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五、一次函数的图象和性质
1. 设$A(a,b)$是正比例函数$y=-\frac{3}{2}x$图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（
A.$2a+3b=0$
B.$2a-3b=0$
C.$3a-2b=0$
D.$3a+2b=0$
1. 设$A(a,b)$是正比例函数$y=-\frac{3}{2}x$图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（
D
）A.$2a+3b=0$
B.$2a-3b=0$
C.$3a-2b=0$
D.$3a+2b=0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个等式成立，核心思路是：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标满足该函数的解析式。因此我们只需将点A的坐标代入正比例函数解析式，再通过等式变形整理为整式方程，和选项对比即可得到答案。
【解析】
∵点$A(a,b)$在正比例函数$y=-\frac{3}{2}x$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入解析式得：$b=-\frac{3}{2}a$，
等式两边同时乘2消去分母，得：$2b=-3a$，
移项整理得：$3a+2b=0$，
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征、等式的性质
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查点是“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一基础结论，解题过程只需要代入坐标后简单变形即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
要判断哪个等式成立，核心思路是：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标满足该函数的解析式。因此我们只需将点A的坐标代入正比例函数解析式，再通过等式变形整理为整式方程，和选项对比即可得到答案。
【解析】
∵点$A(a,b)$在正比例函数$y=-\frac{3}{2}x$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入解析式得：$b=-\frac{3}{2}a$，
等式两边同时乘2消去分母，得：$2b=-3a$，
移项整理得：$3a+2b=0$，
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征、等式的性质
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查点是“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一基础结论，解题过程只需要代入坐标后简单变形即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
2. 已知点$(-4,y_1),(2,y_2)$都在直线$y=-\frac{1}{2}x+2$上，则$y_1,y_2$的大小关系是
（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能比较
（
A
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能比较
答案
2.A
解析
【分析】
要比较直线上两个点的纵坐标大小，有两种常用思路：思路1：直接将两个点的横坐标代入直线解析式，分别算出$y_1$和$y_2$的数值，再比较大小；思路2：利用一次函数的增减性判断：先看一次项系数$k$的正负，确定$y$随$x$的变化规律，再比较两个点横坐标的大小，就能对应得到$y$值的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
把$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_1 = -\frac{1}{2}×(-4) + 2 = 2 + 2 = 4$
把$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_2 = -\frac{1}{2}×2 + 2 = -1 + 2 = 1$
因为$4＞1$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：增减性判断法
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），本题中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知两个点的横坐标$-4＜2$，根据增减性，横坐标越小，对应的$y$值越大，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，两种解题方法都很常用，代入法思路直接好理解，利用增减性判断可以不用计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
要比较直线上两个点的纵坐标大小，有两种常用思路：思路1：直接将两个点的横坐标代入直线解析式，分别算出$y_1$和$y_2$的数值，再比较大小；思路2：利用一次函数的增减性判断：先看一次项系数$k$的正负，确定$y$随$x$的变化规律，再比较两个点横坐标的大小，就能对应得到$y$值的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
把$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_1 = -\frac{1}{2}×(-4) + 2 = 2 + 2 = 4$
把$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_2 = -\frac{1}{2}×2 + 2 = -1 + 2 = 1$
因为$4＞1$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：增减性判断法
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），本题中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知两个点的横坐标$-4＜2$，根据增减性，横坐标越小，对应的$y$值越大，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，两种解题方法都很常用，代入法思路直接好理解，利用增减性判断可以不用计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
3.已知一次函数$y_1=ax+b$和$y_2=bx+a(a≠b)$,函数$y_1$和$y_2$的图象可能是图16-7中的 (
图16-7
A
)图16-7
答案
3.A
解析
【分析】
解题思路：首先回忆一次函数$y=kx+m$的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜），$m$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$m＞0$时交于正半轴，$m＜0$时交于负半轴）。首先联立两个一次函数的解析式，求出交点的横坐标，确认所有选项都满足交点横坐标为1后，再对每个选项，根据其中一条直线的图象判断$a$、$b$的符号，验证另一条直线的图象是否符合该$a$、$b$的符号，符号一致的即为正确选项。
【解析】
1. 求两函数交点横坐标：
联立$\begin{cases}y=ax+b \\ y=bx+a \end{cases}$，可得$ax+b=bx+a$，整理得$(a-b)x=a-b$。
$\because a≠ b$，$\therefore a-b≠0$，两边同时除以$a-b$得$x=1$，即两直线交点横坐标为1，四个选项均满足该条件。
2. 逐一分析选项：
选项A：两条直线都从左下向右上倾斜，且都与$y$轴交于正半轴。
对$y_1=ax+b$：可得$a＞0$，$b＞0$；对$y_2=bx+a$：可得$b＞0$，$a＞0$，二者$a$、$b$符号一致，符合要求。
选项B：一条直线上升（$k＞0$）、与$y$轴交于正半轴（$m＞0$），可得$a＞0$、$b＞0$；另一条直线下降（$k＜0$）、与$y$轴交于正半轴（$m＞0$），可得$b＜0$、$a＞0$，$b$的符号矛盾，不符合。
选项C：两条直线都下降（$k＜0$），一条与$y$轴交于正半轴（$m＞0$），可得$a＜0$、$b＞0$；另一条与$y$轴交于负半轴（$m＜0$），可得$b＜0$、$a＜0$，$b$的符号矛盾，不符合。
选项D：一条直线下降（$k＜0$）、与$y$轴交于负半轴（$m＜0$），可得$a＜0$、$b＜0$；另一条直线上升（$k＞0$）、与$y$轴交于负半轴（$m＜0$），可得$b＞0$、$a＜0$，$b$的符号矛盾，不符合。
综上只有选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，一次函数交点求解
【点评】
本题是一次函数图象类的典型题型，解题核心是掌握一次函数中系数与图象特征的对应关系，通过“先定交点范围，再验证系数符号”的方法可快速排除错误选项，解题时注意不要混淆斜率和截距对应的系数意义。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆一次函数$y=kx+m$的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜），$m$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$m＞0$时交于正半轴，$m＜0$时交于负半轴）。首先联立两个一次函数的解析式，求出交点的横坐标，确认所有选项都满足交点横坐标为1后，再对每个选项，根据其中一条直线的图象判断$a$、$b$的符号，验证另一条直线的图象是否符合该$a$、$b$的符号，符号一致的即为正确选项。
【解析】
1. 求两函数交点横坐标：
联立$\begin{cases}y=ax+b \\ y=bx+a \end{cases}$，可得$ax+b=bx+a$，整理得$(a-b)x=a-b$。
$\because a≠ b$，$\therefore a-b≠0$，两边同时除以$a-b$得$x=1$，即两直线交点横坐标为1，四个选项均满足该条件。
2. 逐一分析选项：
选项A：两条直线都从左下向右上倾斜，且都与$y$轴交于正半轴。
对$y_1=ax+b$：可得$a＞0$，$b＞0$；对$y_2=bx+a$：可得$b＞0$，$a＞0$，二者$a$、$b$符号一致，符合要求。
选项B：一条直线上升（$k＞0$）、与$y$轴交于正半轴（$m＞0$），可得$a＞0$、$b＞0$；另一条直线下降（$k＜0$）、与$y$轴交于正半轴（$m＞0$），可得$b＜0$、$a＞0$，$b$的符号矛盾，不符合。
选项C：两条直线都下降（$k＜0$），一条与$y$轴交于正半轴（$m＞0$），可得$a＜0$、$b＞0$；另一条与$y$轴交于负半轴（$m＜0$），可得$b＜0$、$a＜0$，$b$的符号矛盾，不符合。
选项D：一条直线下降（$k＜0$）、与$y$轴交于负半轴（$m＜0$），可得$a＜0$、$b＜0$；另一条直线上升（$k＞0$）、与$y$轴交于负半轴（$m＜0$），可得$b＞0$、$a＜0$，$b$的符号矛盾，不符合。
综上只有选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，一次函数交点求解
【点评】
本题是一次函数图象类的典型题型，解题核心是掌握一次函数中系数与图象特征的对应关系，通过“先定交点范围，再验证系数符号”的方法可快速排除错误选项，解题时注意不要混淆斜率和截距对应的系数意义。
【难度系数】
0.7
4. 图16-8是函数$y=-2x+2$的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
(2)当x取何值时，$y=0$？
(3)当x取何值时，$y＞0$？
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
(2)当x取何值时，$y=0$？
(3)当x取何值时，$y＞0$？
答案
4.(1)因为$k=-2＜0$,所以随着x的增大,y将减小.当一个点在直线上从左向右移动时,点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.
(2)当$x=1$时,$y=0.$
(3)当$x＜1$时,$y＞0.$
(2)当$x=1$时,$y=0.$
(3)当$x＜1$时,$y＞0.$
解析
【分析】
本题可结合一次函数的性质与数形结合思想求解：
(1) 对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），$k$的符号决定函数的增减性与图象走向，先找到本题函数的$k$值判断正负，即可得出$y$随$x$的变化规律和图象变化趋势；
(2) 求$y=0$时$x$的值，可直接将$y=0$代入函数解析式解方程，也可观察图象与$x$轴交点的横坐标，两种方法均可得到结果；
(3) 求$y＞0$时$x$的取值范围，可将$y=-2x+2$代入不等式求解，也可观察图象，图象在$x$轴上方的部分对应的$x$的取值就是所求范围，数形结合更直观。
【解析】
(1) 已知函数为一次函数$y=-2x+2$，其中$k=-2＜0$，根据一次函数的性质，可得随着$x$的增大，$y$将减小；对应的图象从左到右呈下降趋势。
(2) 令$y=0$，代入函数解析式得：
$0 = -2x + 2$
移项得$2x = 2$，解得$x=1$，即当$x=1$时，$y=0$。
(3) 令$y＞0$，代入函数解析式得：
$-2x + 2 ＞ 0$
移项得$-2x ＞ -2$，不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 1$，即当$x＜1$时，$y＞0$。
【答案】
(1)随着$x$的增大，$y$将减小，图象从左到右呈下降趋势。
(2)当$x=1$时，$y=0$。
(3)当$x＜1$时，$y＞0$。
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，既可以通过代数计算求解，也可以借助图象直观得到结果，重点考察数形结合思想的应用，掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题可结合一次函数的性质与数形结合思想求解：
(1) 对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），$k$的符号决定函数的增减性与图象走向，先找到本题函数的$k$值判断正负，即可得出$y$随$x$的变化规律和图象变化趋势；
(2) 求$y=0$时$x$的值，可直接将$y=0$代入函数解析式解方程，也可观察图象与$x$轴交点的横坐标，两种方法均可得到结果；
(3) 求$y＞0$时$x$的取值范围，可将$y=-2x+2$代入不等式求解，也可观察图象，图象在$x$轴上方的部分对应的$x$的取值就是所求范围，数形结合更直观。
【解析】
(1) 已知函数为一次函数$y=-2x+2$，其中$k=-2＜0$，根据一次函数的性质，可得随着$x$的增大，$y$将减小；对应的图象从左到右呈下降趋势。
(2) 令$y=0$，代入函数解析式得：
$0 = -2x + 2$
移项得$2x = 2$，解得$x=1$，即当$x=1$时，$y=0$。
(3) 令$y＞0$，代入函数解析式得：
$-2x + 2 ＞ 0$
移项得$-2x ＞ -2$，不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 1$，即当$x＜1$时，$y＞0$。
【答案】
(1)随着$x$的增大，$y$将减小，图象从左到右呈下降趋势。
(2)当$x=1$时，$y=0$。
(3)当$x＜1$时，$y＞0$。
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，既可以通过代数计算求解，也可以借助图象直观得到结果，重点考察数形结合思想的应用，掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
