登录
基础知识·预习
问题1 什么样的函数叫作二次函数？举出几个二次函数的例子，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
问题2 举一个实例，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示。
问题1 什么样的函数叫作二次函数？举出几个二次函数的例子，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
问题2 举一个实例，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示。
答案
解：
一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
举例1：二次函数$y=2x^2+3x+1$，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1。
举例2：二次函数$y=-x^2+5$，它的二次项系数是-1，一次项系数是0，常数项是5。
举例3：二次函数$y=3x^2-4x$，它的二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是0。
实例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则矩形另一边长为$(30-x)\ \mathrm{m}$，可得$S=x(30-x)=-x^2+30x$（$0＜x＜30$），该实例中场地面积$S$和边长$x$的变量关系可以用这个二次函数表示。
一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
举例1：二次函数$y=2x^2+3x+1$，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1。
举例2：二次函数$y=-x^2+5$，它的二次项系数是-1，一次项系数是0，常数项是5。
举例3：二次函数$y=3x^2-4x$，它的二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是0。
实例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则矩形另一边长为$(30-x)\ \mathrm{m}$，可得$S=x(30-x)=-x^2+30x$（$0＜x＜30$），该实例中场地面积$S$和边长$x$的变量关系可以用这个二次函数表示。
解析
【分析】
解决本题首先围绕二次函数的核心概念展开思考：
1. 处理问题1时，首先抓住二次函数定义的三个关键要点：①解析式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0，三者缺一不可。举例子时可选取完整形式、缺一次项、缺常数项的三类典型二次函数，便于全面理解各项系数的判定规则：找系数时要带符号，缺少的项对应系数为0。
2. 处理问题2时，选取贴近生活的场景（如几何面积、销售利润等），先明确两个相关变量，再根据数量关系推导函数解析式，同时注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【解析】
1. 二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
举例及系数判定：
① 二次函数$y=2x^2+3x+1$，二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1；
② 二次函数$y=-x^2+5$，二次项系数是-1，一次项系数是0，常数项是5；
③ 二次函数$y=3x^2-4x$，二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是0。
2. 实际实例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则矩形另一边长为$(30-x)\ \mathrm{m}$，可得$S=x(30-x)=-x^2+30x$（$0＜x＜30$），该实例中场地面积$S$和边长$x$的变量关系可以用这个二次函数表示。
【答案】
一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
举例1：二次函数$y=2x^2+3x+1$，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1。
举例2：二次函数$y=-x^2+5$，它的二次项系数是-1，一次项系数是0，常数项是5。
举例3：二次函数$y=3x^2-4x$，它的二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是0。
实例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则矩形另一边长为$(30-x)\ \mathrm{m}$，可得$S=x(30-x)=-x^2+30x$（$0＜x＜30$），该实例中场地面积$S$和边长$x$的变量关系可以用这个二次函数表示。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的项与系数
3. 二次函数实际建模
【点评】
本题是二次函数的基础入门题，侧重考查对二次函数概念的理解、各项系数的识别能力，以及结合实际场景构建二次函数模型的意识，是后续学习二次函数图像、性质及应用的重要基础，学习时需重点注意二次项系数不为0的限制条件，以及实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.9
解决本题首先围绕二次函数的核心概念展开思考：
1. 处理问题1时，首先抓住二次函数定义的三个关键要点：①解析式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0，三者缺一不可。举例子时可选取完整形式、缺一次项、缺常数项的三类典型二次函数，便于全面理解各项系数的判定规则：找系数时要带符号，缺少的项对应系数为0。
2. 处理问题2时，选取贴近生活的场景（如几何面积、销售利润等），先明确两个相关变量，再根据数量关系推导函数解析式，同时注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【解析】
1. 二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
举例及系数判定：
① 二次函数$y=2x^2+3x+1$，二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1；
② 二次函数$y=-x^2+5$，二次项系数是-1，一次项系数是0，常数项是5；
③ 二次函数$y=3x^2-4x$，二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是0。
2. 实际实例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则矩形另一边长为$(30-x)\ \mathrm{m}$，可得$S=x(30-x)=-x^2+30x$（$0＜x＜30$），该实例中场地面积$S$和边长$x$的变量关系可以用这个二次函数表示。
【答案】
一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
举例1：二次函数$y=2x^2+3x+1$，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1。
举例2：二次函数$y=-x^2+5$，它的二次项系数是-1，一次项系数是0，常数项是5。
举例3：二次函数$y=3x^2-4x$，它的二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是0。
实例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则矩形另一边长为$(30-x)\ \mathrm{m}$，可得$S=x(30-x)=-x^2+30x$（$0＜x＜30$），该实例中场地面积$S$和边长$x$的变量关系可以用这个二次函数表示。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的项与系数
3. 二次函数实际建模
【点评】
本题是二次函数的基础入门题，侧重考查对二次函数概念的理解、各项系数的识别能力，以及结合实际场景构建二次函数模型的意识，是后续学习二次函数图像、性质及应用的重要基础，学习时需重点注意二次项系数不为0的限制条件，以及实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】已知$y=-(m+1)x^{m^2 - m} + 5x$是关于$x$的二次函数。
(1)求$m$的值及该二次函数的解析式。
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
【解】(1)根据题意，得$m^2 - m = 2$，且$-(m+1)≠0$。解得$m=2$。进而$y=-3x^2 +5x$。故$m$的值为2，该二次函数的解析式为$y=-3x^2 +5x$。
(2)二次项系数是$-3$，一次项系数是5，常数项是0。
规律方法 判断一个函数是不是二次函数，应根据二次函数的三个特征作出判断，缺一不可。
二次函数的三个特征：
(1)函数解析式等号两边必须都是整式。
(2)化简后自变量的最高次数必须是2。
(3)二次项系数必须不为0。
(1)求$m$的值及该二次函数的解析式。
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
【解】(1)根据题意，得$m^2 - m = 2$，且$-(m+1)≠0$。解得$m=2$。进而$y=-3x^2 +5x$。故$m$的值为2，该二次函数的解析式为$y=-3x^2 +5x$。
(2)二次项系数是$-3$，一次项系数是5，常数项是0。
规律方法 判断一个函数是不是二次函数，应根据二次函数的三个特征作出判断，缺一不可。
二次函数的三个特征：
(1)函数解析式等号两边必须都是整式。
(2)化简后自变量的最高次数必须是2。
(3)二次项系数必须不为0。
答案
解：
(1) 根据二次函数的定义，得
$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ -(m+1) ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 2$，得$m_1=2$，$m_2=-1$。
由$-(m+1)≠0$得$m≠-1$，
所以$m=2$。
将$m=2$代入原式，得$y=-(2+1)x^2 +5x=-3x^2+5x$。
故$m$的值为2，该二次函数的解析式为$y=-3x^2+5x$。
(2) 该二次函数的二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
(1) 根据二次函数的定义，得
$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ -(m+1) ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 2$，得$m_1=2$，$m_2=-1$。
由$-(m+1)≠0$得$m≠-1$，
所以$m=2$。
将$m=2$代入原式，得$y=-(2+1)x^2 +5x=-3x^2+5x$。
故$m$的值为2，该二次函数的解析式为$y=-3x^2+5x$。
(2) 该二次函数的二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需紧扣二次函数的定义推导：①二次函数中自变量的最高次数为2，因此x的指数$m^2 - m$需等于2；②二次项系数不能为0，因此要保证$-(m+1)≠0$，联立两个条件即可求出m的取值，代入原式得到二次函数解析式。第二问只需将解析式整理为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的标准形式，对应找到a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）即可，无单独常数项时c为0。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件组：
$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ -(m+1) ≠ 0\end{cases}$
先解方程$m^2 - m = 2$，移项得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
再由$-(m+1)≠0$，解得$m≠-1$。
综上可得$m=2$。
将$m=2$代入原式，得$y=-(2+1)x^2 +5x=-3x^2+5x$。
(2) 二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对比解析式$y=-3x^2+5x$可得：二次项系数为$-3$，一次项系数为$5$，没有单独的常数项，故常数项为$0$。
【答案】
(1) $m$的值为2，二次函数的解析式为$y=-3x^2+5x$；
(2) 二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解；多项式系数识别
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题，易错点为求解m时忽略二次项系数不为0的限制条件，错误保留$m=-1$的解，牢记二次函数的三个特征即可准确解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需紧扣二次函数的定义推导：①二次函数中自变量的最高次数为2，因此x的指数$m^2 - m$需等于2；②二次项系数不能为0，因此要保证$-(m+1)≠0$，联立两个条件即可求出m的取值，代入原式得到二次函数解析式。第二问只需将解析式整理为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的标准形式，对应找到a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）即可，无单独常数项时c为0。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件组：
$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ -(m+1) ≠ 0\end{cases}$
先解方程$m^2 - m = 2$，移项得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
再由$-(m+1)≠0$，解得$m≠-1$。
综上可得$m=2$。
将$m=2$代入原式，得$y=-(2+1)x^2 +5x=-3x^2+5x$。
(2) 二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对比解析式$y=-3x^2+5x$可得：二次项系数为$-3$，一次项系数为$5$，没有单独的常数项，故常数项为$0$。
【答案】
(1) $m$的值为2，二次函数的解析式为$y=-3x^2+5x$；
(2) 二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解；多项式系数识别
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题，易错点为求解m时忽略二次项系数不为0的限制条件，错误保留$m=-1$的解，牢记二次函数的三个特征即可准确解题。
【难度系数】
0.8
1.若$y=(m+1)x^{|m|+1}-(m-1)x+1$是关于x的二次函数，则m的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$0$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$0$
答案
1.B
解析
【分析】
要确定m的值，需依据二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
根据二次函数的定义，函数需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$|m| + 1 = 2$
解得$|m|=1$，因此$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$。
结合两个条件，排除$m=-1$，可得$m=1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，直接根据最高次数为2选择±1，解题时要牢记二次函数的限制条件，避免漏解出错。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需依据二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
根据二次函数的定义，函数需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$|m| + 1 = 2$
解得$|m|=1$，因此$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$。
结合两个条件，排除$m=-1$，可得$m=1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，直接根据最高次数为2选择±1，解题时要牢记二次函数的限制条件，避免漏解出错。
【难度系数】
0.7
