【典例1】如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=108°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于$D$，求证：$BC=CD+AB$.(用两种方法)


备用图

方法一(截长法):在BC上取点E,使BE=BA.
连接DE，
在△ABD和△EBD中,
$\begin{cases} AB=BE, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠A=108°,
∴∠DEC=∠CDE=72°,
∴CD=CE,
∴BC=AB+CD.
方法二(补短法):在BA的延长线上取点E,使BE=BC,连接DE，
在△BED和△BCD中,
$\begin{cases} BE=BC, \\ ∠DBE=∠DBC, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△BDE≌△BDC(SAS),
∴DE=DC,
∠E=∠C=36°,
又
∵∠EAD=72°,
∴∠EDA=∠EAD=72°,
∴EA=ED,
∴BC=BE=AB+CD.

题型二 抓等角与问题中线段和差，将线段和差问题转化为等线段问题构全等
【典例2】如图，在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，过点$C$作$BC$的垂线$CD$，点$E$为$BC$上一点，且$∠1=∠2$，求证：$BE+CD=DE$。

方法一(截长法):在DE上取点M,使DM=CD.
连接BM,AM，
则△DCA≌△DMA,
∴AM=AC=AB,
∴∠ABM=∠AMB,
∵∠EMA=45°=∠ABE,
∴∠EBM=∠EMB,
∴BE=EM,
∴BE+CD=DE.

方法二(补短法):延长EB至N,使BN=CD.
连接AN,DN,则△ABN≌△ACD,
∴AN=AD,∠1=∠ANB,
∵∠AND=∠ADN,
∴∠END=∠EDN,
∴ED=EN=BE+BN=BE+CD.