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5. 解方程: $5x+\sqrt{3}-1=4x$。
答案
$x=1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道基础的一元一次方程求解题目，解题遵循一元一次方程的基本求解逻辑：首先通过移项将含未知数x的项统一移到方程左侧，常数项统一移到方程右侧，注意移项要改变符号，之后合并同类项即可得到x的解。
【解析】
解：移项，得 $5x-4x=1-\sqrt{3}$
合并同类项，得 $x=1-\sqrt{3}$
【答案】
$x=1-\sqrt{3}$
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项时的变号规则，计算量小，熟练掌握移项的注意事项即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这是一道基础的一元一次方程求解题目，解题遵循一元一次方程的基本求解逻辑：首先通过移项将含未知数x的项统一移到方程左侧，常数项统一移到方程右侧，注意移项要改变符号，之后合并同类项即可得到x的解。
【解析】
解：移项，得 $5x-4x=1-\sqrt{3}$
合并同类项，得 $x=1-\sqrt{3}$
【答案】
$x=1-\sqrt{3}$
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项时的变号规则，计算量小，熟练掌握移项的注意事项即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
6. 定义运算法则：$a \oplus b = a^2 + ab$。例如，$3 \oplus 2 = 3^2 + 3 × 2 = 15$。已知$2 \oplus x = 10$，则$x$的值是
3
。答案
6. 3
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路清晰：首先要准确理解给定的新运算法则，将陌生的运算符号转化为我们熟悉的四则运算；再把已知的$2 \oplus x = 10$代入运算法则，得到关于x的一元一次方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算就能得到x的值。
【解析】
根据题中定义的运算法则$a \oplus b = a^2 + ab$，将$a=2$、$b=x$代入可得：
$2 \oplus x = 2^2 + 2x = 4 + 2x$
已知$2 \oplus x = 10$，因此列得方程：
$4 + 2x = 10$
移项计算：$2x = 10 - 4$
化简得：$2x = 6$
两边同时除以2，解得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题考查对新运算规则的解读能力和一元一次方程的基础求解能力，解题核心是把新定义运算转化为常规代数方程，掌握基础解方程步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路清晰：首先要准确理解给定的新运算法则，将陌生的运算符号转化为我们熟悉的四则运算；再把已知的$2 \oplus x = 10$代入运算法则，得到关于x的一元一次方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算就能得到x的值。
【解析】
根据题中定义的运算法则$a \oplus b = a^2 + ab$，将$a=2$、$b=x$代入可得：
$2 \oplus x = 2^2 + 2x = 4 + 2x$
已知$2 \oplus x = 10$，因此列得方程：
$4 + 2x = 10$
移项计算：$2x = 10 - 4$
化简得：$2x = 6$
两边同时除以2，解得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题考查对新运算规则的解读能力和一元一次方程的基础求解能力，解题核心是把新定义运算转化为常规代数方程，掌握基础解方程步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 解方程：$x - 2[4x - 3(x - 1)] = 5(x - 1)$。
答案
$x=-\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是含多层括号的一元一次方程求解问题，解题思路按照一元一次方程的常规解法步骤展开：首先逐层去括号，去括号时要注意括号前的符号，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，同时注意不要漏乘括号内的项；之后进行移项，移项要变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
解：$x - 2[4x - 3(x - 1)] = 5(x - 1)$
第一步：去小括号，得
$x - 2[4x - 3x + 3] = 5x - 5$
第二步：合并中括号内的同类项，得
$x - 2(x + 3) = 5x - 5$
第三步：去中括号，得
$x - 2x - 6 = 5x - 5$
第四步：移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得
$x - 2x - 5x = -5 + 6$
第五步：合并同类项，得
$-6x = 1$
第六步：系数化为1，两边同时除以$-6$，得
$x = -\frac{1}{6}$
【答案】
$x=-\frac{1}{6}$
【知识点】
一元一次方程的解法；去括号法则；移项法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，主要考察去括号的运算规则和移项的注意事项，计算时要格外注意去括号时的符号变化，以及不要漏乘括号内的每一项，移项时要记得变号，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是含多层括号的一元一次方程求解问题，解题思路按照一元一次方程的常规解法步骤展开：首先逐层去括号，去括号时要注意括号前的符号，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，同时注意不要漏乘括号内的项；之后进行移项，移项要变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
解：$x - 2[4x - 3(x - 1)] = 5(x - 1)$
第一步：去小括号，得
$x - 2[4x - 3x + 3] = 5x - 5$
第二步：合并中括号内的同类项，得
$x - 2(x + 3) = 5x - 5$
第三步：去中括号，得
$x - 2x - 6 = 5x - 5$
第四步：移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得
$x - 2x - 5x = -5 + 6$
第五步：合并同类项，得
$-6x = 1$
第六步：系数化为1，两边同时除以$-6$，得
$x = -\frac{1}{6}$
【答案】
$x=-\frac{1}{6}$
【知识点】
一元一次方程的解法；去括号法则；移项法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，主要考察去括号的运算规则和移项的注意事项，计算时要格外注意去括号时的符号变化，以及不要漏乘括号内的每一项，移项时要记得变号，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 若方程$3(x-4)-x=4-2x$的解与关于$x$的方程$(x+m)-(mx-3)=3x$的解相同，求$m$的值。
答案
方程$3(x-4)-x=4-2x$的解为$x=4$,代入$(x+m)-(mx-3)=3x$,解得$m=-\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
本题属于同解方程问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$3(x-4)-x=4-2x$，得到$x$的具体值；第二步根据两个方程解相同的性质，将求得的$x$的值代入第二个含参数$m$的方程，此时方程变为仅含$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
第一步：解方程$3(x-4)-x=4-2x$
1. 去括号：$3x - 12 - x = 4 - 2x$
2. 合并同类项：$2x - 12 = 4 - 2x$
3. 移项：$2x + 2x = 4 + 12$
4. 合并同类项：$4x = 16$
5. 系数化为1：$x = 4$
第二步：因为两个方程的解相同，将$x=4$代入方程$(x+m)-(mx-3)=3x$，得：
$(4 + m) - (4m - 3) = 3×4$
1. 去括号：$4 + m - 4m + 3 = 12$
2. 合并同类项：$7 - 3m = 12$
3. 移项：$-3m = 12 - 7$
4. 计算得：$-3m = 5$
5. 系数化为1：$m = -\frac{5}{3}$
【答案】
$m=-\frac{5}{3}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 同解方程的性质
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是先求出无参数方程的确定解，再代入含参方程转化为新的一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是得分的关键。
【难度系数】
0.75
本题属于同解方程问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$3(x-4)-x=4-2x$，得到$x$的具体值；第二步根据两个方程解相同的性质，将求得的$x$的值代入第二个含参数$m$的方程，此时方程变为仅含$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
第一步：解方程$3(x-4)-x=4-2x$
1. 去括号：$3x - 12 - x = 4 - 2x$
2. 合并同类项：$2x - 12 = 4 - 2x$
3. 移项：$2x + 2x = 4 + 12$
4. 合并同类项：$4x = 16$
5. 系数化为1：$x = 4$
第二步：因为两个方程的解相同，将$x=4$代入方程$(x+m)-(mx-3)=3x$，得：
$(4 + m) - (4m - 3) = 3×4$
1. 去括号：$4 + m - 4m + 3 = 12$
2. 合并同类项：$7 - 3m = 12$
3. 移项：$-3m = 12 - 7$
4. 计算得：$-3m = 5$
5. 系数化为1：$m = -\frac{5}{3}$
【答案】
$m=-\frac{5}{3}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 同解方程的性质
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是先求出无参数方程的确定解，再代入含参方程转化为新的一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是得分的关键。
【难度系数】
0.75
9. 已知$ x $的$ n $倍与$ x - 6 $的值相等，且$ x $的值为整数。
（1）根据题意，列出关于$ x $的方程。
（2）结合第（1）题，求满足条件的所有整数$ n $的值。
（1）根据题意，列出关于$ x $的方程。
（2）结合第（1）题，求满足条件的所有整数$ n $的值。
答案
（1）$nx=x-6$。
（2）由(1),$nx=x-6$,则$(n-1)x=-6$。因为$x$的值为整数,所以$n-1$的值可能为$-1,6,1,-6,2,-3,-2,3$,从而可得$n$的值为$-5,-2,-1,0,2,3,4,7$。
（2）由(1),$nx=x-6$,则$(n-1)x=-6$。因为$x$的值为整数,所以$n-1$的值可能为$-1,6,1,-6,2,-3,-2,3$,从而可得$n$的值为$-5,-2,-1,0,2,3,4,7$。
解析
【分析】
（1）第一问先梳理题干等量关系：x的n倍可表示为nx，题目说明它与x-6的值相等，直接依据该等量关系列等式即可。
（2）第二问先对第一问得到的方程做移项、合并同类项的变形，整理出含参数n的x的表达式，结合x是整数的条件，可知n-1是-6的整数因数，列出-6所有的整数因数，再分别计算对应的n值即可，注意不要遗漏负因数的情况。
【解析】
（1）根据题意中的等量关系，直接列方程：
$nx = x - 6$
（2）对（1）所得方程变形：
移项得：$nx - x = -6$
提取公因式x得：$(n-1)x = -6$
因为x为整数，所以$n-1$必须是能整除-6的整数，即$n-1$的可能取值为$\pm1、\pm2、\pm3、\pm6$，分别计算n的值：
当$n-1=-6$时，$n=-5$；当$n-1=-3$时，$n=-2$；
当$n-1=-2$时，$n=-1$；当$n-1=-1$时，$n=0$；
当$n-1=1$时，$n=2$；当$n-1=2$时，$n=3$；
当$n-1=3$时，$n=4$；当$n-1=6$时，$n=7$。
【答案】
（1）$nx=x-6$
（2）$n$的值为$-5,-2,-1,0,2,3,4,7$
【知识点】
列一元一次方程，整数整除性质，方程化简
【点评】
本题重点考查根据等量关系列方程，以及结合整数性质求解参数，解题易错点为遗漏负因数的情况，需全面罗列所有符合整除要求的取值。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先梳理题干等量关系：x的n倍可表示为nx，题目说明它与x-6的值相等，直接依据该等量关系列等式即可。
（2）第二问先对第一问得到的方程做移项、合并同类项的变形，整理出含参数n的x的表达式，结合x是整数的条件，可知n-1是-6的整数因数，列出-6所有的整数因数，再分别计算对应的n值即可，注意不要遗漏负因数的情况。
【解析】
（1）根据题意中的等量关系，直接列方程：
$nx = x - 6$
（2）对（1）所得方程变形：
移项得：$nx - x = -6$
提取公因式x得：$(n-1)x = -6$
因为x为整数，所以$n-1$必须是能整除-6的整数，即$n-1$的可能取值为$\pm1、\pm2、\pm3、\pm6$，分别计算n的值：
当$n-1=-6$时，$n=-5$；当$n-1=-3$时，$n=-2$；
当$n-1=-2$时，$n=-1$；当$n-1=-1$时，$n=0$；
当$n-1=1$时，$n=2$；当$n-1=2$时，$n=3$；
当$n-1=3$时，$n=4$；当$n-1=6$时，$n=7$。
【答案】
（1）$nx=x-6$
（2）$n$的值为$-5,-2,-1,0,2,3,4,7$
【知识点】
列一元一次方程，整数整除性质，方程化简
【点评】
本题重点考查根据等量关系列方程，以及结合整数性质求解参数，解题易错点为遗漏负因数的情况，需全面罗列所有符合整除要求的取值。
【难度系数】
0.7
