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8.某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城的自行车1月份的销售量为64辆，3月份的销售量为144辆.
(1)若该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率相同，则该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车.已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆.根据销售经验，购进的A型自行车的数量应不少于B型自行车数量的2倍，但不超过B型自行车数量的2.8倍.假设所购进的自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
(1)若该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率相同，则该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车.已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆.根据销售经验，购进的A型自行车的数量应不少于B型自行车数量的2倍，但不超过B型自行车数量的2.8倍.假设所购进的自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
答案
8.【解】(1)设该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率为x.
根据题意,得$64(1+x)^2=144$.
解得$x_1=-2.5$(不合题意,舍去),$x_2=0.5$.
$144×(1+50\%)=216$(辆).
因此,该商城4月份卖出216辆自行车.
(2)设购进B型自行车x辆,则购进A型自行车$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}$辆.
根据题意,得$2x≤ \frac{30\ 000-1\ 000x}{500}≤ 2.8x$.
解得$12.5≤ x≤ 15$.
$\because$自行车的数量为整数，
$\therefore 13≤ x≤ 15$.
设销售利润为w元.
根据题意,得$w=(700-500)×\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}+(1\ 300-1\ 000)x$.
整理,得$w=-100x+12\ 000$.
$\because w$随x的增大而减小，
$\therefore$当$x=13$时,销售利润w有最大值.
此时,$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}=34$.
因此,该商城应购进A型自行车34辆,B型自行车13辆.
根据题意,得$64(1+x)^2=144$.
解得$x_1=-2.5$(不合题意,舍去),$x_2=0.5$.
$144×(1+50\%)=216$(辆).
因此,该商城4月份卖出216辆自行车.
(2)设购进B型自行车x辆,则购进A型自行车$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}$辆.
根据题意,得$2x≤ \frac{30\ 000-1\ 000x}{500}≤ 2.8x$.
解得$12.5≤ x≤ 15$.
$\because$自行车的数量为整数，
$\therefore 13≤ x≤ 15$.
设销售利润为w元.
根据题意,得$w=(700-500)×\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}+(1\ 300-1\ 000)x$.
整理,得$w=-100x+12\ 000$.
$\because w$随x的增大而减小，
$\therefore$当$x=13$时,销售利润w有最大值.
此时,$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}=34$.
因此,该商城应购进A型自行车34辆,B型自行车13辆.
解析
【分析】
(1) 第一问属于平均增长率问题，解题核心是利用平均增长率的等量关系：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ = n个月后的销量。首先设月平均增长率为x，已知1月销量为64辆，3月是间隔2个月后的销量，据此列一元二次方程求解，注意增长率为正数，舍去不符合实际的负解，再用3月销量乘(1+增长率)即可得到4月销量。
(2) 第二问是利润最大化的方案选择问题，解题思路如下：①先设购进B型自行车x辆，根据总投入3万元，用含x的式子表示出A型自行车的购进数量；②根据“A型数量不少于B型的2倍，不超过B型的2.8倍”列不等式组，求解得到x的取值范围，结合车辆数为正整数确定x的可取值；③根据“总利润=A型总利润+B型总利润”列出利润w关于x的函数关系式，判断函数的增减性，结合x的取值范围找到利润最大时对应的x值，即可确定最优进货方案。
【解析】
(1) 设该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：$64(1+x)^2=144$，
解得：$x_1=-2.5$（增长率不能为负，不合题意，舍去），$x_2=0.5=50\%$。
则4月份的销量为：$144×(1+50\%)=216$（辆）。
(2) 设购进B型自行车x辆，则购进A型自行车的数量为$\frac{30000-1000x}{500}$辆，
根据题意列不等式组：
$2x≤ \frac{30000-1000x}{500}≤ 2.8x$，
解得：$12.5≤ x≤ 15$，
∵自行车的数量为正整数，
∴x的可取值为13、14、15。
设销售总利润为w元，根据题意得：
$w=(700-500)×\frac{30000-1000x}{500}+(1300-1000)x$，
整理得：$w=-100x+12000$，
∵$-100＜0$，
∴w随x的增大而减小，
∴当$x=13$时，w取得最大值，
此时A型自行车的数量为：$\frac{30000-1000×13}{500}=34$（辆）。
【答案】
(1) 该商城4月份卖出216辆自行车；
(2) 应购进A型自行车34辆，B型自行车13辆。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于实际应用类综合题，既考查了平均增长率问题的常规求解方法，又结合了不等式组求取值范围、一次函数求最值的考点，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，如增长率为正、车辆数量为正整数，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问属于平均增长率问题，解题核心是利用平均增长率的等量关系：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ = n个月后的销量。首先设月平均增长率为x，已知1月销量为64辆，3月是间隔2个月后的销量，据此列一元二次方程求解，注意增长率为正数，舍去不符合实际的负解，再用3月销量乘(1+增长率)即可得到4月销量。
(2) 第二问是利润最大化的方案选择问题，解题思路如下：①先设购进B型自行车x辆，根据总投入3万元，用含x的式子表示出A型自行车的购进数量；②根据“A型数量不少于B型的2倍，不超过B型的2.8倍”列不等式组，求解得到x的取值范围，结合车辆数为正整数确定x的可取值；③根据“总利润=A型总利润+B型总利润”列出利润w关于x的函数关系式，判断函数的增减性，结合x的取值范围找到利润最大时对应的x值，即可确定最优进货方案。
【解析】
(1) 设该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：$64(1+x)^2=144$，
解得：$x_1=-2.5$（增长率不能为负，不合题意，舍去），$x_2=0.5=50\%$。
则4月份的销量为：$144×(1+50\%)=216$（辆）。
(2) 设购进B型自行车x辆，则购进A型自行车的数量为$\frac{30000-1000x}{500}$辆，
根据题意列不等式组：
$2x≤ \frac{30000-1000x}{500}≤ 2.8x$，
解得：$12.5≤ x≤ 15$，
∵自行车的数量为正整数，
∴x的可取值为13、14、15。
设销售总利润为w元，根据题意得：
$w=(700-500)×\frac{30000-1000x}{500}+(1300-1000)x$，
整理得：$w=-100x+12000$，
∵$-100＜0$，
∴w随x的增大而减小，
∴当$x=13$时，w取得最大值，
此时A型自行车的数量为：$\frac{30000-1000×13}{500}=34$（辆）。
【答案】
(1) 该商城4月份卖出216辆自行车；
(2) 应购进A型自行车34辆，B型自行车13辆。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于实际应用类综合题，既考查了平均增长率问题的常规求解方法，又结合了不等式组求取值范围、一次函数求最值的考点，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，如增长率为正、车辆数量为正整数，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.65
9. 某实验室进行盐水稀释实验.现有总质量为100 g的盐水,其浓度为20%.实验要求:先倒出部分盐水,再加入相同质量的纯净水,再重复该操作一次后(每次倒出的盐水的质量相同),测得新的盐水浓度为9.8%.求每次倒出的盐水的质量.(提示:盐水的浓度=
$\frac{盐的质量}{盐水的质量} × 100\%$)
$\frac{盐的质量}{盐水的质量} × 100\%$)答案
9.【解】初始盐的质量为$100×20\%=20(\mathrm{g})$.
设每次倒出的盐水的质量为x g.
第一次操作:倒出x g盐水,即倒出0.2x g盐,故剩余$(20-0.2x)\mathrm{g}$盐.
第一次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$.
第二次操作:倒出x g盐水,即倒出$\frac{x(20-0.2x)}{100}\mathrm{g}$盐,故剩余$[20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}]\mathrm{g}$盐.
第二次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$.
根据题意,得$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$.
解得$x_1=30,x_2=170$(不合题意,舍去).
因此,每次倒出的盐水的质量为30 g.
设每次倒出的盐水的质量为x g.
第一次操作:倒出x g盐水,即倒出0.2x g盐,故剩余$(20-0.2x)\mathrm{g}$盐.
第一次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$.
第二次操作:倒出x g盐水,即倒出$\frac{x(20-0.2x)}{100}\mathrm{g}$盐,故剩余$[20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}]\mathrm{g}$盐.
第二次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$.
根据题意,得$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$.
解得$x_1=30,x_2=170$(不合题意,舍去).
因此,每次倒出的盐水的质量为30 g.
解析
【分析】
解题时首先明确这是盐水多次稀释的应用题，核心是抓住每次操作后盐水总质量不变、盐的质量随倒出盐水逐步减少的特点。第一步先计算初始盐水中盐的总质量，再设每次倒出的盐水质量为x g，分步分析两次操作后剩余盐的质量：第一次倒出20%浓度的盐水，会按比例倒出盐，加水后盐水回到100g得到新浓度；第二次倒出该浓度的盐水，再次按比例倒出盐，加水后总质量仍为100g，最后根据最终浓度的等量关系列一元二次方程求解，舍去不符合实际的解（倒出的盐水质量不能超过100g）即可得到答案。
【解析】
首先计算初始盐的质量：$100×20\%=20(\mathrm{g})$。
设每次倒出的盐水的质量为x g。
第一次操作：倒出x g浓度为20%的盐水，倒出的盐的质量为$0.2x\ \mathrm{g}$，剩余盐的质量为$(20-0.2x)\ \mathrm{g}$；加入x g纯净水后，盐水总质量仍为100 g，此时盐水浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$。
第二次操作：倒出x g上述浓度的盐水，倒出的盐的质量为$\frac{x(20-0.2x)}{100}\ \mathrm{g}$，剩余盐的质量为$20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}=(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})\ \mathrm{g}$；加入x g纯净水后，盐水总质量仍为100 g，此时浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$。
根据题意最终浓度为9.8%，列方程：
$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$
解得$x_1=30$，$x_2=170$，由于倒出的盐水质量不能超过原有盐水总质量100g，因此$x=170$不合题意，舍去。
【答案】
每次倒出的盐水的质量为30 g
【知识点】
一元二次方程应用，浓度计算
【点评】
本题是浓度稀释问题的典型题型，解题关键是理清每次倒出盐水时带出的盐的质量，结合“每次操作后盐水总质量不变”的特点和浓度公式建立方程，同时要注意对一元二次方程的解进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确这是盐水多次稀释的应用题，核心是抓住每次操作后盐水总质量不变、盐的质量随倒出盐水逐步减少的特点。第一步先计算初始盐水中盐的总质量，再设每次倒出的盐水质量为x g，分步分析两次操作后剩余盐的质量：第一次倒出20%浓度的盐水，会按比例倒出盐，加水后盐水回到100g得到新浓度；第二次倒出该浓度的盐水，再次按比例倒出盐，加水后总质量仍为100g，最后根据最终浓度的等量关系列一元二次方程求解，舍去不符合实际的解（倒出的盐水质量不能超过100g）即可得到答案。
【解析】
首先计算初始盐的质量：$100×20\%=20(\mathrm{g})$。
设每次倒出的盐水的质量为x g。
第一次操作：倒出x g浓度为20%的盐水，倒出的盐的质量为$0.2x\ \mathrm{g}$，剩余盐的质量为$(20-0.2x)\ \mathrm{g}$；加入x g纯净水后，盐水总质量仍为100 g，此时盐水浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$。
第二次操作：倒出x g上述浓度的盐水，倒出的盐的质量为$\frac{x(20-0.2x)}{100}\ \mathrm{g}$，剩余盐的质量为$20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}=(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})\ \mathrm{g}$；加入x g纯净水后，盐水总质量仍为100 g，此时浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$。
根据题意最终浓度为9.8%，列方程：
$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$
解得$x_1=30$，$x_2=170$，由于倒出的盐水质量不能超过原有盐水总质量100g，因此$x=170$不合题意，舍去。
【答案】
每次倒出的盐水的质量为30 g
【知识点】
一元二次方程应用，浓度计算
【点评】
本题是浓度稀释问题的典型题型，解题关键是理清每次倒出盐水时带出的盐的质量，结合“每次操作后盐水总质量不变”的特点和浓度公式建立方程，同时要注意对一元二次方程的解进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
