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基础知识·预习
问题1 什么是三角形的内切圆？
问题2 三角形内切圆的圆心叫作什么？它是三角形中什么线与什么线的交点？
问题3 三角形的内心到三角形三条边的距离存在什么样的数量关系？
问题1 什么是三角形的内切圆？
问题2 三角形内切圆的圆心叫作什么？它是三角形中什么线与什么线的交点？
问题3 三角形的内心到三角形三条边的距离存在什么样的数量关系？
答案
解：
问题1：与三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
问题2：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
问题3：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
问题1：与三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
问题2：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
问题3：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
解析
【分析】
本题为三角形内切圆相关的基础概念题，三个问题依次考查内切圆的定义、内心的定义与位置、内心的性质，均属于教材核心识记内容，解题时直接对应所学的基础概念作答即可。
【解析】
问题1：根据三角形内切圆的定义，与三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
问题2：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心；结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），要保证圆心到三角形三边的距离都相等，该点必然是三角形三条角平分线的交点。
问题3：因为内心是三角形三条角平分线的交点，结合角平分线的性质可推出，内心到三角形三条边的距离相等，该距离就是内切圆的半径，即三个距离都等于该三角形内切圆的半径。
【答案】
问题1：与三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
问题2：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
问题3：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心的定义；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考查的都是三角形内切圆相关的核心基础知识点，熟练掌握相关定义和性质即可快速解答，是后续学习内切圆相关计算、证明类题型的基础。
【难度系数】
0.9
本题为三角形内切圆相关的基础概念题，三个问题依次考查内切圆的定义、内心的定义与位置、内心的性质，均属于教材核心识记内容，解题时直接对应所学的基础概念作答即可。
【解析】
问题1：根据三角形内切圆的定义，与三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
问题2：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心；结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），要保证圆心到三角形三边的距离都相等，该点必然是三角形三条角平分线的交点。
问题3：因为内心是三角形三条角平分线的交点，结合角平分线的性质可推出，内心到三角形三条边的距离相等，该距离就是内切圆的半径，即三个距离都等于该三角形内切圆的半径。
【答案】
问题1：与三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
问题2：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
问题3：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心的定义；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考查的都是三角形内切圆相关的核心基础知识点，熟练掌握相关定义和性质即可快速解答，是后续学习内切圆相关计算、证明类题型的基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题】如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.
(1)点$O$是$△ ABC$的
(2)如图1，若$AB=9,BC=14,CA=13$，设$AF=x$，求$BF$的长.
(3)如图2，若$∠ C=90°,BC,CA,AB$的长分别是$a,b,c$，求$\odot O$的半径长.(用含$a,b,c$的式子表示)
【解】(1)内
(2)因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$.
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$.所以$CD=CE=AC-AE=13-x$.
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$.解得$x=4$.所以$BF=9-x=5$.
(3)如图，连接$OD,OE,OF$.易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD,∠ OFC=∠ ODC=90°$.
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$.
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形.
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形.
所以$CD=CF=r$.
所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$.
所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$.
所以$a+b-2r=c$.所以$r=\dfrac{a+b-c}{2}$.
故$\odot O$的半径长为$\dfrac{a+b-c}{2}$.
(1)点$O$是$△ ABC$的
内
心.(填“内”或“外”)(2)如图1，若$AB=9,BC=14,CA=13$，设$AF=x$，求$BF$的长.
(3)如图2，若$∠ C=90°,BC,CA,AB$的长分别是$a,b,c$，求$\odot O$的半径长.(用含$a,b,c$的式子表示)
【解】(1)内
(2)因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$.
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$.所以$CD=CE=AC-AE=13-x$.
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$.解得$x=4$.所以$BF=9-x=5$.
(3)如图，连接$OD,OE,OF$.易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD,∠ OFC=∠ ODC=90°$.
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$.
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形.
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形.
所以$CD=CF=r$.
所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$.
所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$.
所以$a+b-2r=c$.所以$r=\dfrac{a+b-c}{2}$.
故$\odot O$的半径长为$\dfrac{a+b-c}{2}$.
答案
(1)内
(2)因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$.
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$.所以$CD=CE=AC-AE=13-x$.
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$.解得$x=4$.所以$BF=9-x=5$.
(3)如图，连接$OD,OE,OF$.易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD,∠ OFC=∠ ODC=90°$.
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$.
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形.
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形.
所以$CD=CF=r$.
所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$.
所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$.
所以$a+b-2r=c$.所以$r=\dfrac{a+b-c}{2}$.
故$\odot O$的半径长为$\dfrac{a+b-c}{2}$.
解析
【分析】
(1) 本小问考查三角形内心的定义，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，对应概念直接填写即可。
(2) 解题核心是运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。由此可得三组相等的切线长：$AE=AF$，$BF=BD$，$CE=CD$。设$AF=x$后，可将$BD$、$CD$都用含$x$的代数式表示，再结合$BC$的长度列一元一次方程，求解得到$x$的值后即可算出$BF$的长度。
(3) 先连接圆心和各切点，根据切线的性质可知切线与过切点的半径垂直，结合$∠ C=90°$可证四边形$ODCF$是矩形，再由邻边都是半径、长度相等可证其为正方形，得到$CD=CF=r$，再结合切线长定理将$AF$、$BD$用含$r$的代数式表示，根据$AF+BD=AB$列方程，整理即可得到半径$r$的表达式。
【解析】
(1) 三角形的内切圆的圆心是三角形的内心，故填“内”。
(2) 因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$。
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x$，$AE=AF=x$，因此$CD=CE=AC-AE=13-x$。
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$，解得$x=4$，所以$BF=9-x=5$。
(3) 连接$OD,OE,OF$，易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD,∠ OFC=∠ ODC=90°$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$。
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形。
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形，因此$CD=CF=r$。
所以$AE=AF=CA-CF=b-r$，$BE=BD=BC-CD=a-r$。
因为$AB=AE+BE$，所以$b-r+a-r=c$，整理得$a+b-2r=c$，解得$r=\dfrac{a+b-c}{2}$。
【答案】
(1)内
(2)$BF$的长为$5$
(3)$\odot O$的半径长为$\dfrac{a+b-c}{2}$
【知识点】
1.三角形内心概念
2.切线长定理
3.正方形判定
【点评】
本题围绕三角形内切圆设置了三层难度的问题，从基础概念识别到切线长定理的常规应用，再到直角三角形内切圆半径公式的推导，符合知识学习的递进逻辑。熟练掌握切线长定理是解决此类问题的关键，推导得出的直角三角形内切圆半径公式可作为常用结论记忆，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问考查三角形内心的定义，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，对应概念直接填写即可。
(2) 解题核心是运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。由此可得三组相等的切线长：$AE=AF$，$BF=BD$，$CE=CD$。设$AF=x$后，可将$BD$、$CD$都用含$x$的代数式表示，再结合$BC$的长度列一元一次方程，求解得到$x$的值后即可算出$BF$的长度。
(3) 先连接圆心和各切点，根据切线的性质可知切线与过切点的半径垂直，结合$∠ C=90°$可证四边形$ODCF$是矩形，再由邻边都是半径、长度相等可证其为正方形，得到$CD=CF=r$，再结合切线长定理将$AF$、$BD$用含$r$的代数式表示，根据$AF+BD=AB$列方程，整理即可得到半径$r$的表达式。
【解析】
(1) 三角形的内切圆的圆心是三角形的内心，故填“内”。
(2) 因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$。
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x$，$AE=AF=x$，因此$CD=CE=AC-AE=13-x$。
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$，解得$x=4$，所以$BF=9-x=5$。
(3) 连接$OD,OE,OF$，易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD,∠ OFC=∠ ODC=90°$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$。
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形。
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形，因此$CD=CF=r$。
所以$AE=AF=CA-CF=b-r$，$BE=BD=BC-CD=a-r$。
因为$AB=AE+BE$，所以$b-r+a-r=c$，整理得$a+b-2r=c$，解得$r=\dfrac{a+b-c}{2}$。
【答案】
(1)内
(2)$BF$的长为$5$
(3)$\odot O$的半径长为$\dfrac{a+b-c}{2}$
【知识点】
1.三角形内心概念
2.切线长定理
3.正方形判定
【点评】
本题围绕三角形内切圆设置了三层难度的问题，从基础概念识别到切线长定理的常规应用，再到直角三角形内切圆半径公式的推导，符合知识学习的递进逻辑。熟练掌握切线长定理是解决此类问题的关键，推导得出的直角三角形内切圆半径公式可作为常用结论记忆，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
