10（2024潍坊）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$m,n$满足$m - 2n = 3$，则关于该方程根的情况，下列说法中正确的是 （ ）
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

C

11 (新考法)(2024宿迁)规定:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 ( )
A. $ m＜\dfrac{1}{4} $
B. $ m＞\dfrac{1}{4} $
C. $ m＞-\dfrac{1}{4} $且$ m≠0 $
D. $ m＜\dfrac{1}{4} $且$ m≠0 $

D

12 易错题 已知整数$k＜5$，若$△ ABC$的边长均满足关于$x$的方程$x^2 - 3\sqrt{k}x + 8 = 0$，则$△ ABC$的周长是______．

6或12或10

13 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + 2x + 2 - c = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ \frac{1}{a} + c $ 的值是 ______．

2

14 若直线 $ y = -3x + b $ 不经过第一象限，则关于 $ x $ 的方程 $ bx^2 + x + 2023 = 0 $ 的实数根的个数为 ______．

1或2

15 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 + (k - 2)x - 2 = 0(k ≠ 0) $。
（1）求证：不论 $ k $ 为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均为整数，求整数 $ k $ 的值。

​$(1)$​证明：​$(k-2)^2-4k×(-2)=(k+2)^2$​∵​$(k+2)^2≥0$​∴不论​$k$​为何值，这个方程都有两个实数根​$(2)$​由​$kx^2+(k-2)x-2=0(k≠0)$​解得​$x_{1}=\frac 2{k}，$​​$x_{2}=-1$​∵此方程的两根均为整数，∴​$\frac 2{k}$​为整数∴整数​$k$​为​$±1$​或​$±2$​

16 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (3k - 2)x - 6k = 0 $。
（1）求证：无论 $ k $ 取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边 $ a $ 的长为 6，另两边的长 $ b, c $ 恰好是这个方程的两个根，求 $ △ ABC $ 的周长。

​$(1)$​证明：∵​$△=(3k-2)²-4×(-6k)=9k²-12k+4+ 24k=9k²+12k+4=(3k+2)²≥0$​∴无论​$k$​取何值，方程总有实数根.​$(2)①$​若​$a$​为底边，则​$b，$​​$c $​为腰长，则​$b=c，$​∴​$△=0$​∴​$(3k+2)²=0，$​解得​$k=-\frac {2}{3}，$​此时原方程化为​$x^2-4x+4=0，$​∴​$x_{1}=x_{2}=2，$​即​$b=c=2$​此时​$△ABC$​三边为​$6，$​​$2，$​​$2，$​不能构成三角形，故舍去；​$②$​若​$a$​为腰，则​$b，$​​$c $​中一边为腰不妨设​$b=a=6，$​代入方程​$6^2+6(3k-2)-6k=0，$​∴​$k=-2$​则原方程化为​$x²-8x+12=0，$​即​$(x-2)(x-6)=0，$​∴​$x_{1}=2，$​​$x_{2}=6，$​即​$b=6，$​​$c=2$​此时​$△ABC$​三边为​$6，$​​$6，$​​$2，$​能构成三角形综上所述，​$△ABC$​的三边为​$6，$​​$6，$​​$2，$​∴周长为​$6+6+2=14$​