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基础知识·预习
问题1 解决单循环问题和双循环问题时，一般设哪个量为未知数？
问题2 单循环比赛和双循环比赛有什么不一样？
问题3 为什么求出来的解必须是正整数？
问题1 解决单循环问题和双循环问题时，一般设哪个量为未知数？
问题2 单循环比赛和双循环比赛有什么不一样？
问题3 为什么求出来的解必须是正整数？
答案
解：
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍总数（或参与相关活动的总人数）为未知数$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间只进行1次比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间要进行2次比赛，通常分主、客场各完成1次比赛。
②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环总场次为$x(x-1)$。
问题3：这类问题的未知数代表的是参赛队伍数、参与活动的人数这类表示事物计数的实际量，现实中这类数量只能是大于等于2的正整数，负数、分数、零都不符合实际场景的意义，因此求出的解必须是正整数。
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍总数（或参与相关活动的总人数）为未知数$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间只进行1次比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间要进行2次比赛，通常分主、客场各完成1次比赛。
②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环总场次为$x(x-1)$。
问题3：这类问题的未知数代表的是参赛队伍数、参与活动的人数这类表示事物计数的实际量，现实中这类数量只能是大于等于2的正整数，负数、分数、零都不符合实际场景的意义，因此求出的解必须是正整数。
解析
【分析】
这三个问题是单双循环类实际应用问题的基础概念问题，思考路径如下：1. 问题1：单双循环问题的核心计算围绕总场次展开，总场次和参与活动的总主体数（队伍数、人数等）直接相关，因此通常把这个总数量设为未知数；2. 问题2：区分单、双循环可以从两个维度入手，首先看核心规则：任意两个参赛对象之间的比赛次数，再根据规则推导总场次的计算公式，即可明确二者的差异；3. 问题3：一元二次方程的解可能出现多种情况，但实际问题的解必须符合变量的实际意义，本题中未知数是人数、队伍数这类计数类的量，因此需要判断解是否符合计数要求。
【解析】
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍总数（或参与相关活动的总人数）为未知数$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间只进行1次比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间要进行2次比赛，通常分主、客场各完成1次比赛。②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环总场次为$x(x-1)$。
问题3：这类问题的未知数代表的是参赛队伍数、参与活动的人数这类表示事物计数的实际量，现实中这类数量只能是大于等于2的正整数，负数、分数、零都不符合实际场景的意义，因此求出的解必须是正整数。
【答案】
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍总数（或参与相关活动的总人数）为未知数$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间只进行1次比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间要进行2次比赛，通常分主、客场各完成1次比赛。②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环总场次为$x(x-1)$。
问题3：这类问题的未知数代表的是参赛队伍数、参与活动的人数这类表示事物计数的实际量，现实中这类数量只能是大于等于2的正整数，负数、分数、零都不符合实际场景的意义，因此求出的解必须是正整数。
【知识点】
单双循环问题、实际解的合理性、一元二次方程应用
【点评】
本题考查单双循环问题的基础认知，属于这类应用题的入门内容，掌握这些核心概念才能准确搭建解题模型，正确处理解的取舍，顺利求解相关的实际应用问题。
【难度系数】
0.85
这三个问题是单双循环类实际应用问题的基础概念问题，思考路径如下：1. 问题1：单双循环问题的核心计算围绕总场次展开，总场次和参与活动的总主体数（队伍数、人数等）直接相关，因此通常把这个总数量设为未知数；2. 问题2：区分单、双循环可以从两个维度入手，首先看核心规则：任意两个参赛对象之间的比赛次数，再根据规则推导总场次的计算公式，即可明确二者的差异；3. 问题3：一元二次方程的解可能出现多种情况，但实际问题的解必须符合变量的实际意义，本题中未知数是人数、队伍数这类计数类的量，因此需要判断解是否符合计数要求。
【解析】
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍总数（或参与相关活动的总人数）为未知数$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间只进行1次比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间要进行2次比赛，通常分主、客场各完成1次比赛。②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环总场次为$x(x-1)$。
问题3：这类问题的未知数代表的是参赛队伍数、参与活动的人数这类表示事物计数的实际量，现实中这类数量只能是大于等于2的正整数，负数、分数、零都不符合实际场景的意义，因此求出的解必须是正整数。
【答案】
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍总数（或参与相关活动的总人数）为未知数$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间只进行1次比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间要进行2次比赛，通常分主、客场各完成1次比赛。②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环总场次为$x(x-1)$。
问题3：这类问题的未知数代表的是参赛队伍数、参与活动的人数这类表示事物计数的实际量，现实中这类数量只能是大于等于2的正整数，负数、分数、零都不符合实际场景的意义，因此求出的解必须是正整数。
【知识点】
单双循环问题、实际解的合理性、一元二次方程应用
【点评】
本题考查单双循环问题的基础认知，属于这类应用题的入门内容，掌握这些核心概念才能准确搭建解题模型，正确处理解的取舍，顺利求解相关的实际应用问题。
【难度系数】
0.85
【典型例题】学校组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).
(1)设有n支球队参加比赛,比赛的总场数为m,则m与n的关系是.
(2)若学校计划安排10场比赛,则应安排多少支球队参加比赛?
【解】(1)$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
(2)把$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$,得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n=10$.
解得$n_1=5,n_2=-4$(不合题意,舍去).
因此,学校应安排5支球队参加比赛.
规律方法 单循环问题和双循环问题的基本等量关系:
设有n个元素,则单循环的总次数为$\frac{n(n-1)}{2}$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
(1)设有n支球队参加比赛,比赛的总场数为m,则m与n的关系是.
(2)若学校计划安排10场比赛,则应安排多少支球队参加比赛?
【解】(1)$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
(2)把$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$,得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n=10$.
解得$n_1=5,n_2=-4$(不合题意,舍去).
因此,学校应安排5支球队参加比赛.
规律方法 单循环问题和双循环问题的基本等量关系:
设有n个元素,则单循环的总次数为$\frac{n(n-1)}{2}$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
答案
解：
(1) $m=\frac{n(n-1)}{2}$（或$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$）
(2) 设应安排$n$支球队参加比赛，
根据题意，得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n = 10$
整理，得$n^2 - n - 20 = 0$
解得$n_1=5$，$n_2=-4$。
∵ 球队的支数为正整数，
∴ $n=-4$不合题意，舍去。
答：应安排5支球队参加比赛。
(1) $m=\frac{n(n-1)}{2}$（或$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$）
(2) 设应安排$n$支球队参加比赛，
根据题意，得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n = 10$
整理，得$n^2 - n - 20 = 0$
解得$n_1=5$，$n_2=-4$。
∵ 球队的支数为正整数，
∴ $n=-4$不合题意，舍去。
答：应安排5支球队参加比赛。
解析
【分析】
（1）解决单循环总场次问题时，首先思考每支球队需要和除自身外的其余(n-1)支球队各赛1场，初步计算总场次为n(n-1)场，但每场比赛由两支球队共同参与，上述计算中每场都被重复统计了1次，因此需要除以2，即可得到总场数m和球队数n的关系式。
（2）第二问已知总场数，只需将m=10代入第一问得到的关系式，得到关于n的一元二次方程，解方程后结合“球队数量为正整数”的实际要求，舍去不符合题意的负根，即可得到参赛球队的数量。
【解析】
（1）n支球队参加单循环比赛，每支球队需比赛(n-1)场，由于每场比赛涉及2支球队，存在重复计数，因此总场数为：
$m=\frac{n(n-1)}{2}$，整理可得$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$。
（2）设应安排n支球队参加比赛，将m=10代入上述关系式得：
$\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n=10$
方程两边同乘2整理得：$n^2 -n -20=0$
解方程得$n_1=5$，$n_2=-4$。
∵球队的支数为正整数，
∴$n=-4$不合题意，舍去。
答：应安排5支球队参加比赛。
【答案】
(1) $m=\frac{n(n-1)}{2}$（或$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$）
(2) 5支
【知识点】
1. 单循环问题公式
2. 一元二次方程的应用
3. 实际问题的根检验
【点评】
本题是单循环类实际应用的基础题型，解题核心是正确理解单循环总场次的计算逻辑，避免计数重复，同时要注意解方程后结合实际情况对根进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
（1）解决单循环总场次问题时，首先思考每支球队需要和除自身外的其余(n-1)支球队各赛1场，初步计算总场次为n(n-1)场，但每场比赛由两支球队共同参与，上述计算中每场都被重复统计了1次，因此需要除以2，即可得到总场数m和球队数n的关系式。
（2）第二问已知总场数，只需将m=10代入第一问得到的关系式，得到关于n的一元二次方程，解方程后结合“球队数量为正整数”的实际要求，舍去不符合题意的负根，即可得到参赛球队的数量。
【解析】
（1）n支球队参加单循环比赛，每支球队需比赛(n-1)场，由于每场比赛涉及2支球队，存在重复计数，因此总场数为：
$m=\frac{n(n-1)}{2}$，整理可得$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$。
（2）设应安排n支球队参加比赛，将m=10代入上述关系式得：
$\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n=10$
方程两边同乘2整理得：$n^2 -n -20=0$
解方程得$n_1=5$，$n_2=-4$。
∵球队的支数为正整数，
∴$n=-4$不合题意，舍去。
答：应安排5支球队参加比赛。
【答案】
(1) $m=\frac{n(n-1)}{2}$（或$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$）
(2) 5支
【知识点】
1. 单循环问题公式
2. 一元二次方程的应用
3. 实际问题的根检验
【点评】
本题是单循环类实际应用的基础题型，解题核心是正确理解单循环总场次的计算逻辑，避免计数重复，同时要注意解方程后结合实际情况对根进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
1. 九(1)班举行了一个以物换物的活动，参加活动的每两个人之间都互换了1次物品，一共互换了45次。设有x个人参加了这个活动，则下列选项中，正确的是（
A.由题意可列方程为 $ x(x-1)=45 $
B.由题意可列方程为 $ \frac{1}{2}x(x+1)=45 $
C.$ x=9 $
D.$ x=10 $
2. 参加足球联赛的每两支球队之间都进行两场比赛（双循环比赛），共要比赛240场，则参加足球联赛的有
D
）A.由题意可列方程为 $ x(x-1)=45 $
B.由题意可列方程为 $ \frac{1}{2}x(x+1)=45 $
C.$ x=9 $
D.$ x=10 $
2. 参加足球联赛的每两支球队之间都进行两场比赛（双循环比赛），共要比赛240场，则参加足球联赛的有
16
支球队。答案
1.D 2.16
解析
【分析】
解决这类比赛、互换类计数问题，首先要区分单循环和双循环：①单循环：每两个主体仅进行1次互动，计数时每一次互动会被两个主体各统计1次，因此总次数需要除以2避免重复；②双循环：每两个主体进行2次互动，刚好对应两个主体各自的统计结果，因此总次数不需要除以2。第1题属于单循环互换问题，先根据单循环计数规则列方程，再解方程验证选项即可；第2题属于双循环比赛问题，按双循环计数规则列方程求解即可。
【解析】
1. 设有x人参加活动：
每人和其余$(x-1)$人互换1次物品，单循环总互换次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，由题意得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2 -x -90=0$
因式分解得$(x-10)(x+9)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（人数为正，舍去）
因此$x=10$，对比选项，D正确。
2. 设参加联赛的有x支球队：
双循环每两队赛2场，总比赛场数为$x(x-1)$，由题意得：
$x(x-1)=240$
整理得$x^2 -x -240=0$
因式分解得$(x-16)(x+15)=0$
解得$x_1=16$，$x_2=-15$（球队数为正，舍去）
因此参赛球队有16支。
【答案】
1.D 2.16
【知识点】
单循环问题、双循环问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题核心是区分单循环和双循环的计数逻辑，解题时要结合实际场景判断是否需要除以2，同时求解一元二次方程后要根据实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解决这类比赛、互换类计数问题，首先要区分单循环和双循环：①单循环：每两个主体仅进行1次互动，计数时每一次互动会被两个主体各统计1次，因此总次数需要除以2避免重复；②双循环：每两个主体进行2次互动，刚好对应两个主体各自的统计结果，因此总次数不需要除以2。第1题属于单循环互换问题，先根据单循环计数规则列方程，再解方程验证选项即可；第2题属于双循环比赛问题，按双循环计数规则列方程求解即可。
【解析】
1. 设有x人参加活动：
每人和其余$(x-1)$人互换1次物品，单循环总互换次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，由题意得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2 -x -90=0$
因式分解得$(x-10)(x+9)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（人数为正，舍去）
因此$x=10$，对比选项，D正确。
2. 设参加联赛的有x支球队：
双循环每两队赛2场，总比赛场数为$x(x-1)$，由题意得：
$x(x-1)=240$
整理得$x^2 -x -240=0$
因式分解得$(x-16)(x+15)=0$
解得$x_1=16$，$x_2=-15$（球队数为正，舍去）
因此参赛球队有16支。
【答案】
1.D 2.16
【知识点】
单循环问题、双循环问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题核心是区分单循环和双循环的计数逻辑，解题时要结合实际场景判断是否需要除以2，同时求解一元二次方程后要根据实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
