方法技巧 等腰三角形模型(四)——倍角模型〈化倍角为等角〉
【方法归纳】化倍角为等角，构造等腰与全等是倍角问题常规方法。
题型一 结合角等运用截长或补短构全等与等腰
【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，若AD平分∠BAC交BC于点D，求证：AB＋BD＝AC。

备用图

证明:方法一(截长法):在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.

在△ABD 和△AED 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,
∠B=∠AED=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴CE=DE=BD,
∴AB+BD=AC.
方法二(补短法):延长 AB 至点 E,使 BE=BD,连接 DE.

∵∠ABC=2∠C=2∠E,
∴∠E=∠C,
在△AED 和△ACD 中,$\begin{cases} ∠E=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,
∴AC=AB+BD.

变式.如图，P为$△ ABC$角平分线的交点，$∠ CAB=2∠ ABC$，求证：$BC=AC+AP$.

证明:方法一(截长法):在 BC 上取 CM=CA,连接 PM,

在△ACP 和△MCP 中,$\begin{cases} AC=CM, \\ ∠ACP=∠MCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△ACP≌△MCP(SAS),
∴PA=PM,
∴∠CAP=∠CMP=∠MBP+∠MPB,
∴∠MBP=∠MPB,
∴BM=MP,
∴BC=AC+AP.
方法二(补短法):延长 CA 至点 N,使 CN=CB,

在△CNP 和△CBP 中,
$\begin{cases} CN=CB, \\ ∠NCP=∠BCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△CNP≌△CBP(SAS),
∴∠N=∠CBP,
又
∵∠CAP=∠N+∠APN,
∴∠N=∠APN,
∴AP=AN,
∴BC=AC+AP.

【典例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=2∠ C$，若$AD⊥ BC$于$D$，$BD=4$，$CD=16$，求$AB$的长。

解:方法一:(截长法)在 DC 上截取 DF=BD,连接 AF.

则∠ABC=∠AFB=2∠C,
∴∠FAC=∠C,
∴BD=DF=4,
∴AB=12.
方法二:(补短法)延长 CB 到 F,使 BF=AB.

可得∠F=∠C,
FD=DC=16,
∴AB=BF=12.