2)题中分母$3-x$与$x-3$的符号关系，避免符号错误。
【解析】
(1) 对于方程$\frac{2}{x}=\frac{3}{x-1}$，
方程两边同乘最简公分母$x(x-1)$，得：
$2(x-1)=3x$，
展开整理得：$2x - 2 = 3x$，
移项解得：$x = -2$，
检验：当$x=-2$时，$x(x-1)=(-2)×(-3)=6≠0$，
故$x=-2$是原分式方程的解。
(2) 对于方程$\frac{2x}{x-3}=1-\frac{6}{3-x}$，
先将右边的$\frac{6}{3-x}$变形为$-\frac{6}{x-3}$，原方程化为：
$\frac{2x}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}$，
方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2x=(x-3)+6$，
展开整理得：$2x = x + 3$，
解得：$x=3$，
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，原分式方程分母为0，无意义，
故$x=3$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的基础解法，重点考查去分母转化整式方程及增根检验的关键步骤，第(2)题需注意分母符号变形，属于分式方程的常规题型，需掌握检验增根的必要性。
【难度系数】
0.6

20. (6 分)先化简,再求值:$\dfrac{3x - 9}{x^2 - 9} ÷ \dfrac{3x}{x + 3} - \dfrac{1}{x + 1}$,其中$x = 5$.

本题考查分式运算及化简求值.
$\dfrac{3x - 9}{x^2 - 9} ÷ \dfrac{3x}{x + 3} - \dfrac{1}{x + 1}$
$=\dfrac{3(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} · \dfrac{x + 3}{3x} - \dfrac{1}{x + 1}$
$=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$
$=\dfrac{x + 1 - x}{x(x + 1)}$
$=\dfrac{1}{x(x + 1)}$,
当$x = 5$时,原式$=\dfrac{1}{5 × 6} = \dfrac{1}{30}$.

【分析】
这是分式化简求值题，解题思路为：①根据分式除法法则，将除法转化为乘法；②对分子、分母的多项式因式分解，通过约分简化运算；③计算分式减法时，先通分再合并得到最简式；④最后代入给定的x值计算结果。
【解析】
$\dfrac{3x - 9}{x^2 - 9} ÷ \dfrac{3x}{x + 3} - \dfrac{1}{x + 1}$
$=\dfrac{3(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} · \dfrac{x + 3}{3x} - \dfrac{1}{x + 1}$
$=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$
$=\dfrac{x + 1 - x}{x(x + 1)}$
$=\dfrac{1}{x(x + 1)}$
当$x = 5$时，
原式$=\dfrac{1}{5×(5 + 1)} = \dfrac{1}{30}$
【答案】
$\dfrac{1}{30}$
【知识点】
分式的化简求值、分式的乘除运算、分式的加减运算
【点评】
本题考查分式的基本运算，属于基础题型，解题关键是熟练运用分式运算法则，先因式分解约分，再通分计算，最后代入求值，步骤明确，是分式运算的典型练习题。
【难度系数】
0.7

21. (8分)为了响应国家提出的“每天锻炼1小时”的号召,某校积极开展了形式多样的“阳光体育”运动,小红对该班同学参加运动的情况进行了统计(每人只能选其中一项),并绘制了如图的两幅统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题.

(1)小红这次一共调查了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)若该校有4 000名学生,请估计该校选择乒乓球的学生有多少名?

本题考查条形统计图和扇形统计图的应用,用样本估计总体.
(1)$20 ÷ 40\% = 50$(名).
$\therefore$ 这次一共调查了50名学生.
(2)$50 - 20 - 10 - 15 = 5$(名).
补全条形统计图如图,

(3)$\dfrac{5}{50} × 100\% = 10\%$,$4\ 000 × 10\% = 400$(名).
答:估计该校选择乒乓球的学生有400名.

【分析】
要解决这三个问题，首先利用扇形统计图中篮球项目的占比和条形统计图中篮球项目的人数，求出总调查人数；再用总人数减去已知项目的人数，得到乒乓球项目的人数以补全条形统计图；最后通过样本中乒乓球项目的占比，结合全校总人数估计总体中选择乒乓球的学生数。
【解析】
(1) 由条形图可知，参加篮球运动的有20人，由扇形图可知篮球运动人数占总调查人数的40%，因此总调查人数为：
$20 ÷ 40\% = 50$（名）。
(2) 总人数为50名，已知篮球20人、足球10人、其他15人，所以乒乓球运动的人数为：
$50 - 20 - 10 - 15 = 5$（名），据此补全条形统计图。
(3) 样本中乒乓球运动人数的占比为：
$\frac{5}{50} × 100\% = 10\%$，
全校4000名学生中选择乒乓球的人数约为：
$4000 × 10\% = 400$（名）。
【答案】
(1) 50名；(2) 补全的条形统计图如图，；(3) 400名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图的信息进行数据计算，属于统计基础应用题，考查学生对统计图数据关系的理解和应用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7