8. 如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置,旋转角为α(0°＜α＜90°).若∠1=116°,则α的大小是().

A.20°
B.22°
C.24°
D.26°

本题考查矩形的性质,四边形内角和定理,旋转变换的性质.
如题图,设$C'D'$交$BC$于点$E$,则$∠BED' = ∠1 = 116°$,在四边形$ABED'$中,$∠B = ∠D' = 90°$,$\therefore ∠BAD' + ∠BED' = 180°$,$\therefore ∠BAD' = 180° - 116° = 64°$,$\therefore ∠DAD' = ∠DAB - ∠BAD' = 90° - 64° = 26°$.故选D.

【分析】
要解决这个问题，需结合矩形的性质、旋转变换的性质以及四边形内角和定理分析：首先利用对顶角相等得到∠BED'的度数，再根据矩形旋转后对应角为直角，结合四边形内角和求出∠BAD'，最后用原矩形的直角减去∠BAD'，即可得到旋转角α。
【解析】
设$C'D'$交$BC$于点$E$，根据对顶角相等，得$∠ BED' = ∠ 1 = 116°$。
因为矩形$ABCD$绕点$A$旋转得到矩形$AB'C'D'$，所以$∠ B = ∠ D' = 90°$，且$∠ DAB = 90°$。
在四边形$ABED'$中，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ BAD' = 360° - ∠ B - ∠ D' - ∠ BED' = 360° - 90° - 90° - 116° = 64°$。
旋转角$α = ∠ DAD' = ∠ DAB - ∠ BAD' = 90° - 64° = 26°$。故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形性质、旋转变换性质、四边形内角和
【点评】
本题结合矩形的旋转变换，考查了矩形性质、四边形内角和定理的应用，核心是通过四边形内角和求出与旋转角相关的角度，进而计算旋转角，属于中等难度的几何计算题，需掌握旋转前后对应角相等的性质。
【难度系数】
0.6

9. 某村为了进一步加快农业现代化建设,计划新修水渠3 600 米,为了让水渠尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.2倍,结果提前20天完成任务,若设原计划每天修水渠x米,根据题意所列方程正确的是().

A.$\dfrac{3600}{x} - 20 = \dfrac{3600}{1.2x}$
B.$\dfrac{3600}{1.2x} - 20 = \dfrac{3600}{x}$
C.$\dfrac{3600}{x} = \dfrac{3600}{1.2x}$
D.$\dfrac{3600}{x} + \dfrac{3600}{1.2x} = 20$

本题考查由实际问题抽象出分式方程.
设原计划每天修水渠$x$米,则实际每天修水渠$1.2x$米,由题意,得$\dfrac{3\ 600}{x} - 20 = \dfrac{3\ 600}{1.2x}$.故选A.

【分析】
要解决这道题，需利用工程问题的基本关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路是先分别表示出原计划和实际完成任务的时间，再根据“提前20天完成”的等量关系推导方程：
1. 设原计划每天修水渠$x$米，先得出实际每天的工作效率为$1.2x$米；
2. 分别计算原计划、实际完成3600米水渠的时间；
3. 根据“原计划时间 - 实际时间 = 20天”的等量关系，整理得到对应方程，匹配选项即可。
【解析】
设原计划每天修水渠$x$米，则实际每天修水渠$1.2x$米。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
原计划完成任务的时间为$\frac{3600}{x}$天，
实际完成任务的时间为$\frac{3600}{1.2x}$天。
由“提前20天完成任务”，可知原计划时间比实际时间多20天，因此列方程：
$\frac{3600}{x} - \frac{3600}{1.2x} = 20$，
变形可得$\frac{3600}{x} - 20 = \frac{3600}{1.2x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题是工程问题中分式方程应用的基础题型，核心是找准“时间差”的等量关系，理清原计划与实际的工作效率、时间的对应关系，难度不大，需注意等量关系的转换。
【难度系数】
0.6

10. 如图,三角形$△ ABC$中,$AB = AC = 4$,$BC = 2$,$E,F$分别是边$AB,AC$上的动点,且$AE = CF$,则$CE + BF$的最小值为().

A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{6}$
C.$5.4$
D.$5.6$

本题考查等腰三角形的性质,平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,利用两点之间线段最短求最短路径,勾股定理.
如图,在$△ABC$中,$AB = AC = 4$,$BC = 2$,作$AH ⊥ BC$,则$∠ABC = ∠ACB$,$BH = CH = \dfrac{1}{2}BC = 1$,$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{15}$,以$AB$,$BC$为邻边作平行四边形$ABCD$,连接$BD$,过点$D$作$DG ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$G$,则$△DCG ≅ △ABH$,$\therefore CG = BH = 1$,$DG = AH = \sqrt{15}$,$\therefore BG = BC + CG = 2 + 1 = 3$.
在$\mathrm{Rt }△DBG$中,$BD = \sqrt{BG^2 + DG^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{15})^2} = 2\sqrt{6}$,连接$DF$,
在$□ABCD$中,$AB = AC = DC$,$∠BAC = ∠DCA$.
在$△ACE$和$△CDF$中,$\begin{cases} AC = CD, \\ ∠EAC = ∠FCD, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ACE ≅ △CDF(\mathrm{SAS})$,$\therefore CE = DF$,$\therefore CE + BF = DF + BF ≥ BD = 2\sqrt{6}$.当且仅当点$B$、$F$、$D$三点共线时取等号,$\therefore CE + BF$的最小值为$2\sqrt{6}$.故选B.

【分析】
要解决$CE + BF$的最小值问题，核心是利用转化思想，将两条线段的和转化为一条线段的长度。已知$△ ABC$是等腰三角形（$AB=AC$），且$AE=CF$，可通过构造平行四边形结合全等三角形的性质，把$CE$转化为与$BF$相关的线段，再利用“两点之间线段最短”确定最小值，最后用勾股定理计算该线段长度。
【解析】
1. 计算等腰$△ ABC$的高：作$AH ⊥ BC$于$H$，因为$AB=AC=4$，$BC=2$，所以$BH=CH=\frac{1}{2}BC=1$，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{4^2 -1^2}=\sqrt{15}$。
2. 构造平行四边形并计算相关边长：以$AB$、$BC$为邻边作平行四边形$ABCD$，连接$BD$，过$D$作$DG ⊥ BC$交$BC$的延长线于$G$。易证$△ DCG ≌ △ ABH$，得$CG=BH=1$，$DG=AH=\sqrt{15}$，故$BG=BC+CG=2+1=3$。
3. 计算$BD$的长度：在$\mathrm{Rt}△ DBG$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BG^2 + DG^2}=\sqrt{3^2 + (\sqrt{15})^2}=\sqrt{9+15}=2\sqrt{6}$。
4. 转化线段求最小值：在$□ ABCD$中，$AC=DC$，$∠ BAC=∠ DCA$，结合$AE=CF$，可证$△ ACE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$，得$CE=DF$。因此$CE + BF=DF + BF$，根据两点之间线段最短，$DF + BF ≥ BD$，当$B$、$F$、$D$三点共线时取等号，故$CE + BF$的最小值为$2\sqrt{6}$。
【答案】
B.
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，最短路径
【点评】
本题是等腰三角形背景下的最短路径问题，关键在于通过构造平行四边形和全等三角形，将分散的两条线段转化为两点间的线段，体现了转化思想的应用，需要学生掌握辅助线构造方法和几何定理的综合运用。
【难度系数】
0.3

11. 若二次根式$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________.

本题考查二次根式有意义的条件.
若二次根式$\sqrt{x-3}$有意义,则$x - 3 ≥ 0$,即$x≥3$.故答案为$x≥3$.

【分析】要确定二次根式中$x$的取值范围，需牢记二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。本题中二次根式$\sqrt{x-3}$的被开方数是$x-3$，因此只需让被开方数满足非负的条件，列出对应的不等式，解不等式就能得到$x$的取值范围。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可得：
$x - 3 ≥ 0$
解此不等式，两边同时加3，得：
$x ≥ 3$
【答案】$x ≥ 3$
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】本题是二次根式的基础题型，核心考查二次根式的基本性质，解题思路直接，属于必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.9

12. 若分式$\frac{x+5}{x-1}$的值为0,则$x$的值为________.

本题考查分式方程的应用.
$\dfrac{x+5}{x-1}=0$,则$\begin{cases} x + 5 = 0, \\ x - 1 ≠ 0 \end{cases}$,解得$x = -5$.故答案为$-5$.

【分析】要确定使分式$\frac{x+5}{x-1}$的值为0的$x$，需掌握分式值为0的两个必要条件：分子等于0，且分母不等于0，两个条件必须同时成立，缺一不可。因此先根据分子为0求出可能的$x$值，再验证分母是否不为0，即可得到正确结果。
【解析】根据分式值为0的条件，可列出方程组：
$\begin{cases} x + 5 = 0 \\ x - 1 ≠ 0 \end{cases}$
解第一个方程$x +5=0$，得$x=-5$；
验证第二个条件：当$x=-5$时，$x-1=-5-1=-6≠0$，满足分母不为0的要求。
因此$x$的值为$-5$。
【答案】$-5$
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，属于易得分题，解题关键是牢记分式值为0需同时满足分子为0和分母不为0，避免只关注分子而忽略分母的易错点。
【难度系数】0.8

13. 中国古代数学家祖冲之算出圆周率约为3.141 592 6,在3.141 592 6这个数中数字1出现的频数是.

本题考查频数的定义.
在3.141 592 6这个数字中,数字1出现的频数是2.故答案为2.

【分析】首先明确频数的定义：频数是指某个数字在一组数据中出现的次数。解题时需先列出给定小数的所有数字，再统计数字1出现的次数即可得到结果。
【解析】根据频数的定义，先写出3.1415926的所有数字：3、1、4、1、5、9、2、6。统计数字1出现的次数，可知数字1共出现2次，因此该数中数字1的频数为2。
【答案】2
【知识点】频数的定义
【点评】本题考查频数的基础概念，属于简单题，只需准确拆分数字并统计指定数字的出现次数即可，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】0.9

14. 在$□ ABCD$中,若$∠ A - ∠ B = 40°$,则$∠ A =$ ______°.

本题考查平行四边形的性质.
在$□ABCD$中,$∠A + ∠B = 180°$,又$\because ∠A - ∠B = 40°$,$\therefore 2∠A = 180° + 40° = 220°$,$\therefore ∠A = 110°$.故答案为110.

【分析】
要解决这道题，需利用平行四边形的核心性质：平行四边形的邻角互补，即∠A与∠B的和为180°。题目已给出∠A与∠B的差为40°，联立这两个条件就能通过简单运算求出∠A的度数。
【解析】
在平行四边形ABCD中，根据平行四边形邻角互补的性质，可得：
∠A + ∠B = 180°
又已知∠A - ∠B = 40°，将上述两个等式相加，消去∠B：
(∠A + ∠B) + (∠A - ∠B) = 180° + 40°
化简得：2∠A = 220°
两边同时除以2，解得：∠A = 110°
【答案】
110
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形邻角互补的基础性质，题目直接给出两个角的和与差，通过简单的方程运算即可求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

15. 已知$x+y=1$，$x-y=-3$，则$x^2 - y^2$的值为________.

本题考查代数式求值及因式分解,关键是掌握平方差公式.
$\because x + y = 1$,$x - y = -3$,$\therefore x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 1 × (-3) = -3$.故答案为$-3$.

【分析】
要计算$x^2 - y^2$的值，可利用平方差公式将该代数式因式分解，分解后会出现已知的$x+y$和$x-y$，直接代入已知值就能快速算出结果，无需额外求解$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对$x^2 - y^2$变形得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
已知$x + y = 1$，$x - y = -3$，代入上式计算：
原式$=1×(-3)=-3$
【答案】
-3
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题是基础的代数式求值题，核心考查平方差公式的应用，通过公式变形将所求式子转化为已知条件的乘积，避免复杂计算，体现了公式简化运算的作用。
【难度系数】
0.9

16. 如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED,AB=3,∠ABE=45°,则BC的长等于$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.

本题考查矩形的性质,角平分线的性质,等腰直角三角形的性质.
在矩形$ABCD$中,$∠BAE = 90°$,$∠ABE = 45°$,$AD // BC$,$AB = 3$,$\therefore ∠AEB = ∠ABE = 45°$,$∠DEC = ∠ECB$,$\therefore AB = AE = 3$,$BE = \sqrt{2}AB = 3\sqrt{2}$. $\because EC$平分$∠BED$,$\therefore ∠BEC = ∠DEC$,$\therefore ∠BEC = ∠BCE$,$\therefore BC = BE = 3\sqrt{2}$.故答案为$3\sqrt{2}$.

【分析】
要解决这个问题，我们可以结合矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及角平分线的性质逐步推导：
1. 利用矩形的性质得到对边平行、内角为直角，结合已知角度判断△ABE为等腰直角三角形，求出BE的长度；
2. 通过平行线的内错角相等和角平分线的定义，推导出△BEC为等腰三角形，进而得到BC与BE的等量关系，最终求出BC的长度。
【解析】
在矩形ABCD中：
1. 矩形的内角为直角，故∠BAE=90°；矩形对边平行，因此AD//BC，可得内错角∠DEC=∠ECB。
2. 已知∠ABE=45°，在△ABE中，∠BAE=90°，∠ABE=45°，则∠AEB=180°-90°-45°=45°，所以∠AEB=∠ABE，即△ABE是等腰直角三角形，因此AE=AB=3。
3. 根据勾股定理，BE=√(AB²+AE²)=√(3²+3²)=3√2。
4. 因为EC平分∠BED，所以∠BEC=∠DEC；结合∠DEC=∠ECB，可得∠BEC=∠ECB，因此△BEC是等腰三角形，BC=BE=3√2。
【答案】
3√2
【知识点】
矩形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查矩形、角平分线和等腰三角形的性质，解题核心是利用平行线与角平分线的关系推导等腰三角形，进而得到边的等量关系，需要学生熟练掌握几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.6

17. 如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=5,将直角三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到直角三角形EFG,EF与AC交于点H,且AH=2,则图中阴影部分的面积为.

本题考查平移的基本性质,由平移的基本性质可得$S_{△EFG}=S_{△ABC}$,则阴影部分的面积等于梯形$CGEH$的面积,再根据梯形面积公式求解即可.
$\because \mathrm{Rt }△ABC$沿$BC$方向平移2个单位长度得到$\mathrm{Rt }△EFG$,$\therefore EG = AC = 5$,$CG = 2$,$S_{△EFG} = S_{△ABC}$,$\therefore S_{△EFG} - S_{△CFH} = S_{△ABC} - S_{△CFH}$,$\therefore S_{\mathrm{梯形}CGEH} = S_{\mathrm{梯形}ABFH}$.$\because CH = AC - AH = 5 - 2 = 3$,$CG = BF = 2$,$EG = 5$,$\therefore S_{\mathrm{梯形}CGEH} = \dfrac{1}{2}(CH + EG) · CG = \dfrac{1}{2} × (3 + 5) × 2 = 8$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = 8$.故答案为8.

【分析】
要解决本题，需利用平移的性质：平移前后的图形全等，面积相等，由此可将阴影部分面积转化为规则图形的面积。具体思路是：平移后△ABC与△EFG面积相等，减去公共部分△CFH，阴影部分面积等于梯形CGEH的面积，再通过计算梯形的边长，用梯形面积公式求解。
【解析】
1. 根据平移的性质：Rt△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到Rt△EFG，因此对应边EG=AC=5，平移距离CG=2，且$S_{△ABC}=S_{△EFG}$。
2. 因为$S_{△ABC} - S_{△CFH} = S_{△EFG} - S_{△CFH}$，所以阴影部分的面积等于梯形CGEH的面积。
3. 计算梯形CGEH的上底：$CH = AC - AH = 5 - 2 = 3$，梯形的下底$EG=5$，高$CG=2$。
4. 根据梯形面积公式：$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得$S_{梯形CGEH}=\frac{1}{2}×(3+5)×2=8$，即阴影部分面积为8。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质、梯形面积计算
【点评】
本题考查平移的基本性质，核心是利用平移前后图形面积相等，将不规则的阴影面积转化为规则梯形的面积，是几何中常见的面积转化题型，需熟练掌握平移的性质和梯形面积公式。
【难度系数】
0.7