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9.某校九年级举办了一场乒乓球比赛,赛制为单循环形式.乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话.
乐乐:本次比赛一共进行了40场.
淇淇:你说的不正确,按照这个赛制,不应该是40场.
设有x人参加比赛.
(1)根据题意并结合乐乐所说的话列出的方程应该是
(2)乐乐补充道:本次比赛的确一共进行了40场,因为在比赛过程中遇到了特殊情况,有1人身体不适中途退赛了,他只参加了4场比赛.请根据乐乐的说法求出x的值.
乐乐:本次比赛一共进行了40场.
淇淇:你说的不正确,按照这个赛制,不应该是40场.
设有x人参加比赛.
(1)根据题意并结合乐乐所说的话列出的方程应该是
$\frac{1}{2}x(x-1)=40$
,请利用此方程分析淇淇说的是否正确.(2)乐乐补充道:本次比赛的确一共进行了40场,因为在比赛过程中遇到了特殊情况,有1人身体不适中途退赛了,他只参加了4场比赛.请根据乐乐的说法求出x的值.
答案
9.【解】(1)$\frac{1}{2}x(x-1)=40$
解方程$\frac{1}{2}x(x-1)=40$,
得 $x_1=\frac{1+\sqrt{321}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{321}}{2}$.
∵方程的解不符合实际,
∴按照这个赛制,不应该是40场.
故淇淇的说法正确.
(2)根据题意,得$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$.
解得 $x_1=10,x_2=-7$(不合题意,舍去).
∴x的值为10.
解方程$\frac{1}{2}x(x-1)=40$,
得 $x_1=\frac{1+\sqrt{321}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{321}}{2}$.
∵方程的解不符合实际,
∴按照这个赛制,不应该是40场.
故淇淇的说法正确.
(2)根据题意,得$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$.
解得 $x_1=10,x_2=-7$(不合题意,舍去).
∴x的值为10.
解析
【分析】
(1) 首先明确单循环赛制的总场数计算逻辑：x人参赛时，每人需和其余(x-1)人各赛1场，每场比赛会被重复计算2次，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合乐乐所说的总场数40场即可列出方程；接下来求解方程，由于参赛人数必须是正整数，若方程的解不符合这一实际要求，就能判断乐乐说法错误，淇淇说法正确。
(2) 1人中途退赛且仅参加4场比赛时，剩余(x-1)人之间的单循环比赛场数为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，加上退赛人员已参加的4场刚好等于总场数40，据此列方程求解后，舍去不符合实际意义的负根即可得到x的值。
【解析】
(1) 根据单循环总场数公式列方程得：$\frac{1}{2}x(x-1)=40$
解方程：
整理得$x^2-x-80=0$，由求根公式可得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{1+320}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$
即$x_1=\frac{1+\sqrt{321}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{321}}{2}$
∵参赛人数x必须为正整数，上述两个解均不符合实际意义
∴乐乐的说法不正确，淇淇的说法正确。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$
整理得$(x-1)(x-2)=72$，展开后为$x^2-3x-70=0$
因式分解得$(x-10)(x+7)=0$
解得$x_1=10,x_2=-7$
∵参赛人数不能为负数，舍去$x=-7$
∴x的值为10。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x(x-1)=40$，淇淇的说法正确；
(2) $x=10$
【知识点】
单循环赛制计数，一元二次方程的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际比赛场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确掌握单循环赛制的场数计算规则，同时要注意结合实际意义检验方程解的合理性，第二问需要灵活分析中途退赛场景下的总场数构成，不要盲目套用固定公式。
【难度系数】
0.65
(1) 首先明确单循环赛制的总场数计算逻辑：x人参赛时，每人需和其余(x-1)人各赛1场，每场比赛会被重复计算2次，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合乐乐所说的总场数40场即可列出方程；接下来求解方程，由于参赛人数必须是正整数，若方程的解不符合这一实际要求，就能判断乐乐说法错误，淇淇说法正确。
(2) 1人中途退赛且仅参加4场比赛时，剩余(x-1)人之间的单循环比赛场数为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，加上退赛人员已参加的4场刚好等于总场数40，据此列方程求解后，舍去不符合实际意义的负根即可得到x的值。
【解析】
(1) 根据单循环总场数公式列方程得：$\frac{1}{2}x(x-1)=40$
解方程：
整理得$x^2-x-80=0$，由求根公式可得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{1+320}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$
即$x_1=\frac{1+\sqrt{321}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{321}}{2}$
∵参赛人数x必须为正整数，上述两个解均不符合实际意义
∴乐乐的说法不正确，淇淇的说法正确。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$
整理得$(x-1)(x-2)=72$，展开后为$x^2-3x-70=0$
因式分解得$(x-10)(x+7)=0$
解得$x_1=10,x_2=-7$
∵参赛人数不能为负数，舍去$x=-7$
∴x的值为10。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x(x-1)=40$，淇淇的说法正确；
(2) $x=10$
【知识点】
单循环赛制计数，一元二次方程的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际比赛场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确掌握单循环赛制的场数计算规则，同时要注意结合实际意义检验方程解的合理性，第二问需要灵活分析中途退赛场景下的总场数构成，不要盲目套用固定公式。
【难度系数】
0.65
10.综合与探究.
【问题背景】
在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
【解答问题】
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手
(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手
(3)若参加聚会的人共握手91次,请求出参加聚会的人数.
【拓展应用】
(4)若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),此时共有28个角,求m的值.
【问题背景】
在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
【解答问题】
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手
3
次.(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手
$\frac{n(n-1)}{2}$
次.(用含n的代数式表示)(3)若参加聚会的人共握手91次,请求出参加聚会的人数.
【拓展应用】
(4)若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),此时共有28个角,求m的值.
答案
10.【解】(1)3
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$
(3)设参加聚会的人数为n.
根据题意,得$\frac{n(n-1)}{2}=91$.
解得 $n_1=14,n_2=-13$(不合题意,舍去).
因此,参加聚会的人数为14.
(4)根据题意,得$\frac{(m+2)(m+1)}{2}=28$.
解得 $m_1=6,m_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,m的值为6.
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$
(3)设参加聚会的人数为n.
根据题意,得$\frac{n(n-1)}{2}=91$.
解得 $n_1=14,n_2=-13$(不合题意,舍去).
因此,参加聚会的人数为14.
(4)根据题意,得$\frac{(m+2)(m+1)}{2}=28$.
解得 $m_1=6,m_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,m的值为6.
解析
【分析】
本题属于单循环计数类的实际应用问题，解题思路可按小问逐步展开：
1. 解决(1)(2)问：握手属于单循环事件，每两人之间仅握手1次，若有n个人，每个人会和其余(n-1)人握手，总次数计算时每一次握手被重复统计了2次，因此需要除以2得到实际握手次数，代入n=3即可算出第一问结果，推广到一般情况即可得到第二问的代数式。
2. 解决(3)问：将总握手次数91代入第二问得到的公式，列出一元二次方程求解，结合人数为正整数的实际意义舍去负根即可。
3. 解决(4)问：角的计数和握手问题是同类型单循环模型，∠AOB内部加m条射线后，总共有(m+2)条以O为顶点的射线，每两条射线可组成1个角，类比握手公式列出方程，求解后舍去不符合题意的负根即可得到m的值。
【解析】
(1) 当参加聚会人数为3时，总握手次数为$\frac{3×(3-1)}{2}=3$次；
(2) 当参加聚会人数为n时，每人与其余(n-1)人握手，去掉重复统计的部分，总握手次数为$\frac{n(n-1)}{2}$次；
(3) 设参加聚会的人数为n，根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=91$
整理得$n^2 - n - 182 = 0$
解得$n_1=14$，$n_2=-13$，
人数不能为负数，故舍去$n_2=-13$，即参加聚会的人数为14；
(4) ∠AOB内部引出m条射线后，以O为顶点的射线总共有$(m+2)$条，每两条射线组成一个角，总角数符合单循环公式，根据题意列方程：
$\frac{(m+2)(m+1)}{2}=28$
整理得$m^2 + 3m - 54 = 0$
解得$m_1=6$，$m_2=-9$，
射线数量不能为负数，故舍去$m_2=-9$，即m的值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$；(3) $\boldsymbol{14}$；(4) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 单循环计数规律；2. 一元二次方程的实际应用；3. 角的计数
【点评】
本题将生活中的握手问题、几何中的角计数问题统一为单循环数学模型，解题核心是掌握单循环事件的计数公式，同时要注意结合实际问题的取值范围，对求解得到的方程根进行合理性检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环计数类的实际应用问题，解题思路可按小问逐步展开：
1. 解决(1)(2)问：握手属于单循环事件，每两人之间仅握手1次，若有n个人，每个人会和其余(n-1)人握手，总次数计算时每一次握手被重复统计了2次，因此需要除以2得到实际握手次数，代入n=3即可算出第一问结果，推广到一般情况即可得到第二问的代数式。
2. 解决(3)问：将总握手次数91代入第二问得到的公式，列出一元二次方程求解，结合人数为正整数的实际意义舍去负根即可。
3. 解决(4)问：角的计数和握手问题是同类型单循环模型，∠AOB内部加m条射线后，总共有(m+2)条以O为顶点的射线，每两条射线可组成1个角，类比握手公式列出方程，求解后舍去不符合题意的负根即可得到m的值。
【解析】
(1) 当参加聚会人数为3时，总握手次数为$\frac{3×(3-1)}{2}=3$次；
(2) 当参加聚会人数为n时，每人与其余(n-1)人握手，去掉重复统计的部分，总握手次数为$\frac{n(n-1)}{2}$次；
(3) 设参加聚会的人数为n，根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=91$
整理得$n^2 - n - 182 = 0$
解得$n_1=14$，$n_2=-13$，
人数不能为负数，故舍去$n_2=-13$，即参加聚会的人数为14；
(4) ∠AOB内部引出m条射线后，以O为顶点的射线总共有$(m+2)$条，每两条射线组成一个角，总角数符合单循环公式，根据题意列方程：
$\frac{(m+2)(m+1)}{2}=28$
整理得$m^2 + 3m - 54 = 0$
解得$m_1=6$，$m_2=-9$，
射线数量不能为负数，故舍去$m_2=-9$，即m的值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$；(3) $\boldsymbol{14}$；(4) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 单循环计数规律；2. 一元二次方程的实际应用；3. 角的计数
【点评】
本题将生活中的握手问题、几何中的角计数问题统一为单循环数学模型，解题核心是掌握单循环事件的计数公式，同时要注意结合实际问题的取值范围，对求解得到的方程根进行合理性检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
