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8. 以正方形ABCD的边AB为直径向右作半圆，CF与半圆所在圆相切，切点为F，CF的延长线交边AD于点E。若△CDE的周长为12，则正方形ABCD的周长为
（
A.14
B.15
C.16
D.17
（
C
）A.14
B.15
C.16
D.17
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形特征，结合已知条件中切线的性质，优先考虑使用切线长定理找到相等线段：正方形中AB垂直AD、BC，因此AD、BC都是半圆所在圆的切线，CE也和圆相切于F，所以可得AE=EF、BC=CF。接着将△CDE的周长通过等量代换转化为正方形边长的表达式，即可求出边长，进而计算正方形的周长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ a $。
∵AB为半圆的直径，且$ AB⊥ AD $，$ AB⊥ BC $，
∴AD、BC都是半圆所在圆的切线。
又
∵CE与半圆相切于点F，根据切线长定理可得：$ AE=EF $，$ BC=CF $。
△CDE的周长为：
$ C_{△ CDE}=CD + DE + CE $
将$ CE=EF+FC $代入，再替换相等线段：
$ C_{△ CDE}=CD + DE + EF + FC = CD + DE + AE + BC $
其中$ DE+AE=AD $，且正方形四边相等$ AB=BC=CD=AD=a $，因此：
$ C_{△ CDE}=a + a + a = 3a $
已知$ C_{△ CDE}=12 $，即$ 3a=12 $，解得$ a=4 $。
∴正方形ABCD的周长为$ 4a=4×4=16 $。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，正方形的性质
【点评】
本题的核心是通过切线长定理对三角形周长中的线段做等量代换，消去未知线段，直接建立三角形周长和正方形边长的关系，解题时要注意灵活运用切线的相关性质简化计算。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，结合已知条件中切线的性质，优先考虑使用切线长定理找到相等线段：正方形中AB垂直AD、BC，因此AD、BC都是半圆所在圆的切线，CE也和圆相切于F，所以可得AE=EF、BC=CF。接着将△CDE的周长通过等量代换转化为正方形边长的表达式，即可求出边长，进而计算正方形的周长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ a $。
∵AB为半圆的直径，且$ AB⊥ AD $，$ AB⊥ BC $，
∴AD、BC都是半圆所在圆的切线。
又
∵CE与半圆相切于点F，根据切线长定理可得：$ AE=EF $，$ BC=CF $。
△CDE的周长为：
$ C_{△ CDE}=CD + DE + CE $
将$ CE=EF+FC $代入，再替换相等线段：
$ C_{△ CDE}=CD + DE + EF + FC = CD + DE + AE + BC $
其中$ DE+AE=AD $，且正方形四边相等$ AB=BC=CD=AD=a $，因此：
$ C_{△ CDE}=a + a + a = 3a $
已知$ C_{△ CDE}=12 $，即$ 3a=12 $，解得$ a=4 $。
∴正方形ABCD的周长为$ 4a=4×4=16 $。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，正方形的性质
【点评】
本题的核心是通过切线长定理对三角形周长中的线段做等量代换，消去未知线段，直接建立三角形周长和正方形边长的关系，解题时要注意灵活运用切线的相关性质简化计算。
【难度系数】
0.7
9.如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A，B，AB与OP相交于点H.若$AP=2\sqrt{3}$，$∠ APB=60°$，则OH的长为
1
.答案
1
解析
【分析】
解题时先利用切线长定理得到PA=PB、OP平分∠APB，结合∠APB=60°可判断△PAB是等边三角形，且OP垂直平分AB；再根据切线性质得到OA⊥PA，先在Rt△OAP中利用特殊角的性质求出OA、OP的长度，再在Rt△APH中用勾股定理求出PH的长度，最后用OP减去PH即可得到OH的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA
∵∠APB=60°，PA=PB
∴△PAB是等边三角形，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，AB=AP=$2\sqrt{3}$
由等腰三角形三线合一可得：OP⊥AB，$AH=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$
在Rt△APH中，由勾股定理得：
$PH=\sqrt{AP^2 - AH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$
在Rt△OAP中，∠APO=30°
∴OA=AP·tan30°=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，OP=2OA=4
∴OH=OP-PH=4-3=1
【答案】
1
【知识点】
切线长定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的基础题，解题核心是熟练运用切线相关性质转化线段和角的关系，结合特殊三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用切线长定理得到PA=PB、OP平分∠APB，结合∠APB=60°可判断△PAB是等边三角形，且OP垂直平分AB；再根据切线性质得到OA⊥PA，先在Rt△OAP中利用特殊角的性质求出OA、OP的长度，再在Rt△APH中用勾股定理求出PH的长度，最后用OP减去PH即可得到OH的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA
∵∠APB=60°，PA=PB
∴△PAB是等边三角形，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，AB=AP=$2\sqrt{3}$
由等腰三角形三线合一可得：OP⊥AB，$AH=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$
在Rt△APH中，由勾股定理得：
$PH=\sqrt{AP^2 - AH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$
在Rt△OAP中，∠APO=30°
∴OA=AP·tan30°=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，OP=2OA=4
∴OH=OP-PH=4-3=1
【答案】
1
【知识点】
切线长定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的基础题，解题核心是熟练运用切线相关性质转化线段和角的关系，结合特殊三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
10.综合与实践
【活动目标】如图
,已知$\odot O$及$\odot O$外一点P,求作直线PD,使PD与$\odot O$相切于点D.
【操作步骤】小明经过思考,整理出了如下作法():
①连接OP,分别以点O,P为圆心,大于$\frac{1}{2}OP$的长为半径作弧,两弧交于点A,C.
②作直线AC,交OP于点B.
③以点B为圆心,OB的长为半径作弧,分别交$\odot O$于点D,E.
④作直线PD,PE,则直线PD即为所求.
【证明与作图】
(1)根据以上作图方法,请证明PD与$\odot O$相切于点D.
(2)连接DE,若$\odot O$的半径为5,$OP=13$,求DE的长.
(3)已知$\odot O$及$\odot O$外一点P,求作直线PM,使PM与$\odot O$相切于点M,你有其他的作图方法吗?请利用尺规在图1中进行作图,保留作图痕迹,不写作法.
【活动目标】如图
,已知$\odot O$及$\odot O$外一点P,求作直线PD,使PD与$\odot O$相切于点D.【操作步骤】小明经过思考,整理出了如下作法():
①连接OP,分别以点O,P为圆心,大于$\frac{1}{2}OP$的长为半径作弧,两弧交于点A,C.
②作直线AC,交OP于点B.
③以点B为圆心,OB的长为半径作弧,分别交$\odot O$于点D,E.
④作直线PD,PE,则直线PD即为所求.
【证明与作图】
(1)根据以上作图方法,请证明PD与$\odot O$相切于点D.
(2)连接DE,若$\odot O$的半径为5,$OP=13$,求DE的长.
(3)已知$\odot O$及$\odot O$外一点P,求作直线PM,使PM与$\odot O$相切于点M,你有其他的作图方法吗?请利用尺规在图1中进行作图,保留作图痕迹,不写作法.
答案
(1)【证明】如图,连接OD,BD.
根据题中的作图方法,得AC垂直平分线段OP,OB=BD.
∴OB=BD=BP.
∴∠BOD=∠ODB,∠BDP=∠DPB.
又∠BOD+∠ODB+∠BDP+∠DPB=180°,
∴∠ODP=∠ODB+∠BDP=90°.
∴OD⊥DP.
又OD为⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切于点D.
(2)【解】如图,设DE交OP于点F,连接OD.
由(1)知PD与⊙O相切于点D.
同理,PE与⊙O相切于点E.
∴PD=PE,PO平分∠DPE.
易证OP垂直平分DE.
∴DE=2DF.
由(1)知,∠ODP=90°.
∴△ODP为直角三角形.
∵在Rt△ODP中,OD=5,OP=13，
∴由勾股定理,得DP=$\sqrt{OP^2−OD^2}=12$.
∵$\frac{1}{2}OD·DP=\frac{1}{2}OP·DF$,即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13·DF$,
∴DF=$\frac{60}{13}$.
∴DE=2DF=$\frac{120}{13}$.
(3)【解】如图,直线PM即为所求.
(提示:以点P为圆心,OP的长为半径作弧,再以点O为圆心,⊙O的直径长为半径作弧,两弧交于点N,连接ON,交⊙O于点M,作直线PM.)
解析
【分析】
(1) 要证PD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OD垂直于PD。首先由作图可知AC是OP的垂直平分线，得B是OP中点，且BD=OB，因此BD=OB=BP，结合等腰三角形性质和三角形内角和，可推出∠ODP=90°，即可得证。
(2) 求DE的长时，先根据切线长定理得PD=PE，OP平分∠DPE，因此OP垂直平分DE，即DE=2DF。先在Rt△ODP中用勾股定理求出PD的长度，再利用三角形等面积法求出DF的长，进而得到DE的长度。
(3) 另一种作切线的核心是构造直角∠OMP=90°，可通过构造全等、以OP为斜边作直角且直角顶点在圆上的思路完成作图。
【解析】
(1)【证明】如图，连接OD,BD。
根据题中的作图方法，得AC垂直平分线段OP，OB=BD。
∴OB=BD=BP。
∴∠BOD=∠ODB，∠BDP=∠DPB。
又∠BOD+∠ODB+∠BDP+∠DPB=180°，
∴∠ODP=∠ODB+∠BDP=90°。
∴OD⊥DP。
又OD为⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切于点D。
(2)【解】如图，设DE交OP于点F，连接OD。
由(1)知PD与⊙O相切于点D。
同理，PE与⊙O相切于点E。
∴PD=PE，PO平分∠DPE。
易证OP垂直平分DE。
∴DE=2DF。
由(1)知，∠ODP=90°。
∴△ODP为直角三角形。
∵在Rt△ODP中，OD=5，OP=13，
∴由勾股定理，得DP=$\sqrt{OP^2−OD^2}=12$。
∵$\frac{1}{2}OD·DP=\frac{1}{2}OP·DF$，即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13·DF$，
∴DF=$\frac{60}{13}$。
∴DE=2DF=$\frac{120}{13}$。
(3)【解】如图，直线PM即为所求。
【答案】
(1) 证明成立，PD与⊙O相切于点D；
(2) DE的长为$\frac{120}{13}$；
(3) 作图见。
【知识点】
切线的判定，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的切线相关知识，既需要理解作图背后的几何原理，也需要熟练运用切线的性质、切线长定理、勾股定理等进行推理计算，同时考查动手操作能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 要证PD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OD垂直于PD。首先由作图可知AC是OP的垂直平分线，得B是OP中点，且BD=OB，因此BD=OB=BP，结合等腰三角形性质和三角形内角和，可推出∠ODP=90°，即可得证。
(2) 求DE的长时，先根据切线长定理得PD=PE，OP平分∠DPE，因此OP垂直平分DE，即DE=2DF。先在Rt△ODP中用勾股定理求出PD的长度，再利用三角形等面积法求出DF的长，进而得到DE的长度。
(3) 另一种作切线的核心是构造直角∠OMP=90°，可通过构造全等、以OP为斜边作直角且直角顶点在圆上的思路完成作图。
【解析】
(1)【证明】如图，连接OD,BD。
根据题中的作图方法，得AC垂直平分线段OP，OB=BD。
∴OB=BD=BP。
∴∠BOD=∠ODB，∠BDP=∠DPB。
又∠BOD+∠ODB+∠BDP+∠DPB=180°，
∴∠ODP=∠ODB+∠BDP=90°。
∴OD⊥DP。
又OD为⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切于点D。
(2)【解】如图，设DE交OP于点F，连接OD。
由(1)知PD与⊙O相切于点D。
同理，PE与⊙O相切于点E。
∴PD=PE，PO平分∠DPE。
易证OP垂直平分DE。
∴DE=2DF。
由(1)知，∠ODP=90°。
∴△ODP为直角三角形。
∵在Rt△ODP中，OD=5，OP=13，
∴由勾股定理，得DP=$\sqrt{OP^2−OD^2}=12$。
∵$\frac{1}{2}OD·DP=\frac{1}{2}OP·DF$，即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13·DF$，
∴DF=$\frac{60}{13}$。
∴DE=2DF=$\frac{120}{13}$。
(3)【解】如图，直线PM即为所求。
【答案】
(1) 证明成立，PD与⊙O相切于点D；
(2) DE的长为$\frac{120}{13}$；
(3) 作图见
。【知识点】
切线的判定，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的切线相关知识，既需要理解作图背后的几何原理，也需要熟练运用切线的性质、切线长定理、勾股定理等进行推理计算，同时考查动手操作能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
