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6. 如图，PA，PB，CD分别与$\odot O$相切于点A，B，E，点C，D分别在线段PA与PB上，连接OC，OD。已知$△ PCD$的周长为12，$∠ APB=60°$。
(1)求PA的长。
(2)求$∠ COD$的度数。
(1)求PA的长。
(2)求$∠ COD$的度数。
答案
(1)
∵CA,CE都与⊙O相切，
∴CA=CE.
同理,DE=DB,PA=PB.
∴△PCD的周长为PD+PC+CD=PD+PC+CA+DB=PA+PB=2PA.
∵△PCD的周长为12，
∴2PA=12.
∴PA=6.
(2)
∵∠APB=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.
∴∠ACD+∠CDB=360°−120°=240°.
∵CA,CE都与⊙O相切，
∴∠OCE=∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACD.
同理,∠ODE=$\frac{1}{2}$∠CDB.
∴∠OCE + ∠ODE = $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠CDB)=120°.
∴∠COD=180−120°=60°.
∵CA,CE都与⊙O相切，
∴CA=CE.
同理,DE=DB,PA=PB.
∴△PCD的周长为PD+PC+CD=PD+PC+CA+DB=PA+PB=2PA.
∵△PCD的周长为12，
∴2PA=12.
∴PA=6.
(2)
∵∠APB=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.
∴∠ACD+∠CDB=360°−120°=240°.
∵CA,CE都与⊙O相切，
∴∠OCE=∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACD.
同理,∠ODE=$\frac{1}{2}$∠CDB.
∴∠OCE + ∠ODE = $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠CDB)=120°.
∴∠COD=180−120°=60°.
解析
【分析】
(1) 遇到圆的多条切线问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察△PCD的周长构成：PC+CD+PD，其中CD可拆分为CE+DE，根据切线长定理可得CA=CE、DE=DB、PA=PB，因此可将△PCD的周长转化为PA+PB=2PA，结合已知的周长数值即可求出PA的长度。
(2) 求∠COD的度数时，先利用三角形内角和求出△PCD中除∠APB外两个内角的和，再推导这两个角的邻补角之和；根据切线长定理的推论，圆心与圆外一点的连线平分该点引出两条切线的夹角，可知OC、OD分别平分∠ACD和∠CDB，进而求出△COD中另外两个内角的和，最后利用三角形内角和即可算出∠COD的度数。
【解析】
(1)
∵CA、CE都与$\odot O$相切，
∴CA=CE.
同理，DE=DB，PA=PB.
∴△PCD的周长为$PD+PC+CD=PD+PC+CE+DE=PD+PC+CA+DB=PA+PB=2PA$.
∵△PCD的周长为12，
∴$2PA=12$.
∴$PA=6$.
(2)
∵$∠ APB=60°$，
∴$∠ PCD+∠ PDC=180°-∠ APB=120°$.
∴$∠ ACD+∠ CDB=360°−(∠ PCD+∠ PDC)=360°−120°=240°$.
∵CA、CE都与$\odot O$相切，
∴$∠ OCE=∠ OCA=\frac{1}{2}∠ ACD$.
同理，$∠ ODE=∠ ODB=\frac{1}{2}∠ CDB$.
∴$∠ OCE + ∠ ODE = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CDB)=\frac{1}{2}×240°=120°$.
∴在△COD中，$∠ COD=180°−(∠ OCE + ∠ ODE)=180°−120°=60°$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{PA=6}$
(2) $\boldsymbol{∠ COD=60°}$
【知识点】
1. 切线长定理
2. 三角形内角和定理
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，核心考查切线长定理的灵活运用，解题关键是利用切线长定理实现线段的等量转化、角的等量拆分，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到圆的多条切线问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察△PCD的周长构成：PC+CD+PD，其中CD可拆分为CE+DE，根据切线长定理可得CA=CE、DE=DB、PA=PB，因此可将△PCD的周长转化为PA+PB=2PA，结合已知的周长数值即可求出PA的长度。
(2) 求∠COD的度数时，先利用三角形内角和求出△PCD中除∠APB外两个内角的和，再推导这两个角的邻补角之和；根据切线长定理的推论，圆心与圆外一点的连线平分该点引出两条切线的夹角，可知OC、OD分别平分∠ACD和∠CDB，进而求出△COD中另外两个内角的和，最后利用三角形内角和即可算出∠COD的度数。
【解析】
(1)
∵CA、CE都与$\odot O$相切，
∴CA=CE.
同理，DE=DB，PA=PB.
∴△PCD的周长为$PD+PC+CD=PD+PC+CE+DE=PD+PC+CA+DB=PA+PB=2PA$.
∵△PCD的周长为12，
∴$2PA=12$.
∴$PA=6$.
(2)
∵$∠ APB=60°$，
∴$∠ PCD+∠ PDC=180°-∠ APB=120°$.
∴$∠ ACD+∠ CDB=360°−(∠ PCD+∠ PDC)=360°−120°=240°$.
∵CA、CE都与$\odot O$相切，
∴$∠ OCE=∠ OCA=\frac{1}{2}∠ ACD$.
同理，$∠ ODE=∠ ODB=\frac{1}{2}∠ CDB$.
∴$∠ OCE + ∠ ODE = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ CDB)=\frac{1}{2}×240°=120°$.
∴在△COD中，$∠ COD=180°−(∠ OCE + ∠ ODE)=180°−120°=60°$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{PA=6}$
(2) $\boldsymbol{∠ COD=60°}$
【知识点】
1. 切线长定理
2. 三角形内角和定理
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，核心考查切线长定理的灵活运用，解题关键是利用切线长定理实现线段的等量转化、角的等量拆分，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，PA，PB都与$\odot O$相切，切点分别为A，B，连接AB，AC是$\odot O$的直径.
(1)若$∠ BAC=28°$，求$∠ P$的度数.
(2)若$∠ BAC=30°$，$AC=8$，求$△ ABP$的周长.
(1)若$∠ BAC=28°$，求$∠ P$的度数.
(2)若$∠ BAC=30°$，$AC=8$，求$△ ABP$的周长.
答案
(1)
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA.
∴∠CAP=90°.
∵∠BAC=28°，
∴∠PAB=90°−∠BAC=62°.
∵PA,PB都与⊙O相切,切点分别为A,B，
∴PA=PB.
∴∠PBA=∠PAB=62°.
∴∠P=180°−∠PAB−∠PBA=56°.
(2)如图,连接CB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA=90°.
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°,AC=8.
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=4.
根据勾股定理,得AB = $\sqrt{AC^2−BC^2}$ = $\sqrt{8^2−4^2}=4\sqrt{3}$.
由(1)知,∠CAP=90°.
∵∠BAC=30°，
∴∠PAB=90°−30°=60°.
由(1)知,PA=PB.
∴△PAB是等边三角形.
∴PA=PB=AB=4$\sqrt{3}$.
∴△ABP的周长为$4\sqrt{3}×3=12\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$PA⊥ OA$，即$∠ CAP=90°$，结合已知$∠ BAC$的度数可求出$∠ PAB$的大小；再根据切线长定理可得$PA=PB$，即$△ PAB$为等腰三角形，得到$∠ PBA=∠ PAB$，最后利用三角形内角和为$180°$即可求出$∠ P$的度数。
(2) 解题思路：先连接$BC$，根据“直径所对的圆周角为直角”得到$△ ABC$是直角三角形，结合$∠ BAC=30°$和$AC$的长度，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出$BC$，再用勾股定理求出$AB$的长度；同(1)的思路求出$∠ PAB=60°$，结合$PA=PB$可判定$△ PAB$为等边三角形，得到三边相等，即可求出$△ ABP$的周长。
【解析】
(1)
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴OA⊥PA.
∴$∠ CAP=90°$.
∵$∠ BAC=28°$，
∴$∠ PAB=90°−∠ BAC=62°$.
∵PA,PB都与$\odot O$相切,切点分别为A,B，
∴PA=PB.
∴$∠ PBA=∠ PAB=62°$.
∴$∠ P=180°−∠ PAB−∠ PBA=56°$.
(2)如图,连接CB.
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ CBA=90°$.
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$,$AC=8$.
∴$BC=\frac{1}{2}AC=4$.
根据勾股定理,得$AB = \sqrt{AC^2−BC^2} = \sqrt{8^2−4^2}=4\sqrt{3}$.
由(1)知,$∠ CAP=90°$.
∵$∠ BAC=30°$，
∴$∠ PAB=90°−30°=60°$.
由(1)知,PA=PB.
∴$△ PAB$是等边三角形.
∴PA=PB=AB=$4\sqrt{3}$.
∴$△ ABP$的周长为$4\sqrt{3}×3=12\sqrt{3}$.
【答案】
(1) $∠ P=56°$
(2) $△ ABP$的周长为$12\sqrt{3}$，辅助线：
【知识点】
切线的性质，切线长定理，圆周角定理推论
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查了切线相关定理和特殊三角形的性质应用，解题时要注意结合已知条件构造直角三角形，利用切线长定理得到等腰三角形是解题的突破口，能够很好地考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$PA⊥ OA$，即$∠ CAP=90°$，结合已知$∠ BAC$的度数可求出$∠ PAB$的大小；再根据切线长定理可得$PA=PB$，即$△ PAB$为等腰三角形，得到$∠ PBA=∠ PAB$，最后利用三角形内角和为$180°$即可求出$∠ P$的度数。
(2) 解题思路：先连接$BC$，根据“直径所对的圆周角为直角”得到$△ ABC$是直角三角形，结合$∠ BAC=30°$和$AC$的长度，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出$BC$，再用勾股定理求出$AB$的长度；同(1)的思路求出$∠ PAB=60°$，结合$PA=PB$可判定$△ PAB$为等边三角形，得到三边相等，即可求出$△ ABP$的周长。
【解析】
(1)
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴OA⊥PA.
∴$∠ CAP=90°$.
∵$∠ BAC=28°$，
∴$∠ PAB=90°−∠ BAC=62°$.
∵PA,PB都与$\odot O$相切,切点分别为A,B，
∴PA=PB.
∴$∠ PBA=∠ PAB=62°$.
∴$∠ P=180°−∠ PAB−∠ PBA=56°$.
(2)如图,连接CB.
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ CBA=90°$.
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$,$AC=8$.
∴$BC=\frac{1}{2}AC=4$.
根据勾股定理,得$AB = \sqrt{AC^2−BC^2} = \sqrt{8^2−4^2}=4\sqrt{3}$.
由(1)知,$∠ CAP=90°$.
∵$∠ BAC=30°$，
∴$∠ PAB=90°−30°=60°$.
由(1)知,PA=PB.
∴$△ PAB$是等边三角形.
∴PA=PB=AB=$4\sqrt{3}$.
∴$△ ABP$的周长为$4\sqrt{3}×3=12\sqrt{3}$.
【答案】
(1) $∠ P=56°$
(2) $△ ABP$的周长为$12\sqrt{3}$，辅助线：
【知识点】
切线的性质，切线长定理，圆周角定理推论
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查了切线相关定理和特殊三角形的性质应用，解题时要注意结合已知条件构造直角三角形，利用切线长定理得到等腰三角形是解题的突破口，能够很好地考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
