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5.如图，若等边三角形ABC的边长为$4\sqrt{3}$，则这个等边三角形内切圆$\odot O$的半径为
（第5题图）
（第6题图）
2
。（第5题图）（第6题图）
答案
5.2
解析
【分析】
要计算等边三角形内切圆的半径，首先回忆相关性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）同时是角平分线、中线、高的交点，内切圆半径是圆心到三角形边的距离。我们可以通过连接圆心与顶点、圆心与切点构造含30°角的直角三角形，利用特殊角的三角函数关系求解半径。
【解析】
设等边△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD。
1. 由等边三角形性质得：∠ABC=60°，BC=4√3；
2. 因为O是△ABC的内心，所以OB平分∠ABC，且OD⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），因此∠OBD=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4√3=2√3；
3. 在Rt△OBD中，$\tan∠ OBD=\frac{OD}{BD}$，代入数值计算：
$OD = BD·\tan30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$，
即⊙O的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
三角形内切圆性质、等边三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题是三角形内切圆和等边三角形性质的综合应用，解题核心是利用内心的性质构造特殊直角三角形，结合特殊角的三角函数值计算，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要计算等边三角形内切圆的半径，首先回忆相关性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）同时是角平分线、中线、高的交点，内切圆半径是圆心到三角形边的距离。我们可以通过连接圆心与顶点、圆心与切点构造含30°角的直角三角形，利用特殊角的三角函数关系求解半径。
【解析】
设等边△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD。
1. 由等边三角形性质得：∠ABC=60°，BC=4√3；
2. 因为O是△ABC的内心，所以OB平分∠ABC，且OD⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），因此∠OBD=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4√3=2√3；
3. 在Rt△OBD中，$\tan∠ OBD=\frac{OD}{BD}$，代入数值计算：
$OD = BD·\tan30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$，
即⊙O的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
三角形内切圆性质、等边三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题是三角形内切圆和等边三角形性质的综合应用，解题核心是利用内心的性质构造特殊直角三角形，结合特殊角的三角函数值计算，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
6.如图,点I为$△ ABC$的内心,$AB=7$,$AC=5$,$BC=4$.将$△ ACB$平移,使其顶点C与点I重合,则图中阴影部分的周长为
7
.答案
6.7
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心性质：①三角形内心是三个内角的角平分线交点，会平分三角形的内角；②平移前后对应线段互相平行，对应角相等。我们可以通过连接AI、BI，先利用角平分线性质得到等角，再结合平移得到的平行关系推导等腰三角形，将阴影部分的边长转化到AB边上，即可快速求出周长。
【解析】
解：连接AI、BI，设阴影三角形的左顶点为D，右顶点为E。
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，即∠CAI=∠BAI，∠CBI=∠ABI。
∵△ACB平移后顶点C与I重合，
∴根据平移的性质可得AC//DI，BC//EI，
∴∠CAI=∠AID，∠CBI=∠BIE。
等量代换得：∠BAI=∠AID，∠ABI=∠BIE，
根据等角对等边，可得AD=ID，BE=IE。
∴阴影部分的周长=ID + DE + IE = AD + DE + BE = AB。
已知AB=7，因此阴影部分的周长为7。
【答案】
7
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是结合角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，将未知的阴影周长转化为已知的AB边长，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆两个核心性质：①三角形内心是三个内角的角平分线交点，会平分三角形的内角；②平移前后对应线段互相平行，对应角相等。我们可以通过连接AI、BI，先利用角平分线性质得到等角，再结合平移得到的平行关系推导等腰三角形，将阴影部分的边长转化到AB边上，即可快速求出周长。
【解析】
解：连接AI、BI，设阴影三角形的左顶点为D，右顶点为E。
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，即∠CAI=∠BAI，∠CBI=∠ABI。
∵△ACB平移后顶点C与I重合，
∴根据平移的性质可得AC//DI，BC//EI，
∴∠CAI=∠AID，∠CBI=∠BIE。
等量代换得：∠BAI=∠AID，∠ABI=∠BIE，
根据等角对等边，可得AD=ID，BE=IE。
∴阴影部分的周长=ID + DE + IE = AD + DE + BE = AB。
已知AB=7，因此阴影部分的周长为7。
【答案】
7
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是结合角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，将未知的阴影周长转化为已知的AB边长，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
7. 如图1,有一块三角形纸片ABC,在三角形纸片上裁一个圆形纸片,这个圆与三角形的三条边都相切.
(1)尺规作图:在图1中找出这个圆的圆心O.(保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
(2)如图2,若$BC=8$,$AC=6$,$AB=10$,$\odot O$与边$AB$,$BC$,$CA$分别相切于点$D$,$E$,$F$,求$\odot O$的面积.
(1)尺规作图:在图1中找出这个圆的圆心O.(保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
(2)如图2,若$BC=8$,$AC=6$,$AB=10$,$\odot O$与边$AB$,$BC$,$CA$分别相切于点$D$,$E$,$F$,求$\odot O$的面积.
答案
(1)如图,点 O 即为所求.
(2)如图,连接 $OD,OE,OF$.
$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $BC=8,AC=6,AB=10$,
$\therefore BC^{2}+AC^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}=AB^{2}$.
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形, $∠ C=90°$.
$\because\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,切点分别为 $D,E,F$,
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF,OD=OE=OF$.
又$∠ C=90°$,
$\therefore$ 四边形 $OFCE$ 为正方形.
设 $CE=r$, 则 $CF=OE=r$.
则 $BD=BE=8-r,AD=AF=6-r$.
$\because BD+AD=AB$,
$\therefore 8-r+6-r=10$. 解得 $r=2$.
$\therefore OE=2.\therefore\odot O$ 的面积是 $4π$.
解析
【分析】
(1) 与三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心为三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，到三边距离相等。因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点就是所求的圆心O。
(2) 先根据三角形三边的长度，用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，∠C=90°；再连接圆心与各切点，根据切线的性质和切线长定理，可推导出四边形OFCE为正方形；设内切圆半径为r，利用切线长相等将AD、BD用含r的代数式表示，结合AB的长度列方程求解r，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作∠A、∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O，作图符合要求即可。
(2) 连接$OD,OE,OF$：
$\because$ 在 $△ ABC$ 中， $BC=8,AC=6,AB=10$，
$\therefore BC^{2}+AC^{2}=8^{2}+6^{2}=100=10^{2}=AB^{2}$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$ 是直角三角形， $∠ C=90°$。
$\because\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，切点分别为 $D,E,F$，
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ AC$，且根据切线长定理可得$BD=BE,AD=AF,CE=CF$，同时$OD=OE=OF$。
又$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形 $OFCE$ 四个角均为直角，且邻边$OE=OF$，故四边形OFCE为正方形。
设 $CE=r$，则 $CF=OE=r$，
$\therefore BD=BE=BC-CE=8-r,AD=AF=AC-CF=6-r$，
$\because BD+AD=AB=10$，
$\therefore 8-r+6-r=10$，解得 $r=2$。
$\therefore \odot O$ 的面积$S=πr^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) 如图，点 O 即为所求。
(2) $\odot O$的面积为$4π$。
【知识点】
1. 三角形的内心
2. 勾股定理的逆定理
3. 切线长定理
【点评】
本题分为作图和计算两部分，侧重基础知识点的应用。第一问要求掌握三角形内心的作图方法，第二问综合了直角三角形的判定、切线的性质和切线长定理的应用，通过切线长相等建立方程是求解内切圆半径的常用方法，也可利用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 与三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心为三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，到三边距离相等。因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点就是所求的圆心O。
(2) 先根据三角形三边的长度，用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，∠C=90°；再连接圆心与各切点，根据切线的性质和切线长定理，可推导出四边形OFCE为正方形；设内切圆半径为r，利用切线长相等将AD、BD用含r的代数式表示，结合AB的长度列方程求解r，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作∠A、∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O，作图符合要求即可。
(2) 连接$OD,OE,OF$：
$\because$ 在 $△ ABC$ 中， $BC=8,AC=6,AB=10$，
$\therefore BC^{2}+AC^{2}=8^{2}+6^{2}=100=10^{2}=AB^{2}$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$ 是直角三角形， $∠ C=90°$。
$\because\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，切点分别为 $D,E,F$，
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ AC$，且根据切线长定理可得$BD=BE,AD=AF,CE=CF$，同时$OD=OE=OF$。
又$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形 $OFCE$ 四个角均为直角，且邻边$OE=OF$，故四边形OFCE为正方形。
设 $CE=r$，则 $CF=OE=r$，
$\therefore BD=BE=BC-CE=8-r,AD=AF=AC-CF=6-r$，
$\because BD+AD=AB=10$，
$\therefore 8-r+6-r=10$，解得 $r=2$。
$\therefore \odot O$ 的面积$S=πr^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) 如图，点 O 即为所求。
(2) $\odot O$的面积为$4π$。
【知识点】
1. 三角形的内心
2. 勾股定理的逆定理
3. 切线长定理
【点评】
本题分为作图和计算两部分，侧重基础知识点的应用。第一问要求掌握三角形内心的作图方法，第二问综合了直角三角形的判定、切线的性质和切线长定理的应用，通过切线长相等建立方程是求解内切圆半径的常用方法，也可利用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 周长为15 cm的三角形纸片ABC如图所示.小明想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他先沿着与⊙O相切的DE所在直线剪下了一个三角形纸片BDE.若AC=4 cm,则三角形纸片BDE的周长是（
A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
C
）A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
答案
8.C
解析
【分析】
解题思路如下：①看到内切圆与切线，首先想到核心依据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。②要求△BDE的周长，即BD+DE+BE的和，可将DE沿它与圆的切点拆为两段，利用切线长定理把这两段分别替换为AB、BC边上对应的切线段，将小三角形周长转化为AB、BC边上从点B出发的两条切线段的和。③结合原△ABC的周长和已知AC的长度，推导可知AB+BC中除上述两条切线段外，剩余两段切线段的和恰好等于AC的长度，相减即可得到△BDE的周长。
【解析】
解：设⊙O与AB边的切点为M，与BC边的切点为N，与DE边的切点为P，与AC边的切点为Q。
根据切线长定理可得：
$AM=AQ$，$CN=CQ$，$BM=BN$，$DM=DP$，$EN=EP$。
△BDE的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ BDE}&=BD + DE + BE\\&= BD + DP + PE + BE\\&= BD + DM + EN + BE\\&= (BD+DM) + (BE+EN)\\&= BM + BN\end{aligned}$
已知$C_{△ ABC}=15\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，因此$AB+BC=15-AC=11\mathrm{cm}$。
又$AB=AM+BM$，$BC=CN+BN$，且$AM+CN=AQ+CQ=AC=4\mathrm{cm}$，代入得：
$AB+BC=BM+BN+4=11\mathrm{cm}$
因此$BM+BN=11-4=7\mathrm{cm}$，即△BDE的周长为7cm。
【答案】C
【知识点】切线长定理；三角形内切圆；周长计算
【点评】本题重点考查切线长定理在三角形内切圆问题中的应用，解题关键是通过切线长相等对所求三角形的周长做等价转化，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】0.7
解题思路如下：①看到内切圆与切线，首先想到核心依据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。②要求△BDE的周长，即BD+DE+BE的和，可将DE沿它与圆的切点拆为两段，利用切线长定理把这两段分别替换为AB、BC边上对应的切线段，将小三角形周长转化为AB、BC边上从点B出发的两条切线段的和。③结合原△ABC的周长和已知AC的长度，推导可知AB+BC中除上述两条切线段外，剩余两段切线段的和恰好等于AC的长度，相减即可得到△BDE的周长。
【解析】
解：设⊙O与AB边的切点为M，与BC边的切点为N，与DE边的切点为P，与AC边的切点为Q。
根据切线长定理可得：
$AM=AQ$，$CN=CQ$，$BM=BN$，$DM=DP$，$EN=EP$。
△BDE的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ BDE}&=BD + DE + BE\\&= BD + DP + PE + BE\\&= BD + DM + EN + BE\\&= (BD+DM) + (BE+EN)\\&= BM + BN\end{aligned}$
已知$C_{△ ABC}=15\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，因此$AB+BC=15-AC=11\mathrm{cm}$。
又$AB=AM+BM$，$BC=CN+BN$，且$AM+CN=AQ+CQ=AC=4\mathrm{cm}$，代入得：
$AB+BC=BM+BN+4=11\mathrm{cm}$
因此$BM+BN=11-4=7\mathrm{cm}$，即△BDE的周长为7cm。
【答案】C
【知识点】切线长定理；三角形内切圆；周长计算
【点评】本题重点考查切线长定理在三角形内切圆问题中的应用，解题关键是通过切线长相等对所求三角形的周长做等价转化，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】0.7
9.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F. $∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$. (1)求$△ ABC$三个内角的度数. (2)设$\odot O$的直径为$d$.求证：$d=AB+AC-BC$. 
答案
(1)【解】$\because\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,$\odot O$ 与边 $AB$, $BC$,$AC$ 分别相切于点 $D$,$E$,$F$,
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$.
$\therefore∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$.
$\because∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$,
$\therefore∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°,∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°$.
$\therefore∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°$.
$\therefore∠ A,∠ B,∠ C$ 的度数分别为 $90°,60°,30°$.
(2)【证明】$\because\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,
$\therefore AD=AF,BD=BE,CF=CE$.
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$.
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$.
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$.
由(1)知 $OD⊥ AB,OF⊥ AC,∠ A=90°$.
$\therefore$ 四边形 $ADOF$ 是矩形.
$\therefore OD=AF$.
$\because\odot O$ 的直径为 $d$,$OD$ 为$\odot O$ 的半径,
$\therefore d=2OD=2AF$.
$\therefore d=AB+AC-BC$.
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$.
$\therefore∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$.
$\because∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$,
$\therefore∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°,∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°$.
$\therefore∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°$.
$\therefore∠ A,∠ B,∠ C$ 的度数分别为 $90°,60°,30°$.
(2)【证明】$\because\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,
$\therefore AD=AF,BD=BE,CF=CE$.
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$.
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$.
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$.
由(1)知 $OD⊥ AB,OF⊥ AC,∠ A=90°$.
$\therefore$ 四边形 $ADOF$ 是矩形.
$\therefore OD=AF$.
$\because\odot O$ 的直径为 $d$,$OD$ 为$\odot O$ 的半径,
$\therefore d=2OD=2AF$.
$\therefore d=AB+AC-BC$.
解析
【分析】
（1）求解△ABC内角时，首先结合内切圆的切线性质，可知圆心与切点的连线垂直于三角形对应边，可得切点处的角均为直角；再在四边形ODBE和OECF中，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠DOE、∠EOF的度数，分别求出∠B和∠C，最后用三角形内角和为180°求出∠A即可。
（2）证明线段关系时，首先利用切线长定理，将AB、AC、BC拆分为对应切线长的和，推导出AB+AC-BC与切线长AF的等量关系；再结合第一问得到的∠A=90°，以及OD⊥AB、OF⊥AC的性质，判定四边形ADOF是矩形，得到半径OD和AF的等量关系，最后结合直径与半径的关系即可得证。
【解析】
(1)解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$，
$\therefore∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$。
$\because∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$，
$\therefore∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$，
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°$，
$\therefore∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-30°=90°$。
(2)证明：$\because\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore AD=AF,BD=BE,CF=CE$，
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$，
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$，
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$。
由(1)知 $OD⊥ AB,OF⊥ AC,∠ A=90°$，
$\therefore$ 四边形 $ADOF$ 是矩形，
$\therefore OD=AF$。
$\because\odot O$ 的直径为 $d$，$OD$ 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore d=2OD=2AF$，
$\therefore d=AB+AC-BC$。
【答案】
(1)$∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°$；
(2)证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内切圆考察多个知识点的综合应用，解题核心是熟练掌握内切圆相关的性质，题目侧重基础，能很好地检验对几何基础定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解△ABC内角时，首先结合内切圆的切线性质，可知圆心与切点的连线垂直于三角形对应边，可得切点处的角均为直角；再在四边形ODBE和OECF中，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠DOE、∠EOF的度数，分别求出∠B和∠C，最后用三角形内角和为180°求出∠A即可。
（2）证明线段关系时，首先利用切线长定理，将AB、AC、BC拆分为对应切线长的和，推导出AB+AC-BC与切线长AF的等量关系；再结合第一问得到的∠A=90°，以及OD⊥AB、OF⊥AC的性质，判定四边形ADOF是矩形，得到半径OD和AF的等量关系，最后结合直径与半径的关系即可得证。
【解析】
(1)解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$，
$\therefore∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$。
$\because∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$，
$\therefore∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$，
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°$，
$\therefore∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-30°=90°$。
(2)证明：$\because\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore AD=AF,BD=BE,CF=CE$，
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$，
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$，
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$。
由(1)知 $OD⊥ AB,OF⊥ AC,∠ A=90°$，
$\therefore$ 四边形 $ADOF$ 是矩形，
$\therefore OD=AF$。
$\because\odot O$ 的直径为 $d$，$OD$ 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore d=2OD=2AF$，
$\therefore d=AB+AC-BC$。
【答案】
(1)$∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°$；
(2)证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内切圆考察多个知识点的综合应用，解题核心是熟练掌握内切圆相关的性质，题目侧重基础，能很好地检验对几何基础定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,点I是$△ ABC$的内心.请仅用无刻度的直尺在$\overset{\frown}{BC}$上找一点D,使得$BD=ID$,并证明.
答案
【解】如图,连接 $AI$ 并延长,交 $\overset{\frown}{BC}$ 于点 $D$,连接 $BD$,点 $D$ 即为所求.
证明:如图,连接 $BI$.
$\because$ 点 $I$ 是$△ ABC$ 的内心,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD,∠ ABI=∠ CBI$.
$\because$ 圆周角$∠ CAD,∠ CBD$ 所对的弧都为 $\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore∠ CAD=∠ CBD$.
$\therefore∠ BAD=∠ CBD$.
$\because∠ DBI=∠ CBD+∠ CBI=∠ BAD+∠ ABI=∠ DIB$,
$\therefore BD=ID$.
解析
【分析】
要找到$\overset{\frown}{BC}$上的点D使得$BD=ID$，本质是构造等腰$△ DBI$，即证明$∠ DBI=∠ DIB$。首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，因此点I在$∠ BAC$的角平分线上。我们可以先连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，再结合圆周角定理、角平分线性质，通过角的等量代换证明两角相等，即可得到$BD=ID$。
【解析】
作图步骤：
连接$AI$并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点$D$，点$D$即为所求。
证明：
连接$BI$，
$\because$点$I$是$△ ABC$的内心，
$\therefore AI$平分$∠ BAC$，$BI$平分$∠ ABC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$。
$\because$圆周角$∠ CAD$和$∠ CBD$所对的弧都是$\overset{\frown}{CD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，即$∠ BAD=∠ CBD$。
$\because ∠ DIB$是$△ ABI$的外角，根据三角形外角性质可得$∠ DIB=∠ BAD+∠ ABI$，
又$\because ∠ DBI=∠ CBD+∠ CBI$，
代入角的等量关系可得$∠ DBI=∠ DIB$，
根据等角对等边，因此$BD=ID$。
【答案】
如图,连接 $AI$ 并延长,交 $\overset{\frown}{BC}$ 于点 $D$,连接 $BD$,点 $D$ 即为所求.
证明:如图,连接 $BI$.
$\because$ 点 $I$ 是$△ ABC$ 的内心,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD,∠ ABI=∠ CBI$.
$\because$ 圆周角$∠ CAD,∠ CBD$ 所对的弧都为 $\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore∠ CAD=∠ CBD$.
$\therefore∠ BAD=∠ CBD$.
$\because∠ DBI=∠ CBD+∠ CBI=∠ BAD+∠ ABI=∠ DIB$,
$\therefore BD=ID$.
【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题结合无刻度直尺作图与几何证明，综合考查三角形内心、圆周角、等腰三角形的相关性质，解题关键是利用内心的角平分线性质构造辅助线，通过角的等量代换完成证明，是圆与三角形综合的典型题型。
【难度系数】
0.6
要找到$\overset{\frown}{BC}$上的点D使得$BD=ID$，本质是构造等腰$△ DBI$，即证明$∠ DBI=∠ DIB$。首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，因此点I在$∠ BAC$的角平分线上。我们可以先连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，再结合圆周角定理、角平分线性质，通过角的等量代换证明两角相等，即可得到$BD=ID$。
【解析】
作图步骤：
连接$AI$并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点$D$，点$D$即为所求。
证明：
连接$BI$，
$\because$点$I$是$△ ABC$的内心，
$\therefore AI$平分$∠ BAC$，$BI$平分$∠ ABC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$。
$\because$圆周角$∠ CAD$和$∠ CBD$所对的弧都是$\overset{\frown}{CD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，即$∠ BAD=∠ CBD$。
$\because ∠ DIB$是$△ ABI$的外角，根据三角形外角性质可得$∠ DIB=∠ BAD+∠ ABI$，
又$\because ∠ DBI=∠ CBD+∠ CBI$，
代入角的等量关系可得$∠ DBI=∠ DIB$，
根据等角对等边，因此$BD=ID$。
【答案】
如图,连接 $AI$ 并延长,交 $\overset{\frown}{BC}$ 于点 $D$,连接 $BD$,点 $D$ 即为所求.
证明:如图,连接 $BI$.
$\because$ 点 $I$ 是$△ ABC$ 的内心,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD,∠ ABI=∠ CBI$.
$\because$ 圆周角$∠ CAD,∠ CBD$ 所对的弧都为 $\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore∠ CAD=∠ CBD$.
$\therefore∠ BAD=∠ CBD$.
$\because∠ DBI=∠ CBD+∠ CBI=∠ BAD+∠ ABI=∠ DIB$,
$\therefore BD=ID$.
【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题结合无刻度直尺作图与几何证明，综合考查三角形内心、圆周角、等腰三角形的相关性质，解题关键是利用内心的角平分线性质构造辅助线，通过角的等量代换完成证明，是圆与三角形综合的典型题型。
【难度系数】
0.6
