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1.如图，PA，PB都与$\odot O$相切，切点分别为A，B，连接OP，OA。若$∠ APO=30°$，OA=2，则BP的长为（
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
C
）A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，可得OA垂直于PA，即△OAP是直角三角形；已知Rt△OAP中∠APO=30°、OA=2，可利用直角三角形的性质和勾股定理求出PA的长度；最后根据切线长定理，PA和PB是点P引圆的两条切线，长度相等，即可得到BP的长。
【解析】
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，$OA=2$，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$OP=2OA=4$，
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
又
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，切点分别为A、B，
根据切线长定理可得：$PB=PA=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考察切线相关性质与直角三角形边长计算的结合，只要熟练掌握切线的性质、切线长定理，结合直角三角形的计算方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，可得OA垂直于PA，即△OAP是直角三角形；已知Rt△OAP中∠APO=30°、OA=2，可利用直角三角形的性质和勾股定理求出PA的长度；最后根据切线长定理，PA和PB是点P引圆的两条切线，长度相等，即可得到BP的长。
【解析】
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，$OA=2$，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$OP=2OA=4$，
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
又
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，切点分别为A、B，
根据切线长定理可得：$PB=PA=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考察切线相关性质与直角三角形边长计算的结合，只要熟练掌握切线的性质、切线长定理，结合直角三角形的计算方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2.如图，AB，AC，BD都与$\odot O$相切，P，C，D为切点.若$AB=7$，$AC=4$，则BD的长为
3
.答案
3
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，点A向⊙O引了两条切线AC、AP，点B向⊙O引了两条切线BP、BD，可先利用切线长定理得到AC=AP、BD=BP，再结合已知线段长度，通过线段和差关系求出BP的长度，即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵AC、AP都是⊙O的切线，C、P为切点，
根据切线长定理可得：$AC=AP=4$，
同理，BP、BD都是⊙O的切线，P、D为切点，
∴$BP=BD$，
又
∵$AB=7$，
∴$BP=AB-AP=7-4=3$，
∴$BD=BP=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理，线段和差计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是找准同一点引出的两条切线，利用切线长相等完成线段的等量代换，计算过程简单，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，点A向⊙O引了两条切线AC、AP，点B向⊙O引了两条切线BP、BD，可先利用切线长定理得到AC=AP、BD=BP，再结合已知线段长度，通过线段和差关系求出BP的长度，即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵AC、AP都是⊙O的切线，C、P为切点，
根据切线长定理可得：$AC=AP=4$，
同理，BP、BD都是⊙O的切线，P、D为切点，
∴$BP=BD$，
又
∵$AB=7$，
∴$BP=AB-AP=7-4=3$，
∴$BD=BP=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理，线段和差计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是找准同一点引出的两条切线，利用切线长相等完成线段的等量代换，计算过程简单，容易掌握。
【难度系数】
0.8
1. 如图，PA，PB都与$\odot O$相切，切点分别为A，B。如果$∠ P=60°$，$PA=8$，那么弦AB的长是（
A.4
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
B
）A.4
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察到PA、PB是圆的两条切线，优先回忆切线长定理，可得PA=PB，因此△PAB是等腰三角形；再结合已知条件∠P=60°，根据等边三角形的判定定理，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可得到△PAB三边相等，因此AB的长度等于PA的长度，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$
又
∵$∠ P=60°$
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴$AB=PA$
∵$PA=8$
∴$AB=8$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用切线长定理得到两条切线段长度相等，再结合特殊角度判定三角形为等边三角形，进而求出线段长度，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到PA、PB是圆的两条切线，优先回忆切线长定理，可得PA=PB，因此△PAB是等腰三角形；再结合已知条件∠P=60°，根据等边三角形的判定定理，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可得到△PAB三边相等，因此AB的长度等于PA的长度，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$
又
∵$∠ P=60°$
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴$AB=PA$
∵$PA=8$
∴$AB=8$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用切线长定理得到两条切线段长度相等，再结合特殊角度判定三角形为等边三角形，进而求出线段长度，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.如图，PA，PB都与$\odot O$相切，切点分别为A，B，AC是$\odot O$的直径，连接AB，BC.若$∠ P=54°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$36°$
B.$27°$
C.$63°$
D.$54°$
B
）A.$36°$
B.$27°$
C.$63°$
D.$54°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：PA、PB是$\odot O$的两条切线，首先联想到切线长定理可得$PA=PB$，即$△ PAB$为等腰三角形，已知顶角$∠ P$的度数，可先求出底角$∠ PAB$的度数；再结合切线的性质：切线垂直于过切点的半径，AC是直径，可得$PA⊥ AC$，即$∠ PAC=90°$，最后用$∠ PAC$减去$∠ PAB$即可求出$∠ BAC$的度数。也可通过四边形内角和求圆心角，结合圆周角定理求解，两种方法均可。
【解析】
解：$\because PA、PB$均为$\odot O$的切线，切点分别为A、B，
$\therefore$根据切线长定理可得$PA=PB$，
$\therefore △ PAB$是等腰三角形，$∠ PAB=∠ PBA$。
$\because ∠ P=54°$，
$\therefore ∠ PAB=(180°-∠ P)÷2=(180°-54°)÷2=63°$。
又$\because PA$是$\odot O$的切线，AC为$\odot O$的直径，
$\therefore$根据切线的性质，$PA⊥ OA$，即$∠ PAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ PAC-∠ PAB=90°-63°=27°$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；切线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题型，重点考查切线相关定理的应用，解题的关键是熟练掌握切线长定理和切线的性质，结合等腰三角形的内角和计算角度，属于高频考点题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：PA、PB是$\odot O$的两条切线，首先联想到切线长定理可得$PA=PB$，即$△ PAB$为等腰三角形，已知顶角$∠ P$的度数，可先求出底角$∠ PAB$的度数；再结合切线的性质：切线垂直于过切点的半径，AC是直径，可得$PA⊥ AC$，即$∠ PAC=90°$，最后用$∠ PAC$减去$∠ PAB$即可求出$∠ BAC$的度数。也可通过四边形内角和求圆心角，结合圆周角定理求解，两种方法均可。
【解析】
解：$\because PA、PB$均为$\odot O$的切线，切点分别为A、B，
$\therefore$根据切线长定理可得$PA=PB$，
$\therefore △ PAB$是等腰三角形，$∠ PAB=∠ PBA$。
$\because ∠ P=54°$，
$\therefore ∠ PAB=(180°-∠ P)÷2=(180°-54°)÷2=63°$。
又$\because PA$是$\odot O$的切线，AC为$\odot O$的直径，
$\therefore$根据切线的性质，$PA⊥ OA$，即$∠ PAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ PAC-∠ PAB=90°-63°=27°$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；切线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题型，重点考查切线相关定理的应用，解题的关键是熟练掌握切线长定理和切线的性质，结合等腰三角形的内角和计算角度，属于高频考点题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AC是$\odot O$的直径，PB，PC都与$\odot O$相切，切点分别为B，C.若$∠ P=60°$，$AC=8$，则AB的长为 （
A.4
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.2
（第3题图）
（第4题图）
A
）A.4
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.2
（第3题图）
（第4题图）
答案
A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关定理：首先根据切线的性质可得PC垂直于AC，再由切线长定理得PB=PC，结合∠P=60°可判断△PBC为等边三角形，进而求出∠ACB的度数；再利用直径所对圆周角为直角，得到Rt△ABC，最后根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接BC，
∵PB、PC均为$\odot O$的切线，
∴根据切线长定理可得$PB=PC$，且$PC⊥ AC$（切线垂直于过切点的半径），即$∠ ACP=90°$，
又
∵$∠ P=60°$，
∴$△ PBC$是等边三角形，
∴$∠ BCP=60°$，
∴$∠ ACB=∠ ACP - ∠ BCP = 90° - 60° = 30°$，
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=30°$，$AC=8$，
∴$AB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线BC，结合切线相关性质推导出$∠ ACB$的度数，再利用直角三角形的性质计算，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件联想相关定理：首先根据切线的性质可得PC垂直于AC，再由切线长定理得PB=PC，结合∠P=60°可判断△PBC为等边三角形，进而求出∠ACB的度数；再利用直径所对圆周角为直角，得到Rt△ABC，最后根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接BC，
∵PB、PC均为$\odot O$的切线，
∴根据切线长定理可得$PB=PC$，且$PC⊥ AC$（切线垂直于过切点的半径），即$∠ ACP=90°$，
又
∵$∠ P=60°$，
∴$△ PBC$是等边三角形，
∴$∠ BCP=60°$，
∴$∠ ACB=∠ ACP - ∠ BCP = 90° - 60° = 30°$，
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=30°$，$AC=8$，
∴$AB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线BC，结合切线相关性质推导出$∠ ACB$的度数，再利用直角三角形的性质计算，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与CD相切于点E.若AD=1,BC=2,则CD的长为
3
.答案
3
解析
【分析】
解题时先结合已知条件判定AD、BC与⊙O的位置关系：AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，可得BC⊥AB，即BC是⊙O的切线；由AD//BC可推出∠BAD=90°，即AD⊥AB，因此AD也是⊙O的切线。再结合CD与⊙O相切于E的条件，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，即可得到AD=DE、BC=CE，因此CD的长度为AD与BC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，即BC是⊙O的切线，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，即AD⊥AB，
∴AD是⊙O的切线，
又
∵CD与⊙O相切于点E，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴AD=DE=1，BC=CE=2，
∴CD=DE+CE=1+2=3。
【答案】
3
【知识点】
切线的判定；切线长定理
【点评】
本题的解题关键是先判断出AD、BC均为圆的切线，再利用切线长定理将线段CD拆分为两条已知线段的和，避免了复杂的计算，属于对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件判定AD、BC与⊙O的位置关系：AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，可得BC⊥AB，即BC是⊙O的切线；由AD//BC可推出∠BAD=90°，即AD⊥AB，因此AD也是⊙O的切线。再结合CD与⊙O相切于E的条件，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，即可得到AD=DE、BC=CE，因此CD的长度为AD与BC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，即BC是⊙O的切线，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，即AD⊥AB，
∴AD是⊙O的切线，
又
∵CD与⊙O相切于点E，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴AD=DE=1，BC=CE=2，
∴CD=DE+CE=1+2=3。
【答案】
3
【知识点】
切线的判定；切线长定理
【点评】
本题的解题关键是先判断出AD、BC均为圆的切线，再利用切线长定理将线段CD拆分为两条已知线段的和，避免了复杂的计算，属于对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.7
5.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$外一点，CB，CD分别与$\odot O$相切于点B，D，E是圆周上任意一点，连接AE，DE，AD。若$∠ C=70°$，则$∠ AED$的度数为
35°
。答案
35°
解析
【分析】
要求∠AED的度数，需先找到它所对弧对应的圆心角，再利用圆周角定理求解。首先结合切线性质，连接OD，得到两个直角；再通过四边形内角和求出∠BOD的度数；结合AB是直径求出弧AD对应的圆心角∠AOD；最后根据圆周角定理即可算出∠AED的度数。
【解析】
解：连接OD。
∵ CB、CD分别与⊙O相切于点B、D，
∴ OB⊥CB，OD⊥CD，即∠OBC=∠ODC=90°。
∵ 四边形OBCD的内角和为360°，∠C=70°，
∴ ∠BOD=360°-∠OBC-∠ODC-∠C=360°-90°-90°-70°=110°。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-110°=70°。
∵ ∠AED是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线OD，将已知的切线条件和待求的圆周角通过圆心角建立关联，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要求∠AED的度数，需先找到它所对弧对应的圆心角，再利用圆周角定理求解。首先结合切线性质，连接OD，得到两个直角；再通过四边形内角和求出∠BOD的度数；结合AB是直径求出弧AD对应的圆心角∠AOD；最后根据圆周角定理即可算出∠AED的度数。
【解析】
解：连接OD。
∵ CB、CD分别与⊙O相切于点B、D，
∴ OB⊥CB，OD⊥CD，即∠OBC=∠ODC=90°。
∵ 四边形OBCD的内角和为360°，∠C=70°，
∴ ∠BOD=360°-∠OBC-∠ODC-∠C=360°-90°-90°-70°=110°。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-110°=70°。
∵ ∠AED是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线OD，将已知的切线条件和待求的圆周角通过圆心角建立关联，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
