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四、一次函数的概念
1. 有下列函数，其中$y$是$x$的一次函数的有 （
①$y=3x$；②$y=3+4x$；③$y=\frac{1}{2}$；④$2y=3x-4$；⑤$xy=3$；⑥$2x+5y=0.6$。
A.3个
B.4个
C.5个
D.2个
1. 有下列函数，其中$y$是$x$的一次函数的有 （
B
）①$y=3x$；②$y=3+4x$；③$y=\frac{1}{2}$；④$2y=3x-4$；⑤$xy=3$；⑥$2x+5y=0.6$。
A.3个
B.4个
C.5个
D.2个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断函数是否为一次函数，首先要明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，其中正比例函数$y=kx$（$k≠0$）是特殊的一次函数。解题时先将不是$y$关于$x$显式形式的函数变形为$y=kx+b$的形式，再逐一对照定义判断即可，注意排除常函数、反比例函数等不符合定义的类型。
【解析】
我们根据一次函数的定义逐个判断：
1. ①$y=3x$：符合$y=kx$（$k=3≠0$，$b=0$），是特殊的一次函数，符合要求；
2. ②$y=3+4x$：整理为$y=4x+3$，符合$y=kx+b$（$k=4≠0$，$b=3$），是一次函数，符合要求；
3. ③$y=\frac{1}{2}$：是常函数，对应$k=0$，不符合一次函数$k≠0$的要求，不是一次函数；
4. ④$2y=3x-4$：两边同除以2变形得$y=\frac{3}{2}x-2$，符合$y=kx+b$（$k=\frac{3}{2}≠0$，$b=-2$），是一次函数，符合要求；
5. ⑤$xy=3$：变形得$y=\frac{3}{x}$，是反比例函数，自变量$x$的次数为-1，不符合一次函数要求，不是一次函数；
6. ⑥$2x+5y=0.6$：移项整理得$y=-\frac{2}{5}x+0.12$，符合$y=kx+b$（$k=-\frac{2}{5}≠0$，$b=0.12$），是一次函数，符合要求。
综上，符合要求的一次函数有①②④⑥，共4个。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数的定义 2.函数解析式变形
【点评】
本题是一次函数概念的基础考查题，解题的核心是准确记忆一次函数的形式特征，注意需要将隐式解析式化简为$y$关于$x$的形式后再判断，同时要明确正比例函数属于特殊的一次函数，不要与常函数、反比例函数混淆。
【难度系数】
0.7
要判断函数是否为一次函数，首先要明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，其中正比例函数$y=kx$（$k≠0$）是特殊的一次函数。解题时先将不是$y$关于$x$显式形式的函数变形为$y=kx+b$的形式，再逐一对照定义判断即可，注意排除常函数、反比例函数等不符合定义的类型。
【解析】
我们根据一次函数的定义逐个判断：
1. ①$y=3x$：符合$y=kx$（$k=3≠0$，$b=0$），是特殊的一次函数，符合要求；
2. ②$y=3+4x$：整理为$y=4x+3$，符合$y=kx+b$（$k=4≠0$，$b=3$），是一次函数，符合要求；
3. ③$y=\frac{1}{2}$：是常函数，对应$k=0$，不符合一次函数$k≠0$的要求，不是一次函数；
4. ④$2y=3x-4$：两边同除以2变形得$y=\frac{3}{2}x-2$，符合$y=kx+b$（$k=\frac{3}{2}≠0$，$b=-2$），是一次函数，符合要求；
5. ⑤$xy=3$：变形得$y=\frac{3}{x}$，是反比例函数，自变量$x$的次数为-1，不符合一次函数要求，不是一次函数；
6. ⑥$2x+5y=0.6$：移项整理得$y=-\frac{2}{5}x+0.12$，符合$y=kx+b$（$k=-\frac{2}{5}≠0$，$b=0.12$），是一次函数，符合要求。
综上，符合要求的一次函数有①②④⑥，共4个。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数的定义 2.函数解析式变形
【点评】
本题是一次函数概念的基础考查题，解题的核心是准确记忆一次函数的形式特征，注意需要将隐式解析式化简为$y$关于$x$的形式后再判断，同时要明确正比例函数属于特殊的一次函数，不要与常函数、反比例函数混淆。
【难度系数】
0.7
2. 等腰三角形底角的度数与顶角的度数之间的函数关系是（
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.无法确定
B
）A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，建立底角和顶角两个变量之间的关系式，再根据正比例函数、一次函数、反比例函数的定义逐一比对，即可判断函数类型。第一步先设两个变量分别对应顶角和底角的度数，第二步根据内角和列等式并整理为用自变量表示因变量的形式，第三步对照各类函数的定义判断所属类型。
【解析】
设等腰三角形的顶角度数为$ x $，底角度数为$ y $。
根据三角形内角和为$ 180° $，且等腰三角形两个底角度数相等，可得：
$ x + 2y = 180° $
整理得：$ y = -\frac{1}{2}x + 90 $（其中$ 0＜x＜180 $）
结合函数定义判断：
1. 正比例函数形式为$ y=kx $（$ k≠0 $，$ k $为常数），该式有常数项90，不属于正比例函数；
2. 一次函数形式为$ y=kx+b $（$ k≠0 $，$ k、b $为常数），该式符合一次函数的形式；
3. 反比例函数形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ k $为常数），该式不符合反比例函数形式。
因此该函数关系是一次函数。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、一次函数的识别、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何性质与函数定义的结合类基础题，解题核心是先通过几何等量关系推导得到两个变量的函数表达式，再对应不同函数的定义特征判断即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，建立底角和顶角两个变量之间的关系式，再根据正比例函数、一次函数、反比例函数的定义逐一比对，即可判断函数类型。第一步先设两个变量分别对应顶角和底角的度数，第二步根据内角和列等式并整理为用自变量表示因变量的形式，第三步对照各类函数的定义判断所属类型。
【解析】
设等腰三角形的顶角度数为$ x $，底角度数为$ y $。
根据三角形内角和为$ 180° $，且等腰三角形两个底角度数相等，可得：
$ x + 2y = 180° $
整理得：$ y = -\frac{1}{2}x + 90 $（其中$ 0＜x＜180 $）
结合函数定义判断：
1. 正比例函数形式为$ y=kx $（$ k≠0 $，$ k $为常数），该式有常数项90，不属于正比例函数；
2. 一次函数形式为$ y=kx+b $（$ k≠0 $，$ k、b $为常数），该式符合一次函数的形式；
3. 反比例函数形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ k $为常数），该式不符合反比例函数形式。
因此该函数关系是一次函数。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、一次函数的识别、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何性质与函数定义的结合类基础题，解题核心是先通过几何等量关系推导得到两个变量的函数表达式，再对应不同函数的定义特征判断即可。
【难度系数】
0.8
3.若$y=(m-2)x+5-m$是$y$关于$x$的一次函数，则$m$满足的条件是
$m≠2$
；若此函数是$y$关于$x$的正比例函数，则$m$的值为$5$
。答案
3.$m≠2$，$5$
解析
【分析】
解题时需分别结合一次函数、正比例函数的定义推导m的条件：首先回忆一次函数的核心要求是一次项系数不为0，本题中x的次数已经是1，因此只需保证x的系数不等于0即可得到一次函数下m的限制；正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次项系数不为0，还要求常数项为0，联立两个条件就能求出对应m的值。
【解析】
1. 当函数是y关于x的一次函数时：
根据一次函数定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，本题中一次项系数为$m-2$，因此需满足：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
2. 当函数是y关于x的正比例函数时：
根据正比例函数定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，即要求常数项为0且一次项系数不为0，因此联立：
$\begin{cases}5-m=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$5-m=0$得$m=5$，代入$m-2=3≠0$，符合要求，因此$m=5$。
【答案】
$m≠2$，$5$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是函数基础概念类考题，解题关键是牢记两类函数的成立条件，尤其求解正比例函数的参数时，要同时满足“一次项系数不为0”和“常数项为0”两个要求，避免漏记限制条件出错。
【难度系数】
0.8
解题时需分别结合一次函数、正比例函数的定义推导m的条件：首先回忆一次函数的核心要求是一次项系数不为0，本题中x的次数已经是1，因此只需保证x的系数不等于0即可得到一次函数下m的限制；正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次项系数不为0，还要求常数项为0，联立两个条件就能求出对应m的值。
【解析】
1. 当函数是y关于x的一次函数时：
根据一次函数定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，本题中一次项系数为$m-2$，因此需满足：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
2. 当函数是y关于x的正比例函数时：
根据正比例函数定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，即要求常数项为0且一次项系数不为0，因此联立：
$\begin{cases}5-m=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$5-m=0$得$m=5$，代入$m-2=3≠0$，符合要求，因此$m=5$。
【答案】
$m≠2$，$5$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是函数基础概念类考题，解题关键是牢记两类函数的成立条件，尤其求解正比例函数的参数时，要同时满足“一次项系数不为0”和“常数项为0”两个要求，避免漏记限制条件出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知$y=(k+3)x^2 -4x +5$是y关于x的一次函数，则k的值是
$-3$
。答案
4.$-3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数的定义特征：一次函数中自变量x的最高次数为1，且x的一次项系数不能为0。本题给出的函数表达式含有x²的二次项，要让它成为一次函数，必须让二次项的系数等于0来消去二次项，再验证此时一次项系数是否不为0，符合要求即可求出k的值。
【解析】
解：已知$y=(k+3)x^2 -4x +5$是y关于x的一次函数，根据一次函数的定义可得：
1. 二次项系数必须为0，即$k+3=0$
2. 一次项系数不为0，本题一次项系数为$-4$，天然满足不为0的要求
解方程$k+3=0$，得$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一次函数的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记一次函数的成立条件，注意如果函数表达式中存在高于一次的项，必须令对应项的系数为0，同时要验证一次项系数不为0，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一次函数的定义特征：一次函数中自变量x的最高次数为1，且x的一次项系数不能为0。本题给出的函数表达式含有x²的二次项，要让它成为一次函数，必须让二次项的系数等于0来消去二次项，再验证此时一次项系数是否不为0，符合要求即可求出k的值。
【解析】
解：已知$y=(k+3)x^2 -4x +5$是y关于x的一次函数，根据一次函数的定义可得：
1. 二次项系数必须为0，即$k+3=0$
2. 一次项系数不为0，本题一次项系数为$-4$，天然满足不为0的要求
解方程$k+3=0$，得$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一次函数的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记一次函数的成立条件，注意如果函数表达式中存在高于一次的项，必须令对应项的系数为0，同时要验证一次项系数不为0，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.8
5. 已知$y=(m-2)x^{m^2 -3}$，当$m$取何值时，$y$是$x$的正比例函数？求出函数的表达式.
答案
5.要使y是x的正比例函数,必须有
$\begin{cases}m^2-3=1,\\m-2≠0.\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}m=±2,\\m≠2.\end{cases}$
$\therefore m=-2.$
$\therefore$ 当$m=-2$时,y是x的正比例函数.这时函数的表达式为$y=-4x.$
$\begin{cases}m^2-3=1,\\m-2≠0.\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}m=±2,\\m≠2.\end{cases}$
$\therefore m=-2.$
$\therefore$ 当$m=-2$时,y是x的正比例函数.这时函数的表达式为$y=-4x.$
解析
【分析】
要判断y是否为x的正比例函数，需依据正比例函数的定义思考：正比例函数的形式为$y=kx$（k是常数，且$k≠0$），需同时满足两个要求：一是自变量x的次数为1，二是x的系数k不等于0。因此我们可以根据这两个要求分别列出关于m的方程和不等式，联立求解得到m的取值，再代入原式即可得到对应的函数表达式。
【解析】
要使$y=(m-2)x^{m^2 -3}$是x的正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2-3=1 \quad \mathrm{（自变量x的次数为1）},\\m-2≠0 \quad \mathrm{（x的系数不为0）}.\end{cases}$
解方程$m^2-3=1$，移项得$m^2=4$，解得$m=±2$；
结合$m-2≠0$，即$m≠2$，因此舍去$m=2$，得$m=-2$。
将$m=-2$代入原函数，得系数$m-2=-2-2=-4$，因此函数表达式为$y=-4x$。
【答案】
当$m=-2$时，y是x的正比例函数，函数表达式为$y=-4x$。
【知识点】
正比例函数定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】
本题重点考查正比例函数的概念，解题的关键是明确正比例函数需要满足的两个限制条件，容易出现的错误是忽略系数不为0的要求，错误保留$m=2$的结果。
【难度系数】
0.7
要判断y是否为x的正比例函数，需依据正比例函数的定义思考：正比例函数的形式为$y=kx$（k是常数，且$k≠0$），需同时满足两个要求：一是自变量x的次数为1，二是x的系数k不等于0。因此我们可以根据这两个要求分别列出关于m的方程和不等式，联立求解得到m的取值，再代入原式即可得到对应的函数表达式。
【解析】
要使$y=(m-2)x^{m^2 -3}$是x的正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2-3=1 \quad \mathrm{（自变量x的次数为1）},\\m-2≠0 \quad \mathrm{（x的系数不为0）}.\end{cases}$
解方程$m^2-3=1$，移项得$m^2=4$，解得$m=±2$；
结合$m-2≠0$，即$m≠2$，因此舍去$m=2$，得$m=-2$。
将$m=-2$代入原函数，得系数$m-2=-2-2=-4$，因此函数表达式为$y=-4x$。
【答案】
当$m=-2$时，y是x的正比例函数，函数表达式为$y=-4x$。
【知识点】
正比例函数定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】
本题重点考查正比例函数的概念，解题的关键是明确正比例函数需要满足的两个限制条件，容易出现的错误是忽略系数不为0的要求，错误保留$m=2$的结果。
【难度系数】
0.7
