如图,某工人师傅想利用一块三角形木板ABC裁出一个尽可能大的圆形木板.
(1)请在图中画出可裁出的最大圆形木板,并标出它的圆心O.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)如果$AB=8\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},BC=17\ \mathrm{cm}$,求裁出的最大圆形木板的半径长.

备用图

(1)如图，$\odot O$是可裁出的最大圆形木板，$\odot O$与$△ ABC$的三边分别相切于点$P,N,Q$.

(2)如图,连接 $BO,OP,OQ,ON$.
设 $OP=OQ=ON=r$.
$\because AB=8,AC=15,BC=17$,
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=8^{2}+15^{2}=17^{2}=BC^{2}$.
$\therefore∠ BAC=90°$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×15=60$.
由(1)得$\odot O$ 为$△ ABC$ 的内切圆.
$\therefore \frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r=60$,即$\frac{1}{2}×(8+17+15)· r=60$. 解得 $r=3$.
$\therefore$ 裁出的最大圆形木板的半径长为 3 cm.

【分析】
(1) 三角形内可裁出的最大圆形是三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点，半径是圆心到任意一边的距离。作图时只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，交点即为圆心O，再以O到一边的垂线段长为半径画圆即可。
(2) 首先根据给出的三边长度，用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，计算出△ABC的面积；再利用三角形内切圆相关的面积公式：三角形面积等于三角形周长的一半乘以内切圆半径，代入数值即可求解半径。
【解析】
(1) 分别作∠A、∠B的角平分线，两线交点为圆心O，过O作AB的垂线段为半径画圆，即为所求最大圆形木板，作图保留痕迹即可。
(2) 连接 $BO,OP,OQ,ON$，设内切圆半径 $OP=OQ=ON=r$。
$\because AB=8\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},BC=17\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=8^{2}+15^{2}=289=17^{2}=BC^{2}$，
由勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×8×15=60\ \mathrm{cm^2}$。
又
∵$\odot O$ 为$△ ABC$ 的内切圆，三角形面积还可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入数据得$\frac{1}{2}×(8+17+15)· r=60$，
解得 $r=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 如图，$\odot O$是可裁出的最大圆形木板，$\odot O$与$△ ABC$的三边分别相切于点$P,N,Q$.

(2) 裁出的最大圆形木板的半径长为 3 cm。
【知识点】
三角形内切圆，勾股定理逆定理，面积法计算
【点评】
本题结合尺规作图和性质计算考查三角形内切圆的相关知识，需明确三角形内最大圆为内切圆，其圆心是内角角平分线的交点；计算内切圆半径时，面积法是十分常用的技巧，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

1.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.若$AD=3$，$BE=2$，$CF=4$，则$BC$的长为 （）

A.6
B.7
C.8
D.9

（第1题图）
（第2题图）

1.A

【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆对应的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。要求BC的长，观察图形可知BC被切点E分为BE和CE两段，已知BE=2，只需确定CE的长度即可；根据切线长定理，点C到⊙O的两条切线CE、CF长度相等，已知CF=4，即可得到CE的长度，最后将BE和CE相加即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
根据切线长定理可得：
$BD=BE=2$，$CE=CF=4$，$AD=AF=3$，
又
∵$BC=BE+CE$，
∴$BC=2+4=6$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查切线长定理在三角形内切圆中的应用，解题的关键是找准圆外同一点引出的两条切线，对应切线长相等，代入已知数值计算即可。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BIC = 130°$，$I$是$△ ABC$的内心，连接$BI$，$CI$，则$∠ A$的度数是（）

A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$

2.C

【分析】
解题思路：首先明确I是△ABC的内心，可得BI、CI分别是∠ABC、∠ACB的角平分线；先在△BIC中利用三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB的和，再根据角平分线的性质得到∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中利用内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，$∠ BIC=130°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-130°=50°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×50°=100°$
在△ABC中，$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握三角形内心是三角形内角平分线的交点，结合角平分线性质和三角形内角和定理即可推导计算。
【难度系数】
0.8

3.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，连接$DE$，$DF$。若$∠ C＝α$，则$∠ FDE$的度数是（）


A.$90° - α$
B.$180° - α$
C.$90° - \dfrac{α}{2}$
D.$90° + \dfrac{α}{2}$

3.C

【分析】
要解决本题，可按照以下思路推导：首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心与切点的连线垂直于三角形对应边；再结合圆周角和圆心角的关系求解角度：第一步连接圆心O和AC、BC边上的切点F、E，得到两条垂直于三角形边的半径，先计算出圆心角∠EOF的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠FDE的度数。
【解析】
连接OE、OF，
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，E、F分别是BC、AC边上的切点，
∴$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，即$∠ OEC=∠ OFC=90°$，
在四边形OECF中，内角和为$360°$，已知$∠ C=α$，
∴$∠ EOF=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ C=360°-90°-90°-α=180°-α$，
∵$∠ FDE$是弧EF所对的圆周角，$∠ EOF$是弧EF所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ FDE=\frac{1}{2}∠ EOF$，
代入得$∠ FDE=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{α}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是内切圆考点的典型基础题，解题核心是通过连接圆心与切点构造辅助线，结合切线性质、四边形内角和、圆周角定理逐步推导角度，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

4.如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为。

4.48

【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，解题需结合切线长定理推导：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以将四边形的各边拆分为对应切线长的和，即可推出圆外切四边形对边之和相等的结论，再代入已知边长就能快速求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H
根据切线长定理可得：$AE=AH$，$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$
∴$AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC$
已知$AB=9$，$CD=15$，则$AB+CD=9+15=24$，即$AD+BC=24$
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=24+24=48$
【答案】
48
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形的性质
【点评】
本题属于切线长定理的基础应用题型，解题的关键是掌握圆外切四边形对边和相等的性质，可直接利用该性质简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.8