21. (6分)证明:三个连续奇数的平方和加1能被12整除.

21. 【点拨】本题考查列代数式,完全平方公式的运算.
【解析】证明:依题意,设三个连续奇数分别是 $2x-1,2x+1,2x+3$,
∴ $(2x-1)^2 + (2x+1)^2 + (2x+3)^2 + 1$
$=4x^2 -4x +1 +4x^2 +4x +1 +4x^2 +12x +9 +1$
$=12x^2 +12x +12$
$=12(x^2 +x +1)$.
∵ $12(x^2 +x +1)$ 能被12整除,
∴ 三个连续奇数的平方和加1能被12整除.

22. (6分)已知四边形ABDC如图所示.
(1) 试猜想∠BDC,∠BAC,∠B,∠C之间的数量关系；
(2) 若∠B=∠C, AF平分∠BAC, DE平分∠BDC,利用(1)的结论证明: AF//DE.

22. 【点拨】本题考查三角形外角的性质、平行线的判定和角平分线的定义.
【解析】(1)连接 $AD$ 并延长至点 $H$,如图,则 $∠BDH = ∠B + ∠BAD$,
$∠HDC = ∠C + ∠CAD$.
∵ $∠BDC = ∠BDH + ∠HDC,∠BAC = ∠BAD + ∠CAD$,
∴ $∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C$.
(2)证明:
∵ $AF$ 平分 $∠BAC,DE$ 平分 $∠BDC$,
∴ $∠BAF = ∠FAC,∠BDE = ∠EDC$.
由(1)知 $∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C$,则 $\dfrac{1}{2}∠BDC = \dfrac{1}{2}(∠BAC + ∠B + ∠C)$,
∴ $∠EDC = ∠FAC + \dfrac{1}{2}(∠B + ∠C)$.
∵ $∠B = ∠C$,
∴ $∠EDC = ∠FAC + ∠C$.
∵ $∠CGF = ∠FAC + ∠C$,
∴ $∠CGF = ∠EDC$,
∴ $AF // DE$.

23. (6分)如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角.求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角小于或等于60°.
证明:假设,
∴ .
这与“”矛盾,
∴假设不成立,∠A,∠B,∠C中至少有一个角小于或等于60°.
·82·

23. 【点拨】本题考查反证法的应用.
【解析】证明:假设三角形中所有角都大于 $60°$,
∴ $∠A + ∠B + ∠C ＞ 180°$.
这与“三角形的内角和为 $180°$”矛盾,
∴ 假设不成立,$∠A,∠B,∠C$ 中至少有一个角小于或等于 $60°$.