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4. 如图16-11,过点$A(2,0)$的两条直线$l_1$,$l_2$分别交$y$轴于点$B$,$C$,其中点$B$在原点上方,点$C$在原点下方,$AB=\sqrt{13}$.
(1)求点$B$的坐标;
(2)若$△ ABC$的面积为$4$,求直线$l_2$的函数表达式.
图16-11
(1)求点$B$的坐标;
(2)若$△ ABC$的面积为$4$,求直线$l_2$的函数表达式.
图16-11
答案
4.(1)$\because$ 点$A(2,0),AB=\sqrt{13},\therefore BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{9}=3.\therefore$ 点B的坐标为$(0,3).$
(2)$\because △ ABC$的面积为4,$\therefore \frac{1}{2}·BC·AO=4.$
$\therefore \frac{1}{2}·BC·2=4$,即$BC=4.\because BO=3,$
$\therefore CO=4-3=1.\therefore$ 点C的坐标为$(0,-1).$设$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,则$\begin{cases}2k+b=0,\\b=-1.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=-1.\end{cases}$$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-1.$
(2)$\because △ ABC$的面积为4,$\therefore \frac{1}{2}·BC·AO=4.$
$\therefore \frac{1}{2}·BC·2=4$,即$BC=4.\because BO=3,$
$\therefore CO=4-3=1.\therefore$ 点C的坐标为$(0,-1).$设$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,则$\begin{cases}2k+b=0,\\b=-1.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=-1.\end{cases}$$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-1.$
解析
【分析】
（1）要求点B的坐标，点B在y轴上，横坐标为0，只需计算OB的长度即可。由点A坐标可得OA=2，△AOB是直角三角形，结合AB的长度，用勾股定理可算出OB的长，再根据B在原点上方确定纵坐标的符号。
（2）要求直线$l_2$的函数表达式，已知$l_2$过点$A(2,0)$，只需先求出点C的坐标。△ABC以BC为底，高为OA的长度，结合已知面积可求出BC的长度，再结合OB的长度算出OC的长，根据C在原点下方确定C的坐标，最后用待定系数法代入两点坐标求解一次函数表达式。
【解析】
(1) 已知点$A(2,0)$，因此$AO=2$。
由题意得$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$，根据勾股定理：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$
因为点B在y轴正半轴，所以点B的坐标为$(0,3)$。
(2) 已知$△ ABC$的面积为4，$△ ABC$以BC为底时，对应高为AO的长度，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AO = 4$
代入$AO=2$，得$\frac{1}{2} · BC · 2 = 4$，解得$BC=4$。
已知$BO=3$，因此$CO=BC-BO=4-3=1$，因为点C在y轴负半轴，所以点C的坐标为$(0,-1)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(2,0)$和$C(0,-1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k + b = 0\\b = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x -1$。
【答案】
(1) $\boxed{(0,3)}$
(2) $\boxed{y=\frac{1}{2}x-1}$
【知识点】
勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合基础题，结合了勾股定理、三角形面积公式和一次函数解析式求解的知识点，解题关键是先求出对应点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式。
【难度系数】
0.7
（1）要求点B的坐标，点B在y轴上，横坐标为0，只需计算OB的长度即可。由点A坐标可得OA=2，△AOB是直角三角形，结合AB的长度，用勾股定理可算出OB的长，再根据B在原点上方确定纵坐标的符号。
（2）要求直线$l_2$的函数表达式，已知$l_2$过点$A(2,0)$，只需先求出点C的坐标。△ABC以BC为底，高为OA的长度，结合已知面积可求出BC的长度，再结合OB的长度算出OC的长，根据C在原点下方确定C的坐标，最后用待定系数法代入两点坐标求解一次函数表达式。
【解析】
(1) 已知点$A(2,0)$，因此$AO=2$。
由题意得$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$，根据勾股定理：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$
因为点B在y轴正半轴，所以点B的坐标为$(0,3)$。
(2) 已知$△ ABC$的面积为4，$△ ABC$以BC为底时，对应高为AO的长度，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AO = 4$
代入$AO=2$，得$\frac{1}{2} · BC · 2 = 4$，解得$BC=4$。
已知$BO=3$，因此$CO=BC-BO=4-3=1$，因为点C在y轴负半轴，所以点C的坐标为$(0,-1)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(2,0)$和$C(0,-1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k + b = 0\\b = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x -1$。
【答案】
(1) $\boxed{(0,3)}$
(2) $\boxed{y=\frac{1}{2}x-1}$
【知识点】
勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合基础题，结合了勾股定理、三角形面积公式和一次函数解析式求解的知识点，解题关键是先求出对应点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式。
【难度系数】
0.7
七、一次函数图象的位置关系
1. 对于直线$y=kx+b$，若$b$减少1个单位长度，则它将 （
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向下平移1个单位长度
D.向上平移1个单位长度
1. 对于直线$y=kx+b$，若$b$减少1个单位长度，则它将 （
C
）A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向下平移1个单位长度
D.向上平移1个单位长度
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查一次函数图象的平移规律，解题时首先要明确一次函数$y=kx+b$中各参数的意义：$k$决定直线的倾斜方向和程度，$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标（纵截距）。其次牢记平移规律：上下平移改变常数项$b$，规律为“上加下减”，即$b$增大图象上移，$b$减小图象下移；左右平移改变自变量$x$，规律为“左加右减”。本题中$b$减少1个单位，属于常数项的减小，对应上下平移的规律即可判断。
【解析】
原直线的解析式为$ y=kx+b $，当$b$减少1个单位长度后，新直线的解析式为：
$ y = kx + (b-1) = (kx + b) - 1 $
对比原解析式可知，对任意相同的$x$值，新函数的函数值比原函数的函数值小1，即直线上所有点的纵坐标都比原来减少1，因此图象向下平移1个单位长度。
选项A向左平移1个单位对应的解析式为$ y=k(x+1)+b $，不符合；选项B向右平移1个单位对应的解析式为$ y=k(x-1)+b $，不符合；选项D向上平移1个单位对应的解析式为$ y=kx+b+1 $，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数平移规律
【点评】
本题是一次函数平移的基础考查题，核心是理解一次函数中参数$b$的意义和图象平移的规律，熟练掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查一次函数图象的平移规律，解题时首先要明确一次函数$y=kx+b$中各参数的意义：$k$决定直线的倾斜方向和程度，$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标（纵截距）。其次牢记平移规律：上下平移改变常数项$b$，规律为“上加下减”，即$b$增大图象上移，$b$减小图象下移；左右平移改变自变量$x$，规律为“左加右减”。本题中$b$减少1个单位，属于常数项的减小，对应上下平移的规律即可判断。
【解析】
原直线的解析式为$ y=kx+b $，当$b$减少1个单位长度后，新直线的解析式为：
$ y = kx + (b-1) = (kx + b) - 1 $
对比原解析式可知，对任意相同的$x$值，新函数的函数值比原函数的函数值小1，即直线上所有点的纵坐标都比原来减少1，因此图象向下平移1个单位长度。
选项A向左平移1个单位对应的解析式为$ y=k(x+1)+b $，不符合；选项B向右平移1个单位对应的解析式为$ y=k(x-1)+b $，不符合；选项D向上平移1个单位对应的解析式为$ y=kx+b+1 $，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数平移规律
【点评】
本题是一次函数平移的基础考查题，核心是理解一次函数中参数$b$的意义和图象平移的规律，熟练掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2. 函数$y=-x$的图象与函数$y=x+1$的图象的交点在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2.B
解析
【分析】
要确定两个一次函数图象的交点所在象限，首先需要求出交点坐标。两个函数图象的交点坐标就是同时满足两个函数解析式的x、y的取值，因此首先将两个函数解析式联立成二元一次方程组，求解得到交点的横、纵坐标，再根据平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征（第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)），就能判断交点所在的象限。
【解析】
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=-x \\ y=x+1 \end{cases}$
将$y=-x$代入第二个方程，得：
$-x = x + 1$
移项合并同类项，得：$-2x = 1$
解得：$x=-\frac{1}{2}$
把$x=-\frac{1}{2}$代入$y=-x$，得$y=\frac{1}{2}$
因此两个函数图象的交点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
该点横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征，因此交点在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点求解；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查对函数交点本质的理解，同时结合了二元一次方程组求解、象限坐标符号的知识点，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要确定两个一次函数图象的交点所在象限，首先需要求出交点坐标。两个函数图象的交点坐标就是同时满足两个函数解析式的x、y的取值，因此首先将两个函数解析式联立成二元一次方程组，求解得到交点的横、纵坐标，再根据平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征（第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)），就能判断交点所在的象限。
【解析】
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=-x \\ y=x+1 \end{cases}$
将$y=-x$代入第二个方程，得：
$-x = x + 1$
移项合并同类项，得：$-2x = 1$
解得：$x=-\frac{1}{2}$
把$x=-\frac{1}{2}$代入$y=-x$，得$y=\frac{1}{2}$
因此两个函数图象的交点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
该点横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征，因此交点在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点求解；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查对函数交点本质的理解，同时结合了二元一次方程组求解、象限坐标符号的知识点，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3.把直线$y=-x+3$向上平移$m$个单位长度后，与直线$y=2x+4$的交点在第一象限，则$m$的取值范围是（
A.$1＜m＜7$
B.$3＜m＜4$
C.$m＞1$
D.$m＜4$
C
）A.$1＜m＜7$
B.$3＜m＜4$
C.$m＞1$
D.$m＜4$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象的平移规律：上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”的规则，先写出平移后的直线解析式；再联立两条直线的解析式求出交点坐标；最后根据第一象限内点的横、纵坐标均大于0的性质，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的直线解析式：直线$y=-x+3$向上平移$m$个单位后，解析式为$y=-x+3+m$。
2. 联立两条直线解析式求交点：
联立$\begin{cases}y=-x+3+m \\ y=2x+4 \end{cases}$
令两式右边相等：$-x+3+m=2x+4$
移项合并同类项得：$-3x=1-m$，解得$x=\frac{m-1}{3}$
将$x=\frac{m-1}{3}$代入$y=2x+4$，得：
$y=2×\frac{m-1}{3}+4=\frac{2m-2+12}{3}=\frac{2m+10}{3}$
3. 根据交点在第一象限列不等式：
第一象限内的点满足横坐标$x＞0$，纵坐标$y＞0$，因此：
$\begin{cases}\frac{m-1}{3}＞0 \\ \frac{2m+10}{3}＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$m-1＞0$，得$m＞1$
解第二个不等式：$2m+10＞0$，得$m＞-5$
取两个解集的公共部分，得$m＞1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象平移；一次函数交点求解；点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心是掌握一次函数平移的规律和不同象限内点的坐标性质，是函数与不等式结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一次函数图象的平移规律：上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”的规则，先写出平移后的直线解析式；再联立两条直线的解析式求出交点坐标；最后根据第一象限内点的横、纵坐标均大于0的性质，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的直线解析式：直线$y=-x+3$向上平移$m$个单位后，解析式为$y=-x+3+m$。
2. 联立两条直线解析式求交点：
联立$\begin{cases}y=-x+3+m \\ y=2x+4 \end{cases}$
令两式右边相等：$-x+3+m=2x+4$
移项合并同类项得：$-3x=1-m$，解得$x=\frac{m-1}{3}$
将$x=\frac{m-1}{3}$代入$y=2x+4$，得：
$y=2×\frac{m-1}{3}+4=\frac{2m-2+12}{3}=\frac{2m+10}{3}$
3. 根据交点在第一象限列不等式：
第一象限内的点满足横坐标$x＞0$，纵坐标$y＞0$，因此：
$\begin{cases}\frac{m-1}{3}＞0 \\ \frac{2m+10}{3}＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$m-1＞0$，得$m＞1$
解第二个不等式：$2m+10＞0$，得$m＞-5$
取两个解集的公共部分，得$m＞1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象平移；一次函数交点求解；点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心是掌握一次函数平移的规律和不同象限内点的坐标性质，是函数与不等式结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
4. 一次函数$y=-2x+4$的图象与x轴的交点坐标是
$(2,0)$
，与y轴的交点坐标是$(0,4)$
。答案
4.$(2,0)$，$(0,4)$
解析
【分析】
解题时需要用到两个核心规律：一是函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式，二是x轴上所有点的纵坐标为0，y轴上所有点的横坐标为0。求解一次函数与x轴交点时，令解析式中y=0，解出对应的x值即可得到交点横坐标，纵坐标固定为0；求解与y轴交点时，令解析式中x=0，解出对应的y值即可得到交点纵坐标，横坐标固定为0。
【解析】
1. 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入$y=-2x+4$，可得：
$0=-2x+4$
移项计算得$2x=4$，解得$x=2$
因此与x轴的交点坐标为$(2,0)$。
2. 求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=-2x+4$，可得：
$y=-2×0+4=4$
因此与y轴的交点坐标为$(0,4)$。
【答案】
$(2,0)$，$(0,4)$
【知识点】
一次函数的图象；坐标轴上点的坐标特征；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础题，主要考察一次函数与坐标轴交点的求解方法，熟练掌握坐标轴上点的坐标规律、理解函数解析式和图象上点的对应关系即可快速解题，是函数模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
解题时需要用到两个核心规律：一是函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式，二是x轴上所有点的纵坐标为0，y轴上所有点的横坐标为0。求解一次函数与x轴交点时，令解析式中y=0，解出对应的x值即可得到交点横坐标，纵坐标固定为0；求解与y轴交点时，令解析式中x=0，解出对应的y值即可得到交点纵坐标，横坐标固定为0。
【解析】
1. 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入$y=-2x+4$，可得：
$0=-2x+4$
移项计算得$2x=4$，解得$x=2$
因此与x轴的交点坐标为$(2,0)$。
2. 求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=-2x+4$，可得：
$y=-2×0+4=4$
因此与y轴的交点坐标为$(0,4)$。
【答案】
$(2,0)$，$(0,4)$
【知识点】
一次函数的图象；坐标轴上点的坐标特征；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础题，主要考察一次函数与坐标轴交点的求解方法，熟练掌握坐标轴上点的坐标规律、理解函数解析式和图象上点的对应关系即可快速解题，是函数模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
