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三、自变量的取值范围
1. $y=\frac{\sqrt{x^2}}{x-1}$中，自变量$x$的取值范围是
1. $y=\frac{\sqrt{x^2}}{x-1}$中，自变量$x$的取值范围是
$x≠1$
。答案
1.$x≠1$
解析
【分析】
求函数自变量取值范围时，需结合式子中包含的代数式类型逐一明确限制条件：①含二次根式时，被开方数必须是非负数；②含分式时，分母不能为0。本题同时包含二次根式和分式，先分别推导两类限制的解集，再取公共部分即可。首先看二次根式部分：被开方数是$x^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此这部分没有额外的取值限制；再看分式部分：分母为$x-1$，只需满足分母不为0即可得到最终取值要求。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x^2}}{x-1}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x^2≥0$，该式对全体实数$x$均成立，无额外限制；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综合两个条件，自变量$x$的取值范围为$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；自变量取值范围求解
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础考查题，解题关键是逐一梳理式子中各类代数式的限制条件，易错点是部分同学会误将$\sqrt{x^2}$的限制等同于$\sqrt{x}$，额外添加$x≥0$的要求，实际$x^2$恒非负，只需保证分母不为0即可。
【难度系数】
0.8
求函数自变量取值范围时，需结合式子中包含的代数式类型逐一明确限制条件：①含二次根式时，被开方数必须是非负数；②含分式时，分母不能为0。本题同时包含二次根式和分式，先分别推导两类限制的解集，再取公共部分即可。首先看二次根式部分：被开方数是$x^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此这部分没有额外的取值限制；再看分式部分：分母为$x-1$，只需满足分母不为0即可得到最终取值要求。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x^2}}{x-1}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x^2≥0$，该式对全体实数$x$均成立，无额外限制；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综合两个条件，自变量$x$的取值范围为$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；自变量取值范围求解
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础考查题，解题关键是逐一梳理式子中各类代数式的限制条件，易错点是部分同学会误将$\sqrt{x^2}$的限制等同于$\sqrt{x}$，额外添加$x≥0$的要求，实际$x^2$恒非负，只需保证分母不为0即可。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y=2x+4$,如果$-2≤ y≤2$,那么$x$的取值范围是（
A.$-2≤ x≤2$
B.$-3≤ x≤-1$
C.$1≤ x≤3$
D.$-1≤ x≤3$
B
）A.$-2≤ x≤2$
B.$-3≤ x≤-1$
C.$1≤ x≤3$
D.$-1≤ x≤3$
答案
2.B
解析
【分析】
本题是已知一次函数的函数值取值范围，求自变量x的取值范围。解题思路清晰：因为y与x满足明确的一次函数关系$y=2x+4$，我们可以直接把y的取值范围代入函数表达式，转化为关于x的一元一次不等式，再解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：根据题意，y的取值范围为$-2≤ y≤2$，
将$y=2x+4$代入上述范围，可得不等式：
$-2≤ 2x+4≤ 2$
不等式三边同时减去4，得：
$-6≤ 2x≤ -2$
不等式三边同时除以2（正数，不等号方向不变），得：
$-3≤ x≤ -1$
所以x的取值范围是$-3≤ x≤ -1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数性质
2. 一元一次不等式解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，解题关键是将函数值的范围正确转化为关于自变量的不等式，计算过程中注意不等号方向变化规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是已知一次函数的函数值取值范围，求自变量x的取值范围。解题思路清晰：因为y与x满足明确的一次函数关系$y=2x+4$，我们可以直接把y的取值范围代入函数表达式，转化为关于x的一元一次不等式，再解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：根据题意，y的取值范围为$-2≤ y≤2$，
将$y=2x+4$代入上述范围，可得不等式：
$-2≤ 2x+4≤ 2$
不等式三边同时减去4，得：
$-6≤ 2x≤ -2$
不等式三边同时除以2（正数，不等号方向不变），得：
$-3≤ x≤ -1$
所以x的取值范围是$-3≤ x≤ -1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数性质
2. 一元一次不等式解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，解题关键是将函数值的范围正确转化为关于自变量的不等式，计算过程中注意不等号方向变化规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知A,B两地相距30千米,B,C两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达C地.设此人骑行时间为x(单位:时),离B地的距离为y(单位:千米).
(1)当此人在A,B两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.
(2)当此人在B,C两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.
(1)当此人在A,B两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.
(2)当此人在B,C两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.
答案
3.(1)$y=30-12x(0≤x≤2.5)$
(2)$y=12x-30(2.5≤x≤6.5)$
(2)$y=12x-30(2.5≤x≤6.5)$
解析
【分析】
这是一道分段的一次函数实际应用问题，解题时需分两种场景分别推导函数关系：
1. 当此人在A、B两地之间时，还未到达B地，离B地的距离等于A、B两地总距离减去已经骑行的路程，先根据速度计算出从A到B的总时长，即可确定自变量x的取值范围；
2. 当此人在B、C两地之间时，已经经过B地往C地骑行，离B地的距离等于总骑行路程减去A、B两地的距离，再计算从A到C的总时长，结合上一阶段的终点时间，即可得到该阶段x的取值范围。
【解析】
(1) 当此人在A、B两地之间时：
此人骑行的路程为$12x$千米，A、B两地相距30千米，因此离B地的距离等于AB总距离减去已骑行路程，即：
$y = 30 - 12x$
求自变量取值范围：出发时$x=0$，到达B地时离B地距离为0，令$30-12x=0$，解得$x=2.5$，因此$0≤ x≤2.5$。
(2) 当此人在B、C两地之间时：
此人总骑行路程为$12x$千米，超过A、B路段的部分就是离B地的距离，因此：
$y = 12x - 30$
求自变量取值范围：刚到达B地时$x=2.5$，到达C地时总骑行路程为$30+48=78$千米，总时长为$78÷12=6.5$小时，因此$2.5≤ x≤6.5$。
【答案】
(1) $y=30-12x(0≤ x≤2.5)$
(2) $y=12x-30(2.5≤ x≤6.5)$
【知识点】
一次函数的应用，自变量取值范围，行程问题公式
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是分阶段理清所求距离的等量关系，注意自变量的取值必须符合实际运动的时间区间，不能脱离现实场景取值。
【难度系数】
0.8
这是一道分段的一次函数实际应用问题，解题时需分两种场景分别推导函数关系：
1. 当此人在A、B两地之间时，还未到达B地，离B地的距离等于A、B两地总距离减去已经骑行的路程，先根据速度计算出从A到B的总时长，即可确定自变量x的取值范围；
2. 当此人在B、C两地之间时，已经经过B地往C地骑行，离B地的距离等于总骑行路程减去A、B两地的距离，再计算从A到C的总时长，结合上一阶段的终点时间，即可得到该阶段x的取值范围。
【解析】
(1) 当此人在A、B两地之间时：
此人骑行的路程为$12x$千米，A、B两地相距30千米，因此离B地的距离等于AB总距离减去已骑行路程，即：
$y = 30 - 12x$
求自变量取值范围：出发时$x=0$，到达B地时离B地距离为0，令$30-12x=0$，解得$x=2.5$，因此$0≤ x≤2.5$。
(2) 当此人在B、C两地之间时：
此人总骑行路程为$12x$千米，超过A、B路段的部分就是离B地的距离，因此：
$y = 12x - 30$
求自变量取值范围：刚到达B地时$x=2.5$，到达C地时总骑行路程为$30+48=78$千米，总时长为$78÷12=6.5$小时，因此$2.5≤ x≤6.5$。
【答案】
(1) $y=30-12x(0≤ x≤2.5)$
(2) $y=12x-30(2.5≤ x≤6.5)$
【知识点】
一次函数的应用，自变量取值范围，行程问题公式
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是分阶段理清所求距离的等量关系，注意自变量的取值必须符合实际运动的时间区间，不能脱离现实场景取值。
【难度系数】
0.8
4. 图16-6所示是函数$y=-\frac{1}{2}x+5$的一部分，利用这部分函数图象回答：
(1)自变量x的取值范围为多少？
(2)当x为多少时，函数有最小值？最小值是多少？
图16-6
(1)自变量x的取值范围为多少？
(2)当x为多少时，函数有最小值？最小值是多少？
图16-6
答案
4.(1)$0≤x≤5$
(2)$x=5$时有最小值，最小值是2.5
(2)$x=5$时有最小值，最小值是2.5
解析
【分析】
1. 求自变量x的取值范围时，观察可知函数图象是包含端点的线段AB，只需要确定两个端点A、B对应的横坐标，即可得到x的取值范围。
2. 求函数最小值时，先根据一次函数的系数判断增减性：一次函数$y=kx+b$中，若$k＜0$，y随x的增大而减小，因此在自变量取值范围内x取最大值时，函数值最小，结合端点坐标即可求出结果。
【解析】
解：(1) 由图象可得，线段左端点A的横坐标为0，右端点B的横坐标为5，且图象包含两个端点，因此自变量x的取值范围是$0≤x≤5$。
(2) 函数$y=-\frac{1}{2}x+5$中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此y随x的增大而减小。
在$0≤x≤5$的范围内，x的最大值为5，此时函数值最小，可由B点坐标直接得到最小值为2.5，也可代入解析式计算：$y=-\frac{1}{2}×5+5=2.5$。
因此当$x=5$时，函数有最小值，最小值为2.5。
【答案】
(1)$0≤x≤5$
(2)$x=5$时有最小值，最小值是2.5
【知识点】
一次函数图象性质，自变量取值范围，一次函数最值
【点评】
本题考查一次函数图象与性质的基础应用，解题核心是结合图象端点确定自变量范围，利用一次函数增减性判断最值，掌握一次函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 求自变量x的取值范围时，观察可知函数图象是包含端点的线段AB，只需要确定两个端点A、B对应的横坐标，即可得到x的取值范围。
2. 求函数最小值时，先根据一次函数的系数判断增减性：一次函数$y=kx+b$中，若$k＜0$，y随x的增大而减小，因此在自变量取值范围内x取最大值时，函数值最小，结合端点坐标即可求出结果。
【解析】
解：(1) 由图象可得，线段左端点A的横坐标为0，右端点B的横坐标为5，且图象包含两个端点，因此自变量x的取值范围是$0≤x≤5$。
(2) 函数$y=-\frac{1}{2}x+5$中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此y随x的增大而减小。
在$0≤x≤5$的范围内，x的最大值为5，此时函数值最小，可由B点坐标直接得到最小值为2.5，也可代入解析式计算：$y=-\frac{1}{2}×5+5=2.5$。
因此当$x=5$时，函数有最小值，最小值为2.5。
【答案】
(1)$0≤x≤5$
(2)$x=5$时有最小值，最小值是2.5
【知识点】
一次函数图象性质，自变量取值范围，一次函数最值
【点评】
本题考查一次函数图象与性质的基础应用，解题核心是结合图象端点确定自变量范围，利用一次函数增减性判断最值，掌握一次函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
