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综合练习（二）
一、选择题
1. 点$P(-3,5)$关于原点对称的点的坐标是 （
A.$(3,5)$
B.$(5,-3)$
C.$(3,-5)$
D.$(-3,-5)$
一、选择题
1. 点$P(-3,5)$关于原点对称的点的坐标是 （
C
）A.$(3,5)$
B.$(5,-3)$
C.$(3,-5)$
D.$(-3,-5)$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来只需找到已知点P横、纵坐标的相反数，组合起来就是对称点的坐标，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。
已知点P的坐标为$(-3,5)$，其横坐标$-3$的相反数是$3$，纵坐标$5$的相反数是$-5$，因此点P关于原点对称的点的坐标为$(3,-5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查原点对称的坐标变化规律，牢记规律即可快速求解，是考试中常见的基础得分题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来只需找到已知点P横、纵坐标的相反数，组合起来就是对称点的坐标，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。
已知点P的坐标为$(-3,5)$，其横坐标$-3$的相反数是$3$，纵坐标$5$的相反数是$-5$，因此点P关于原点对称的点的坐标为$(3,-5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查原点对称的坐标变化规律，牢记规律即可快速求解，是考试中常见的基础得分题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图16-28，直线$y=x+b$和$y=kx+2$与$x$轴分别交于点$A(-2,0)$、点$B(3,0)$，则$\begin{cases}x+b＞0,\\kx+2＞0\end{cases}$的解集为 ( )
图16-28
A.$x＜-2$
B.$x＞3$
C.$x＜-2$或$x＞3$
D.$-2＜x＜3$
图16-28
A.$x＜-2$
B.$x＞3$
C.$x＜-2$或$x＞3$
D.$-2＜x＜3$
答案
2.D
解析
【分析】
这是一次函数与一元一次不等式组结合的题目，用数形结合思想解题即可：首先明确“函数值大于0”对应“函数图象位于x轴上方”的关系，分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分就是不等式组的解集。第一步分析直线$y=x+b$：它与x轴交于$A(-2,0)$，且y随x增大而增大，因此$x+b＞0$的解集是$x＞-2$；第二步分析直线$y=kx+2$：它与x轴交于$B(3,0)$，且y随x增大而减小，因此$kx+2＞0$的解集是$x＜3$；第三步取两个范围的公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
1. 求$x+b＞0$的解集：
$x+b＞0$对应一次函数$y=x+b$的函数值大于0，即图象在x轴上方的部分。已知$y=x+b$与x轴交于$A(-2,0)$，且直线斜率为1＞0，y随x增大而增大，因此当$y＞0$时，$x＞-2$，即$x+b＞0$的解集为$x＞-2$。
2. 求$kx+2＞0$的解集：
$kx+2＞0$对应一次函数$y=kx+2$的函数值大于0，即图象在x轴上方的部分。已知$y=kx+2$与x轴交于$B(3,0)$，且直线斜率k＜0，y随x增大而减小，因此当$y＞0$时，$x＜3$，即$kx+2＞0$的解集为$x＜3$。
3. 求不等式组的解集：
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，因此$\begin{cases}x+b＞0\\kx+2＞0\end{cases}$的解集为$-2＜x＜3$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，不等式组解集
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是将不等式求解转化为对应函数图象位置的判断，结合函数增减性确定取值范围后取公共部分即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
这是一次函数与一元一次不等式组结合的题目，用数形结合思想解题即可：首先明确“函数值大于0”对应“函数图象位于x轴上方”的关系，分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分就是不等式组的解集。第一步分析直线$y=x+b$：它与x轴交于$A(-2,0)$，且y随x增大而增大，因此$x+b＞0$的解集是$x＞-2$；第二步分析直线$y=kx+2$：它与x轴交于$B(3,0)$，且y随x增大而减小，因此$kx+2＞0$的解集是$x＜3$；第三步取两个范围的公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
1. 求$x+b＞0$的解集：
$x+b＞0$对应一次函数$y=x+b$的函数值大于0，即图象在x轴上方的部分。已知$y=x+b$与x轴交于$A(-2,0)$，且直线斜率为1＞0，y随x增大而增大，因此当$y＞0$时，$x＞-2$，即$x+b＞0$的解集为$x＞-2$。
2. 求$kx+2＞0$的解集：
$kx+2＞0$对应一次函数$y=kx+2$的函数值大于0，即图象在x轴上方的部分。已知$y=kx+2$与x轴交于$B(3,0)$，且直线斜率k＜0，y随x增大而减小，因此当$y＞0$时，$x＜3$，即$kx+2＞0$的解集为$x＜3$。
3. 求不等式组的解集：
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，因此$\begin{cases}x+b＞0\\kx+2＞0\end{cases}$的解集为$-2＜x＜3$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，不等式组解集
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是将不等式求解转化为对应函数图象位置的判断，结合函数增减性确定取值范围后取公共部分即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 如图16-29,正比例函数$y_1$与反比例函数$y_2$相交于点$E(-1,2)$,若$y_1＞y_2＞0$,则$x$的取值范围在数轴上表示正确的是图16-30中的 (
A
)答案
3.A
解析
【分析】
首先利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称的性质，结合已知交点$E(-1,2)$得到另一交点坐标；再根据反比例函数的象限分布，由$y_2＞0$先缩小$x$的取值范围；最后在该范围内结合两个函数的图像高低，判断$y_1＞y_2$对应的$x$范围，对应数轴表示即可选出答案。
【解析】
解：1. 求两函数的另一交点：
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知一个交点为$E(-1,2)$，因此另一交点坐标为$(1,-2)$。
2. 确定$y_2＞0$时$x$的范围：
反比例函数过$E(-1,2)$，则比例系数$k=xy=(-1)×2=-2＜0$，因此反比例函数图像分布在第二、四象限，当$y_2＞0$时，图像在第二象限，对应$x＜0$，可排除$x≥0$的情况。
3. 确定$y_1＞y_2$时$x$的范围：
在$x＜0$的区间内，两函数交于$x=-1$处：
当$x＜-1$时，正比例函数图像在反比例函数图像上方，满足$y_1＞y_2$，且此时$y_2＞0$，符合要求；
当$-1＜x＜0$时，反比例函数图像在正比例函数图像上方，$y_1＜y_2$，不符合要求。
综上，$x$的取值范围是$x＜-1$，在数轴上表示为$-1$处画空心圆圈、向左延伸的射线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质，反比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查正反比例函数的交点问题，结合图像判断函数值大小是解题核心，解题时先根据$y_2＞0$缩小$x$的取值范围，可有效避免判断错误。
【难度系数】
0.7
首先利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称的性质，结合已知交点$E(-1,2)$得到另一交点坐标；再根据反比例函数的象限分布，由$y_2＞0$先缩小$x$的取值范围；最后在该范围内结合两个函数的图像高低，判断$y_1＞y_2$对应的$x$范围，对应数轴表示即可选出答案。
【解析】
解：1. 求两函数的另一交点：
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知一个交点为$E(-1,2)$，因此另一交点坐标为$(1,-2)$。
2. 确定$y_2＞0$时$x$的范围：
反比例函数过$E(-1,2)$，则比例系数$k=xy=(-1)×2=-2＜0$，因此反比例函数图像分布在第二、四象限，当$y_2＞0$时，图像在第二象限，对应$x＜0$，可排除$x≥0$的情况。
3. 确定$y_1＞y_2$时$x$的范围：
在$x＜0$的区间内，两函数交于$x=-1$处：
当$x＜-1$时，正比例函数图像在反比例函数图像上方，满足$y_1＞y_2$，且此时$y_2＞0$，符合要求；
当$-1＜x＜0$时，反比例函数图像在正比例函数图像上方，$y_1＜y_2$，不符合要求。
综上，$x$的取值范围是$x＜-1$，在数轴上表示为$-1$处画空心圆圈、向左延伸的射线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质，反比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查正反比例函数的交点问题，结合图像判断函数值大小是解题核心，解题时先根据$y_2＞0$缩小$x$的取值范围，可有效避免判断错误。
【难度系数】
0.7
4.无论m为何实数，直线$y=x+2m$与$y=-x+4$的交点都不可能在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路有两种可选：①两直线的交点一定同时在两条直线上，因此交点必然在固定直线y=-x+4上，只需判断y=-x+4不经过哪个象限，即可得到交点不可能出现的象限；②先联立两个一次函数的解析式，求出交点的坐标表达式，再根据各象限内点的坐标符号特征，列不等式判断是否存在对应的m值，若不存在则为正确选项。
【解析】
方法一：分析固定直线的图象性质
对于一次函数y=-x+4，其中斜率k=-1＜0，截距b=4＞0，因此该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
由于直线y=x+2m与y=-x+4的交点一定在y=-x+4上，因此交点不可能在第三象限。
方法二：联立方程求交点判断
联立两个直线的解析式：
$\begin{cases} y=x+2m \\ y=-x+4 \end{cases}$
将两个式子联立得x+2m=-x+4，解得x=2-m，代入y=-x+4得y=m+2，即交点坐标为(2-m, m+2)。
若交点在第三象限，则需满足$\begin{cases} 2-m＜0 \\ m+2＜0 \end{cases}$，解第一个不等式得m＞2，解第二个不等式得m＜-2，不存在同时满足两个条件的实数m，因此交点不可能在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数的图象性质 2.两直线交点问题
【点评】
本题侧重考查一次函数图象相关知识的灵活应用，通过分析固定直线的象限分布可以快速得出答案，也可通过联立解析式结合不等式求解，解题方法较为灵活，能很好地锻炼学生的发散思维。
【难度系数】
0.7
解题思路有两种可选：①两直线的交点一定同时在两条直线上，因此交点必然在固定直线y=-x+4上，只需判断y=-x+4不经过哪个象限，即可得到交点不可能出现的象限；②先联立两个一次函数的解析式，求出交点的坐标表达式，再根据各象限内点的坐标符号特征，列不等式判断是否存在对应的m值，若不存在则为正确选项。
【解析】
方法一：分析固定直线的图象性质
对于一次函数y=-x+4，其中斜率k=-1＜0，截距b=4＞0，因此该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
由于直线y=x+2m与y=-x+4的交点一定在y=-x+4上，因此交点不可能在第三象限。
方法二：联立方程求交点判断
联立两个直线的解析式：
$\begin{cases} y=x+2m \\ y=-x+4 \end{cases}$
将两个式子联立得x+2m=-x+4，解得x=2-m，代入y=-x+4得y=m+2，即交点坐标为(2-m, m+2)。
若交点在第三象限，则需满足$\begin{cases} 2-m＜0 \\ m+2＜0 \end{cases}$，解第一个不等式得m＞2，解第二个不等式得m＜-2，不存在同时满足两个条件的实数m，因此交点不可能在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数的图象性质 2.两直线交点问题
【点评】
本题侧重考查一次函数图象相关知识的灵活应用，通过分析固定直线的象限分布可以快速得出答案，也可通过联立解析式结合不等式求解，解题方法较为灵活，能很好地锻炼学生的发散思维。
【难度系数】
0.7
5. 如图16-31,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,若AB=1,则k的值为 (
A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
A
)A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
5.A
解析
【分析】解题时先从已知的等腰直角三角形ABC入手，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=1、∠BAC=45°，再用勾股定理求出AC的长度；结合CA垂直x轴的条件，可推出△OAB也为等腰直角三角形，再次用勾股定理求出OA的长度，即点C的横坐标；点C的纵坐标等于AC的长度，最后将C点坐标代入反比例函数表达式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=1
∴AB=BC=1，∠BAC=45°
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∵CA⊥x轴，
∴∠OAC=90°
∴∠OAB=∠OAC - ∠BAC=90°-45°=45°
又
∵∠AOB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，即OA=OB
设OA=OB=a，在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$a^2+a^2=1^2$，即$2a^2=1$，解得$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$（长度为正，舍去负值）
∴点C的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2})$
∵点C在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上
∴$k=xy=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}=1$
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是几何与函数的综合题，解题的核心是通过角度推导得出△OAB为等腰直角三角形，进而求出点C的坐标，既考查了三角形的相关性质，也考查了反比例函数的基本性质，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=1
∴AB=BC=1，∠BAC=45°
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∵CA⊥x轴，
∴∠OAC=90°
∴∠OAB=∠OAC - ∠BAC=90°-45°=45°
又
∵∠AOB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，即OA=OB
设OA=OB=a，在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$a^2+a^2=1^2$，即$2a^2=1$，解得$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$（长度为正，舍去负值）
∴点C的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2})$
∵点C在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上
∴$k=xy=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}=1$
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是几何与函数的综合题，解题的核心是通过角度推导得出△OAB为等腰直角三角形，进而求出点C的坐标，既考查了三角形的相关性质，也考查了反比例函数的基本性质，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】0.6
6. 如图16-32,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与长方形ABCO的两边相交于E,F两点,若E是AB的中点,$S_{△ BEF}=2$,则k的值为(
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{2}$
D.8
D
)A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{2}$
D.8
答案
6.D
解析
【分析】
解题时我们可以先设出反比例函数上点E的坐标，结合长方形对边平行的性质以及E是AB中点的条件，依次表示出点B和点F的坐标，再用坐标表示出直角三角形BEF的两条直角边长度，最后根据三角形面积公式列方程求解，计算过程中所设的参数会被约掉，可直接求出k的值。
【解析】
设点E的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，
∵四边形ABCO是长方形，E是AB的中点，
∴AB//x轴，B点纵坐标与E相同，且AB的长度为2倍的AE长度，即B点横坐标为$2a$，故$B(2a,\frac{k}{a})$。
∵点F在BC边上，BC//y轴，因此F点横坐标为$2a$，
又
∵F在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=2a$代入解析式得$y=\frac{k}{2a}$，即$F(2a,\frac{k}{2a})$。
由此可得：$BE=2a-a=a$，$BF=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$，
∵∠B为直角，$△ BEF$是直角三角形，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}× BE× BF=2$，
代入得$\frac{1}{2}× a × \frac{k}{2a}=2$，
化简得$\frac{k}{4}=2$，解得$k=8$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常规题型，核心解法是通过设坐标表示各点位置，结合几何性质建立面积方程求解，解题中所设的参数会自然消去，无需计算参数的具体值，掌握这种设参消参的思路能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以先设出反比例函数上点E的坐标，结合长方形对边平行的性质以及E是AB中点的条件，依次表示出点B和点F的坐标，再用坐标表示出直角三角形BEF的两条直角边长度，最后根据三角形面积公式列方程求解，计算过程中所设的参数会被约掉，可直接求出k的值。
【解析】
设点E的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，
∵四边形ABCO是长方形，E是AB的中点，
∴AB//x轴，B点纵坐标与E相同，且AB的长度为2倍的AE长度，即B点横坐标为$2a$，故$B(2a,\frac{k}{a})$。
∵点F在BC边上，BC//y轴，因此F点横坐标为$2a$，
又
∵F在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=2a$代入解析式得$y=\frac{k}{2a}$，即$F(2a,\frac{k}{2a})$。
由此可得：$BE=2a-a=a$，$BF=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$，
∵∠B为直角，$△ BEF$是直角三角形，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}× BE× BF=2$，
代入得$\frac{1}{2}× a × \frac{k}{2a}=2$，
化简得$\frac{k}{4}=2$，解得$k=8$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常规题型，核心解法是通过设坐标表示各点位置，结合几何性质建立面积方程求解，解题中所设的参数会自然消去，无需计算参数的具体值，掌握这种设参消参的思路能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
