12. 某书店决定用不多于20 000元购进甲、乙两种图书共1 200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍,若用1 680元在该书店可购买甲种图书的本数比用1 400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元?
(2)书店为了让利读者,决定甲种图书的售价每本降低3元,乙种图书的售价每本降低2元.问:书店应如何进货才能获得最大利润?(假设购进的两种图书全部销售完)

12.(1)设乙种图书的售价为每本x元,则甲种图书的售价为每本1.4x元.由题意,得$\frac{1400}{x}-\frac{1680}{1.4x}=10.$解得$x=20.$经检验,$x=20$是原方程的解.所以甲种图书的售价为每本$1.4×20=28$(元).答:甲种图书的售价为每本28元,乙种图书的售价为每本20元.
(2)设甲种图书进货a本,总利润w元,则$w=(28-20-3)a+(20-14-2)(1200-a)=a+4800.$$\because 20a+14×(1200-a)≤20000,$$\therefore a≤\frac{1600}{3}.$$\because w$随a的增大而增大,$\therefore$ 当a最大时,w最大.$\therefore$ 当$a=533$时,w最大,此时,乙种图书进货本数为$1200-533=667.$答:甲种图书进货533本,乙种图书进货667本时才能获得最大利润.

【分析】
(1) 本题第一问是分式方程实际应用问题，首先设乙种图书售价为每本x元，根据甲售价是乙的1.4倍可得甲售价为1.4x元；再抓住等量关系“1400元购买乙的本数 - 1680元购买甲的本数 = 10本”列方程，求解后要检验根是否符合分式方程要求和实际意义。
(2) 第二问是一次函数结合不等式的最值问题，先设甲种图书进货a本，总利润为w元，根据单利润×数量=总利润列出w关于a的一次函数表达式；再根据进货总金额不超过20000元列不等式求出a的取值范围；最后根据一次函数的增减性，结合a为正整数的实际要求，找到使利润最大的a值，即可确定进货方案。
【解析】
(1) 设乙种图书的售价为每本x元，则甲种图书的售价为每本1.4x元。
由题意得：$\frac{1400}{x}-\frac{1680}{1.4x}=10$
化简得$\frac{1400}{x}-\frac{1200}{x}=10$，即$\frac{200}{x}=10$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则甲种图书的售价为$1.4×20=28$（元）。
(2) 设甲种图书进货a本，总利润为w元，则乙种图书进货$(1200-a)$本。
甲每本利润为$28-20-3=5$元，乙每本利润为$20-14-2=4$元，因此：
$w=5a+4(1200-a)=a+4800$
根据进货总金额限制列不等式：
$20a+14×(1200-a)≤20000$
解得$a≤\frac{1600}{3}≈533.33$
$\because w$是关于a的一次函数，且$k=1＞0$，$\therefore w$随a的增大而增大。
又$\because a$为非负整数，$\therefore a$取最大值533时w最大，此时乙进货本数为$1200-533=667$（本）。
【答案】
(1) 甲种图书售价为每本28元，乙种图书售价为每本20元；
(2) 甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时获得最大利润。
【知识点】
分式方程应用，一次函数最值，一元一次不等式应用
【点评】
本题是生活场景类综合应用题，核心考查方程、函数、不等式的结合运用，解题时要注意找准题干中的等量与不等关系，分式方程必须验根，实际问题中自变量的取值要符合现实要求。
【难度系数】
0.6

13. 如图16-27,在平面直角坐标系中,直线$y=2x+b(b＜0)$与坐标轴交于A,B两点,与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$交于点D,过点D作$DC ⊥ x$轴,垂足为C,连接OD.已知$△ AOB ≌ △ ACD$.
(1)如果$b=-2$,求$k$的值;
(2)试探究$k$与$b$的数量关系,并写出直线OD的函数表达式.

图16-27

13.(1)当$b=-2$时,直线$y=2x-2$与坐标轴交点的坐标为$A(1,0),B(0,-2).$$\because △ AOB≌ △ ACD,$$\therefore OB=CD,AO=AC.$$\therefore$ 点D的坐标为$(2,2).$$\because$ 点D在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k=2×2=4.$
(2)直线$y=2x+b$与坐标轴交点的坐标为$A(-\frac{b}{2},0),B(0,b).$$\because △ AOB≌ △ ACD,$$\therefore OB=CD,AO=AC.$$\therefore$ 点D的坐标为$(-b,-b).$$\because$ 点D在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k=(-b)·(-b)=b^2$,即k与b的数量关系为$k=b^2.$$\therefore$ 直线OD的函数表达式为$y=x.$

【分析】
(1) 求解第一问时，首先求出b=-2时直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标：令y=0可求得A点横坐标，令x=0可求得B点纵坐标；再根据全等三角形对应边相等的性质，得到AO=AC、OB=CD，结合A点坐标即可计算出点D的横、纵坐标；最后将D点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
(2) 求解第二问时，先类比第一问的方法，用含b的代数式表示出直线与坐标轴交点A、B的坐标，再利用全等三角形对应边相等的性质，用含b的代数式表示出点D的坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式，整理即可得到k与b的数量关系；直线OD是过原点的正比例函数，根据D点横、纵坐标的关系即可写出其函数表达式。
【解析】
(1) 当$b=-2$时，直线解析式为$y=2x-2$，
令$y=0$，得$2x-2=0$，解得$x=1$，$\therefore A(1,0)$；
令$x=0$，得$y=-2$，$\therefore B(0,-2)$。
$\because △ AOB≌△ ACD$，$\therefore AO=AC$，$OB=CD$。
$\because AO=1$，$OB=2$，$\therefore AC=1$，$CD=2$，
$\therefore OC=OA+AC=1+1=2$，即$D$点坐标为$(2,2)$。
$\because$点$D$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore k=2×2=4$。
(2) 对于直线$y=2x+b$，
令$y=0$，得$2x+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2}$，$\therefore A(-\frac{b}{2},0)$；
令$x=0$，得$y=b$，$\therefore B(0,b)$。
$\because △ AOB≌△ ACD$，$\therefore AO=AC$，$OB=CD$。
$\therefore AC=AO=-\frac{b}{2}$，$CD=OB=b$，
$\therefore OC=OA+AC=-\frac{b}{2}+(-\frac{b}{2})=-b$，即$D$点坐标为$(-b,-b)$。
$\because$点$D$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore k=(-b)·(-b)=b^2$，即$k$与$b$的数量关系为$k=b^2$。
设直线$OD$的解析式为$y=mx(m≠0)$，将$D(-b,-b)$代入得：$-b=m·(-b)$，解得$m=1$，$\therefore$直线$OD$的函数表达式为$y=x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=4}$；
(2) $\boldsymbol{k=b^2}$，直线$OD$的函数表达式为$\boldsymbol{y=x}$。
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与几何全等结合的综合题，解题的核心是利用全等三角形的对应边相等求出交点D的坐标，再结合函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的特征求解，体现了数形结合的思想，是函数板块的典型习题。
【难度系数】
0.7