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六、待定系数法求一次函数的表达式
1. 如图16-9,在长方形AOBC中, $A(-2,0),B(0,1)$. 若正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $C$,则 $k$ 的值为 （
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-2$
D.$2$
1. 如图16-9,在长方形AOBC中, $A(-2,0),B(0,1)$. 若正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $C$,则 $k$ 的值为 （
A
）A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-2$
D.$2$
答案
1.A 提示:$\because A(-2,0),B(0,1),\therefore OA=2,OB=1.\because$ 四边形AOBC是长方形,$\therefore AC=OB=1,BC=OA=2.\therefore$ 点C的坐标为$(-2,1).$将点C$(-2,1)$代入$y=kx$,得$1=-2k.$解得$k=-\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
要确定正比例函数$y=kx$中$k$的值，首先需要得到函数图象经过的点$C$的坐标。已知长方形$AOBC$的顶点$A$、$B$的坐标，我们可以利用长方形对边相等的性质，结合$A$、$B$的坐标推出点$C$的横、纵坐标；再将点$C$的坐标代入正比例函数表达式，解方程即可求出$k$的值。
【解析】
解：由$A(-2,0)$，$B(0,1)$可得$OA=2$，$OB=1$。
∵四边形$AOBC$是长方形，
∴$AC=OB=1$，$BC=OA=2$，且点$C$位于第二象限，
∴点$C$的坐标为$(-2,1)$。
将$C(-2,1)$代入$y=kx$，得：
$1=-2k$
解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形的性质；点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础类题目，将平面图形性质与函数知识相结合，解题的核心是利用长方形的性质准确求出点$C$的坐标，再通过待定系数法计算参数即可，主要考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要确定正比例函数$y=kx$中$k$的值，首先需要得到函数图象经过的点$C$的坐标。已知长方形$AOBC$的顶点$A$、$B$的坐标，我们可以利用长方形对边相等的性质，结合$A$、$B$的坐标推出点$C$的横、纵坐标；再将点$C$的坐标代入正比例函数表达式，解方程即可求出$k$的值。
【解析】
解：由$A(-2,0)$，$B(0,1)$可得$OA=2$，$OB=1$。
∵四边形$AOBC$是长方形，
∴$AC=OB=1$，$BC=OA=2$，且点$C$位于第二象限，
∴点$C$的坐标为$(-2,1)$。
将$C(-2,1)$代入$y=kx$，得：
$1=-2k$
解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形的性质；点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础类题目，将平面图形性质与函数知识相结合，解题的核心是利用长方形的性质准确求出点$C$的坐标，再通过待定系数法计算参数即可，主要考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-1,1)$和$(1,-5)$，求当$x=5$时，函数$y$的值.
答案
2.由题意,得$\begin{cases}1=-k+b,\\-5=k+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\b=-2.\end{cases}$这个函数表达式为$y=-3x-2.$当$x=5$时,$y=-3×5-2=-17.$
解析
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的函数值，首先需要求出解析式中的未知参数$k$和$b$。由于一次函数有2个未知参数，需要2组对应值建立方程求解，已知函数图象经过两个点，点的坐标满足函数解析式，因此可将两个点的坐标分别代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$即可确定函数解析式，最后将$x=5$代入解析式就能求出对应的$y$值。
【解析】
解：将点$(-1,1)$和$(1,-5)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}1=-k+b\\-5=k+b\end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=-4$，解得$b=-2$；
把$b=-2$代入$1=-k+b$，得$1=-k-2$，解得$k=-3$。
因此该一次函数的表达式为$y=-3x-2$。
当$x=5$时，代入解析式计算：
$y=-3×5-2=-17$
【答案】
$-17$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数代入求值
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法，这类题型是后续学习各类函数求解析式的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数$y=kx+b$的函数值，首先需要求出解析式中的未知参数$k$和$b$。由于一次函数有2个未知参数，需要2组对应值建立方程求解，已知函数图象经过两个点，点的坐标满足函数解析式，因此可将两个点的坐标分别代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$即可确定函数解析式，最后将$x=5$代入解析式就能求出对应的$y$值。
【解析】
解：将点$(-1,1)$和$(1,-5)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}1=-k+b\\-5=k+b\end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=-4$，解得$b=-2$；
把$b=-2$代入$1=-k+b$，得$1=-k-2$，解得$k=-3$。
因此该一次函数的表达式为$y=-3x-2$。
当$x=5$时，代入解析式计算：
$y=-3×5-2=-17$
【答案】
$-17$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数代入求值
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法，这类题型是后续学习各类函数求解析式的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 如图16-10,直线 l 是一次函数 $y=kx+b$ 的图象,若点 $A(3,m)$ 在直线 $l$ 上,求 $m$ 的值.
图16-10
图16-10
答案
3.由题意,得直线l过点$(-2,0),(0,1)$,把这两点坐标代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-2k+b=0,\\b=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=1.\end{cases}$$\therefore y=\frac{1}{2}x+1.$将点$A(3,m)$代入,得$\frac{3}{2}+1=m$,解得$m=\frac{5}{2}.$
解析
【分析】
要计算点A的纵坐标m，首先需要确定直线l对应的一次函数解析式。一次函数解析式为$y=kx+b$，包含两个未知系数k和b，需要找到直线上两个已知点的坐标，代入列方程组求解。从图象可直接得到直线l与x轴交点为$(-2,0)$，与y轴交点为$(0,1)$，先利用这两个点求出k、b的值得到解析式，再将点A的横坐标$x=3$代入解析式，就能求出m的值。
【解析】
由图象可知直线l过点$(-2,0)$和$(0,1)$，将两点坐标代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k+b=0\\b=1\end{cases}$
把$b=1$代入$-2k+b=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 直线l对应的一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
将点$A(3,m)$代入解析式，得：
$m=\frac{1}{2}×3+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$
【答案】
$m=\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查待定系数法的使用，以及函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握待定系数法的求解步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算点A的纵坐标m，首先需要确定直线l对应的一次函数解析式。一次函数解析式为$y=kx+b$，包含两个未知系数k和b，需要找到直线上两个已知点的坐标，代入列方程组求解。从图象可直接得到直线l与x轴交点为$(-2,0)$，与y轴交点为$(0,1)$，先利用这两个点求出k、b的值得到解析式，再将点A的横坐标$x=3$代入解析式，就能求出m的值。
【解析】
由图象可知直线l过点$(-2,0)$和$(0,1)$，将两点坐标代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k+b=0\\b=1\end{cases}$
把$b=1$代入$-2k+b=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 直线l对应的一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
将点$A(3,m)$代入解析式，得：
$m=\frac{1}{2}×3+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$
【答案】
$m=\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查待定系数法的使用，以及函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握待定系数法的求解步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
