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1.某场比赛中每两支球队之间比赛1场.若x支球队共进行了21场比赛,则可列方程为（
A.$x(x-2)=42$
B.$\dfrac{x(x+1)}{2}=21$
C.$x^2 -x=21$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}=21$
D
）A.$x(x-2)=42$
B.$\dfrac{x(x+1)}{2}=21$
C.$x^2 -x=21$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}=21$
答案
1.D
解析
【分析】
这是单循环比赛的实际应用问题，解题时需注意避免重复计数：首先，每支球队要和除自身外的其他$(x-1)$支球队各赛1场，若直接用球队数乘每支球队的比赛场数，每场比赛会被参赛的两支球队各统计1次，存在重复计算，因此需要除以2得到实际总场次，再结合已知总场次为21场，即可列出对应方程，匹配选项即可。
【解析】
本题为单循环赛制，每两支球队仅比赛1场：
1. 每支球队需和剩余$(x-1)$支球队比赛，不考虑重复时，总场次为$x(x-1)$场；
2. 每场比赛被重复计算了2次，因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知总场次为21场，因此可列方程为$\frac{x(x-1)}{2}=21$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单循环比赛计数、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题考查计数类实际问题的数量关系，解题核心是理解单循环赛制下重复计数的特点，只要掌握“总场次=球队数×(球队数-1)÷2”的核心公式，即可快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
这是单循环比赛的实际应用问题，解题时需注意避免重复计数：首先，每支球队要和除自身外的其他$(x-1)$支球队各赛1场，若直接用球队数乘每支球队的比赛场数，每场比赛会被参赛的两支球队各统计1次，存在重复计算，因此需要除以2得到实际总场次，再结合已知总场次为21场，即可列出对应方程，匹配选项即可。
【解析】
本题为单循环赛制，每两支球队仅比赛1场：
1. 每支球队需和剩余$(x-1)$支球队比赛，不考虑重复时，总场次为$x(x-1)$场；
2. 每场比赛被重复计算了2次，因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知总场次为21场，因此可列方程为$\frac{x(x-1)}{2}=21$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单循环比赛计数、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题考查计数类实际问题的数量关系，解题核心是理解单循环赛制下重复计数的特点，只要掌握“总场次=球队数×(球队数-1)÷2”的核心公式，即可快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
2. 在一次新年聚会中,小朋友们互相赠送礼物,全部小朋友共互赠了110件礼物.若参加聚会的小朋友的人数为$x$,则根据题意可列方程为 （
A.$x(x-1)=110$
B.$\dfrac{x}{2}(x-1)=110$
C.$1+x+x^2=110$
D.$x(\dfrac{x}{2}-1)=110$
A
）A.$x(x-1)=110$
B.$\dfrac{x}{2}(x-1)=110$
C.$1+x+x^2=110$
D.$x(\dfrac{x}{2}-1)=110$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要明确互赠礼物属于双循环问题：每个小朋友都需要给除自己外的其他所有小朋友赠送礼物，即1个小朋友送出$(x-1)$件礼物，总共有$x$个小朋友，总礼物数就是所有小朋友送出礼物的总和，不需要除以2，以此思路即可列出正确方程。要注意和单循环问题（如握手、单循环比赛等，每两人之间仅产生1次记录，总次数需要除以2）做好区分。
【解析】
设参加聚会的小朋友人数为$x$。
∵ 每个小朋友需要给除自己之外的$(x-1)$个小朋友各赠送1件礼物，
∴ 每个小朋友送出$(x-1)$件礼物，$x$个小朋友总共送出的礼物数为$x(x-1)$件。
已知全部小朋友共互赠了110件礼物，因此可列方程：$x(x-1)=110$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
双循环问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆双循环和单循环模型，解题核心是判断事件是否需要双向计数：互赠礼物是双向的，你送给我和我送给你是两件不同的礼物，属于双循环，无需除以2；若为握手、单循环比赛等单向计数事件，总次数需除以2。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确互赠礼物属于双循环问题：每个小朋友都需要给除自己外的其他所有小朋友赠送礼物，即1个小朋友送出$(x-1)$件礼物，总共有$x$个小朋友，总礼物数就是所有小朋友送出礼物的总和，不需要除以2，以此思路即可列出正确方程。要注意和单循环问题（如握手、单循环比赛等，每两人之间仅产生1次记录，总次数需要除以2）做好区分。
【解析】
设参加聚会的小朋友人数为$x$。
∵ 每个小朋友需要给除自己之外的$(x-1)$个小朋友各赠送1件礼物，
∴ 每个小朋友送出$(x-1)$件礼物，$x$个小朋友总共送出的礼物数为$x(x-1)$件。
已知全部小朋友共互赠了110件礼物，因此可列方程：$x(x-1)=110$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
双循环问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆双循环和单循环模型，解题核心是判断事件是否需要双向计数：互赠礼物是双向的，你送给我和我送给你是两件不同的礼物，属于双循环，无需除以2；若为握手、单循环比赛等单向计数事件，总次数需除以2。
【难度系数】
0.7
3.某地有若干个加油站，每两个加油站之间都有1条公路，一共有36条公路，则该地共有
9
个加油站.答案
3.9
解析
【分析】
本题属于单循环类实际应用题，解题思路如下：首先明确“每两个加油站之间都有1条公路”的计数规则：若有x个加油站，每个加油站会和其余(x-1)个加油站各连1条公路，此时每条公路会被重复计算2次，因此总公路数为$\frac{x(x-1)}{2}$。接下来我们可以根据总公路数为36的条件列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
设该地共有$x$个加油站。
根据单循环计数规则，总公路数满足方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=36$
整理得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=-8$。
因为加油站个数不能为负数，故舍去$x=-8$，即$x=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环问题
【点评】
本题是典型的单循环计数类应用题，解题核心是正确理解题意、建立合适的方程模型，求解后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
本题属于单循环类实际应用题，解题思路如下：首先明确“每两个加油站之间都有1条公路”的计数规则：若有x个加油站，每个加油站会和其余(x-1)个加油站各连1条公路，此时每条公路会被重复计算2次，因此总公路数为$\frac{x(x-1)}{2}$。接下来我们可以根据总公路数为36的条件列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
设该地共有$x$个加油站。
根据单循环计数规则，总公路数满足方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=36$
整理得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=-8$。
因为加油站个数不能为负数，故舍去$x=-8$，即$x=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环问题
【点评】
本题是典型的单循环计数类应用题，解题核心是正确理解题意、建立合适的方程模型，求解后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
4. 在某次冰壶比赛中，有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，则参加比赛的队伍有
8
支。答案
4.8
解析
【分析】
解题前首先明确双循环比赛的场次计算规则：若有x支队伍参赛，双循环赛制下每两支队伍之间要进行2场比赛，因此总比赛场次为x(x-1)场。本题已知总场次为56场，我们可以通过设未知数列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到队伍数量。
【解析】
设参加比赛的队伍共有$ x $支。
根据双循环赛制的总场次计算公式，可列方程：
$ x(x-1) = 56 $
整理得一元二次方程：
$ x^2 - x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x-8)(x+7) = 0 $
解得：$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -7 $
由于队伍数量不能为负数，故舍去$ x=-7 $，因此参赛队伍有8支。
【答案】
8
【知识点】
1. 双循环赛制计算
2. 一元二次方程的应用
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题结合体育比赛场景考查方程的实际应用，解题核心是准确掌握双循环赛制的场次计算逻辑，同时要注意对求解出的根结合实际意义进行取舍，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确双循环比赛的场次计算规则：若有x支队伍参赛，双循环赛制下每两支队伍之间要进行2场比赛，因此总比赛场次为x(x-1)场。本题已知总场次为56场，我们可以通过设未知数列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到队伍数量。
【解析】
设参加比赛的队伍共有$ x $支。
根据双循环赛制的总场次计算公式，可列方程：
$ x(x-1) = 56 $
整理得一元二次方程：
$ x^2 - x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x-8)(x+7) = 0 $
解得：$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -7 $
由于队伍数量不能为负数，故舍去$ x=-7 $，因此参赛队伍有8支。
【答案】
8
【知识点】
1. 双循环赛制计算
2. 一元二次方程的应用
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题结合体育比赛场景考查方程的实际应用，解题核心是准确掌握双循环赛制的场次计算逻辑，同时要注意对求解出的根结合实际意义进行取舍，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.8
5.某校要组织一次排球邀请赛，赛制为双循环形式，赛程计划安排3天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
答案
5.【解】设组织者应邀请x支球队参赛.
根据题意,得 $x(x-1)=3×4$.
解得 $x_1=4,x_2=-3$(不合题意,舍去).
因此,组织者应邀请4支球队参赛.
根据题意,得 $x(x-1)=3×4$.
解得 $x_1=4,x_2=-3$(不合题意,舍去).
因此,组织者应邀请4支球队参赛.
解析
【分析】
解题时首先计算本次比赛的总场次：赛程3天，每天4场，总场次为$3×4=12$场。其次明确双循环赛制的规则：每两支参赛队伍之间都要进行2场比赛，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，总比赛场次为$x(x-1)$场。接下来根据总场次相等建立一元二次方程，解方程后结合参赛队伍数为正整数的实际要求舍去不合题意的根，即可得到参赛队伍数量。
【解析】
解：设组织者应邀请x支球队参赛。
双循环赛制下总比赛场次为$x(x-1)$场，根据题意总比赛场次为$3×4=12$场，列方程得：
$x(x-1)=3×4$
整理得$x^2 -x -12=0$
因式分解得$(x-4)(x+3)=0$
解得 $x_1=4,x_2=-3$
球队数量不能为负数，故$x=-3$不合题意，舍去。
因此，组织者应邀请4支球队参赛。
【答案】
组织者应邀请4支球队参赛。
【知识点】
一元二次方程的应用；双循环赛制计算
【点评】
本题是比赛场次类实际应用题，解题核心是准确区分双循环和单循环的场次计算规则，根据总场次的等量关系列方程求解，注意解出方程后要结合实际意义对根进行取舍，是该类题型的基础考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先计算本次比赛的总场次：赛程3天，每天4场，总场次为$3×4=12$场。其次明确双循环赛制的规则：每两支参赛队伍之间都要进行2场比赛，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，总比赛场次为$x(x-1)$场。接下来根据总场次相等建立一元二次方程，解方程后结合参赛队伍数为正整数的实际要求舍去不合题意的根，即可得到参赛队伍数量。
【解析】
解：设组织者应邀请x支球队参赛。
双循环赛制下总比赛场次为$x(x-1)$场，根据题意总比赛场次为$3×4=12$场，列方程得：
$x(x-1)=3×4$
整理得$x^2 -x -12=0$
因式分解得$(x-4)(x+3)=0$
解得 $x_1=4,x_2=-3$
球队数量不能为负数，故$x=-3$不合题意，舍去。
因此，组织者应邀请4支球队参赛。
【答案】
组织者应邀请4支球队参赛。
【知识点】
一元二次方程的应用；双循环赛制计算
【点评】
本题是比赛场次类实际应用题，解题核心是准确区分双循环和单循环的场次计算规则，根据总场次的等量关系列方程求解，注意解出方程后要结合实际意义对根进行取舍，是该类题型的基础考查题。
【难度系数】
0.8
6.若一个凸多边形共有20条对角线，则这个多边形为（
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
C
）A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
答案
6.C
解析
【分析】
要解决已知对角线数量求多边形边数的问题，首先需回忆凸n边形对角线总条数的计算原理：n边形共有n个顶点，每个顶点无法与自身及相邻的2个顶点连接形成对角线，因此每个顶点可连(n-3)条对角线，所有顶点共连n(n-3)条，又因为每条对角线被2个顶点各计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。我们可以根据这个公式列一元二次方程，求解正整数解即可得到多边形边数。
【解析】
设这个凸多边形的边数为$n$（$n$为大于等于3的正整数），根据凸多边形对角线条数公式可得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
去分母得：$n(n-3)=40$
整理为一元二次方程一般形式：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形边数不能为负数，故舍去$n=-5$，即该多边形为八边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用
【点评】
本题考查多边形对角线相关计算，解题的关键是牢记对角线计算公式，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
要解决已知对角线数量求多边形边数的问题，首先需回忆凸n边形对角线总条数的计算原理：n边形共有n个顶点，每个顶点无法与自身及相邻的2个顶点连接形成对角线，因此每个顶点可连(n-3)条对角线，所有顶点共连n(n-3)条，又因为每条对角线被2个顶点各计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。我们可以根据这个公式列一元二次方程，求解正整数解即可得到多边形边数。
【解析】
设这个凸多边形的边数为$n$（$n$为大于等于3的正整数），根据凸多边形对角线条数公式可得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
去分母得：$n(n-3)=40$
整理为一元二次方程一般形式：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形边数不能为负数，故舍去$n=-5$，即该多边形为八边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用
【点评】
本题考查多边形对角线相关计算，解题的关键是牢记对角线计算公式，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
7.一列火车在A市与B市之间往返，沿途有多个火车停靠站（包括首发站与终点站），相关部门针对这列火车的运行路线推出了72种不同行程的火车票，则一共有
9
个火车停靠站.答案
7.9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确火车票是有方向的，往返于两个站点的车票属于不同的行程，因此这是双循环计数问题。我们可以设共有x个停靠站，每个站点都能前往其余(x-1)个站点，因此总的车票种类数为x与(x-1)的乘积，结合题目给出的72种车票列方程求解即可，最后注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设一共有$ x $个火车停靠站。
由于不同站点间往返的车票为不同种类，因此总的车票种类数为$ x(x-1) $，根据题意可列方程：
$x(x-1)=72$
整理得：
$x^2 - x -72=0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得$ x_1=9 $，$ x_2=-8 $。
因为停靠站的数量为正整数，所以舍去$ x=-8 $，即共有9个停靠站。
【答案】
9
【知识点】
1. 双循环计数问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题核心是区分单循环和双循环的计数规律，解题关键是明确火车票存在往返方向差异，属于双循环问题，求解方程后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确火车票是有方向的，往返于两个站点的车票属于不同的行程，因此这是双循环计数问题。我们可以设共有x个停靠站，每个站点都能前往其余(x-1)个站点，因此总的车票种类数为x与(x-1)的乘积，结合题目给出的72种车票列方程求解即可，最后注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设一共有$ x $个火车停靠站。
由于不同站点间往返的车票为不同种类，因此总的车票种类数为$ x(x-1) $，根据题意可列方程：
$x(x-1)=72$
整理得：
$x^2 - x -72=0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得$ x_1=9 $，$ x_2=-8 $。
因为停靠站的数量为正整数，所以舍去$ x=-8 $，即共有9个停靠站。
【答案】
9
【知识点】
1. 双循环计数问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题核心是区分单循环和双循环的计数规律，解题关键是明确火车票存在往返方向差异，属于双循环问题，求解方程后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
8.有若干支球队参加校级篮球比赛，比赛赛制为单循环形式，且每场比赛都要分出胜负，一共进行了15场比赛。比赛规定每队胜1场得2分，负一场得1分，甲队一共得8分。这次校级篮球比赛一共有多少支球队参加？甲队胜了多少场比赛？
答案
8.【解】设这次校级篮球比赛一共有x支球队参加.
根据题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=15$.
解得 $x_1=6,x_2=-5$(不合题意,舍去).
因此,这次校级篮球比赛一共有6支球队参加.
设甲队胜了y场比赛.
根据题意,得 $2y+(6-1-y)=8$.
解得 $y=3$.
因此,甲队胜了3场比赛.
根据题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=15$.
解得 $x_1=6,x_2=-5$(不合题意,舍去).
因此,这次校级篮球比赛一共有6支球队参加.
设甲队胜了y场比赛.
根据题意,得 $2y+(6-1-y)=8$.
解得 $y=3$.
因此,甲队胜了3场比赛.
解析
【分析】
解题分两步思考：①求参赛球队数量：首先明确单循环赛制的规则，即每2支球队之间仅赛1场。若有x支球队，每队要和其余(x-1)支球队各赛1场，此时统计的场次每场都被重复计算了2次，因此总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合总场次为15的条件，即可列一元二次方程求解，注意球队数量为正整数，需舍去不符合实际意义的负根。②求甲队胜场数：已知球队总数后，可得出甲队的总比赛场数为(球队数-1)，设胜场为y场，则负场为(总比赛场数-y)，结合“胜场得分+负场得分=总得分8分”的等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这次校级篮球比赛一共有$x$支球队参加。
根据单循环总场次的计算规则，列方程得：
$\frac{x(x-1)}{2}=15$
整理得$x^2-x-30=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
球队数量不能为负数，因此舍去$x_2=-5$，即共有6支球队参加比赛。
设甲队胜了$y$场比赛，每支球队共需要比赛$6-1=5$场，因此甲队负了$(5-y)$场，根据得分规则列方程得：
$2y+(5-y)=8$
解得$y=3$，即甲队胜了3场比赛。
【答案】
这次校级篮球比赛一共有6支球队参加，甲队胜了3场比赛。
【知识点】
单循环问题、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合篮球比赛场景出题，贴近生活实际，解题关键是准确理解单循环赛制的场次计算逻辑，找准题目中的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：①求参赛球队数量：首先明确单循环赛制的规则，即每2支球队之间仅赛1场。若有x支球队，每队要和其余(x-1)支球队各赛1场，此时统计的场次每场都被重复计算了2次，因此总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合总场次为15的条件，即可列一元二次方程求解，注意球队数量为正整数，需舍去不符合实际意义的负根。②求甲队胜场数：已知球队总数后，可得出甲队的总比赛场数为(球队数-1)，设胜场为y场，则负场为(总比赛场数-y)，结合“胜场得分+负场得分=总得分8分”的等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这次校级篮球比赛一共有$x$支球队参加。
根据单循环总场次的计算规则，列方程得：
$\frac{x(x-1)}{2}=15$
整理得$x^2-x-30=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
球队数量不能为负数，因此舍去$x_2=-5$，即共有6支球队参加比赛。
设甲队胜了$y$场比赛，每支球队共需要比赛$6-1=5$场，因此甲队负了$(5-y)$场，根据得分规则列方程得：
$2y+(5-y)=8$
解得$y=3$，即甲队胜了3场比赛。
【答案】
这次校级篮球比赛一共有6支球队参加，甲队胜了3场比赛。
【知识点】
单循环问题、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合篮球比赛场景出题，贴近生活实际，解题关键是准确理解单循环赛制的场次计算逻辑，找准题目中的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
