登录
【典例1】如图，若点D在AB下方，AD⊥BD，求∠BDC的度数. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M，
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCM,\\AC=BC,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ BDC=∠ M=45°.$
变式.如图,点 D 在 AB 下方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACD=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ ADC=∠ M=45°,$
$\therefore AD⊥ BD.$
【典例2】如图，点D在AB上方，AD⊥BD，求∠BDC的度数.
答案
证明:$\because ∠ ADB=∠ BCA,$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBD,$
过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore ∠ DCA=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ DCA=∠ BCM,\\CA=CB,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ CDB=45°.$
变式.如图,点 D 在 AB 上方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ DCA=∠ MCB,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBM,$
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°.$
135°,求证:AD⊥BD. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$,交 AD 的延长线于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACM=∠ BCD,$
在$△ ACM$ 和$△ BCD$ 中，
$\begin{cases}CM=CD,\\∠ MCA=∠ DCB,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ MAC=∠ DBC,$
$\therefore AD⊥ BD.$
变式.如图,点P在AB上,连接PC,PE⊥PC,且PE=PC,求证:BE//AC. 
答案
证明:过点 P 作$PM ⊥ AB$,交 BC 的延长线于点 M，
$\therefore PM=BP,$
$∠ MPC=∠ EPB,$
在$△ CPM$ 和$△ EPB$ 中，
$\begin{cases}PM=PB,\\∠ MPC=∠ EPB,\\PC=PE,\end{cases}$
$\therefore △ CPM≌ △ EPB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ PBE=45°,\therefore BE// AC.$
