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1. 解方程组 $\begin{cases}2a + b = 7①, \\a - b = 2②,\end{cases}$ 下列解法步骤中不正确的是( )。
A.用加减消元法消去 $b$，①+②得 $3a = 9$
B.用代入消元法消去 $b$，由①得 $b = 7 - 2a$
C.用代入消元法消去 $a$，由②得 $a = b + 2$
D.用加减消元法消去 $a$，①$-$②$×2$得 $2b = 3$
A.用加减消元法消去 $b$，①+②得 $3a = 9$
B.用代入消元法消去 $b$，由①得 $b = 7 - 2a$
C.用代入消元法消去 $a$，由②得 $a = b + 2$
D.用加减消元法消去 $a$，①$-$②$×2$得 $2b = 3$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题考查二元一次方程组的两种常用解法：代入消元法和加减消元法，解题思路是逐个验证每个选项的消元步骤是否符合运算规则，就能找出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：用加减消元法消去$b$，将①+②，左边为$2a+b+a-b=3a$，右边为$7+2=9$，可得$3a=9$，步骤正确，不符合题意。
B选项：用代入消元法消去$b$，将①移项，把含$a$的项移到等号右侧，可得$b=7-2a$，步骤正确，不符合题意。
C选项：用代入消元法消去$a$，将②移项，把$-b$移到等号右侧，可得$a=b+2$，步骤正确，不符合题意。
D选项：用加减消元法消去$a$，先计算②×2得$2a-2b=4$，再用①减去这个式子：$(2a+b)-(2a-2b)=7-4$，化简左边得$3b$，右边得$3$，即$3b=3$，选项中写$2b=3$，步骤错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.代入消元法 2.加减消元法
【点评】
本题是对二元一次方程组消元解法的基础考查，解题时要注意移项变号规则，以及加减消元时去括号的符号处理，避免因运算粗心出错。
【难度系数】
0.85
这道题考查二元一次方程组的两种常用解法：代入消元法和加减消元法，解题思路是逐个验证每个选项的消元步骤是否符合运算规则，就能找出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：用加减消元法消去$b$，将①+②，左边为$2a+b+a-b=3a$，右边为$7+2=9$，可得$3a=9$，步骤正确，不符合题意。
B选项：用代入消元法消去$b$，将①移项，把含$a$的项移到等号右侧，可得$b=7-2a$，步骤正确，不符合题意。
C选项：用代入消元法消去$a$，将②移项，把$-b$移到等号右侧，可得$a=b+2$，步骤正确，不符合题意。
D选项：用加减消元法消去$a$，先计算②×2得$2a-2b=4$，再用①减去这个式子：$(2a+b)-(2a-2b)=7-4$，化简左边得$3b$，右边得$3$，即$3b=3$，选项中写$2b=3$，步骤错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.代入消元法 2.加减消元法
【点评】
本题是对二元一次方程组消元解法的基础考查，解题时要注意移项变号规则，以及加减消元时去括号的符号处理，避免因运算粗心出错。
【难度系数】
0.85
2.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若…。甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\ \dfrac{2}{3}x+y=50,\end{cases}$ 根据已有信息，题中用“…”表示的条件应为( )。
A.甲得到乙所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么甲也共有钱50
B.乙得到甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么甲还有钱50
C.乙得到甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么乙也共有钱50
D.甲得到乙所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么乙还有钱50
A.甲得到乙所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么甲也共有钱50
B.乙得到甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么甲还有钱50
C.乙得到甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么乙也共有钱50
D.甲得到乙所有钱的$\dfrac{2}{3}$，那么乙还有钱50
答案
2. C
解析
【分析】
这道题是根据已列好的二元一次方程组反推题干缺失条件的题型，解题思路非常清晰：首先明确未知数x、y的含义，再结合给出的第一个方程和对应的已知条件，理清方程和实际条件的对应规则，最后分析第二个方程每一项的实际意义，匹配对应的选项即可。具体思考步骤：第一步，明确x代表甲带的钱数，y代表乙带的钱数；第二步，由第一个方程$x+\dfrac{1}{2}y=50$对应“甲得到乙一半的钱，甲共有50钱”，可知方程左边是最终持钱人的总钱数，右边是总钱数值；第三步，拆解第二个方程的各项含义，对应出实际条件。
【解析】
解：已知设甲带了x钱，乙带了y钱。
第一个方程$x+\dfrac{1}{2}y=50$对应条件“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50”，可得出对应规则：方程左边为最终持有总钱的人原本的钱数加上得到的钱数，右边为持有的总钱数50。
观察第二个方程$\dfrac{2}{3}x+y=50$：
其中y是乙原本带的钱数，$\dfrac{2}{3}x$是甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$，两者相加等于50，说明该方程对应的条件是：乙得到甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$后，乙的总钱数为50，和选项C描述一致。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；方程的实际意义
【点评】
本题打破了常规“根据条件列方程”的考查逻辑，反向要求学生根据方程匹配实际情境，需要学生准确理解方程每一项的实际含义，能有效考查学生对列方程解应用题的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
这道题是根据已列好的二元一次方程组反推题干缺失条件的题型，解题思路非常清晰：首先明确未知数x、y的含义，再结合给出的第一个方程和对应的已知条件，理清方程和实际条件的对应规则，最后分析第二个方程每一项的实际意义，匹配对应的选项即可。具体思考步骤：第一步，明确x代表甲带的钱数，y代表乙带的钱数；第二步，由第一个方程$x+\dfrac{1}{2}y=50$对应“甲得到乙一半的钱，甲共有50钱”，可知方程左边是最终持钱人的总钱数，右边是总钱数值；第三步，拆解第二个方程的各项含义，对应出实际条件。
【解析】
解：已知设甲带了x钱，乙带了y钱。
第一个方程$x+\dfrac{1}{2}y=50$对应条件“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50”，可得出对应规则：方程左边为最终持有总钱的人原本的钱数加上得到的钱数，右边为持有的总钱数50。
观察第二个方程$\dfrac{2}{3}x+y=50$：
其中y是乙原本带的钱数，$\dfrac{2}{3}x$是甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$，两者相加等于50，说明该方程对应的条件是：乙得到甲所有钱的$\dfrac{2}{3}$后，乙的总钱数为50，和选项C描述一致。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；方程的实际意义
【点评】
本题打破了常规“根据条件列方程”的考查逻辑，反向要求学生根据方程匹配实际情境，需要学生准确理解方程每一项的实际含义，能有效考查学生对列方程解应用题的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图5-1，直线$ l_1: y = k_1x + b_1 $与直线$ l_2: y = k_2x + b_2 $交于点A，则关于x，y的方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
3. $\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组与一次函数图像的对应关系：两个一次函数图像的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，因此该点的横、纵坐标就是对应的二元一次方程组的解。我们首先从图中找到两条直线交点A的坐标，即可直接得到方程组的解。
【解析】
∵ 直线$l_1:y=k_1x+b_1$与直线$l_2:y=k_2x+b_2$的交点为A，
∴ 点A的坐标同时满足两个直线的解析式，即点A的坐标就是方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解。
由图可知，交点A的坐标为$(4,6)$，
∴ 方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\ y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图像
【点评】
本题属于基础题，核心是理解一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，解题时只需准确读取交点坐标即可得到答案。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确二元一次方程组与一次函数图像的对应关系：两个一次函数图像的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，因此该点的横、纵坐标就是对应的二元一次方程组的解。我们首先从图中找到两条直线交点A的坐标，即可直接得到方程组的解。
【解析】
∵ 直线$l_1:y=k_1x+b_1$与直线$l_2:y=k_2x+b_2$的交点为A，
∴ 点A的坐标同时满足两个直线的解析式，即点A的坐标就是方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解。
由图可知，交点A的坐标为$(4,6)$，
∴ 方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\ y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图像
【点评】
本题属于基础题，核心是理解一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，解题时只需准确读取交点坐标即可得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程组$\begin{cases}ax+by=4, \\ bx+ay=5\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=1,\end{cases}$则$(a-b)^{2025}=$ ______ 。
答案
4. -1
解析
【分析】
首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能让方程组中每个方程左右两边相等，因此先把已知的$x=2$、$y=1$代入原方程组，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组。观察所求代数式为$(a-b)^{2025}$，不需要单独求出$a$、$b$的具体值，将得到的两个方程作差即可直接求出$a-b$的值，最后代入乘方运算就能得到结果。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2a + b = 4 \quad ① \\ a + 2b = 5 \quad ②\end{cases}$
用①式减去②式：
$(2a + b) - (a + 2b) = 4 - 5$
去括号、合并同类项得：$a - b = -1$
因此$(a - b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二元一次方程组解的含义，可根据所求代数式的形式灵活选择计算方法，通过整体作差得到$a-b$的值能简化计算过程，计算时要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正的运算规则。
【难度系数】
0.7
首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能让方程组中每个方程左右两边相等，因此先把已知的$x=2$、$y=1$代入原方程组，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组。观察所求代数式为$(a-b)^{2025}$，不需要单独求出$a$、$b$的具体值，将得到的两个方程作差即可直接求出$a-b$的值，最后代入乘方运算就能得到结果。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2a + b = 4 \quad ① \\ a + 2b = 5 \quad ②\end{cases}$
用①式减去②式：
$(2a + b) - (a + 2b) = 4 - 5$
去括号、合并同类项得：$a - b = -1$
因此$(a - b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二元一次方程组解的含义，可根据所求代数式的形式灵活选择计算方法，通过整体作差得到$a-b$的值能简化计算过程，计算时要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正的运算规则。
【难度系数】
0.7
5. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x - y = 0, \\ 2x + y = 3; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3(x - 1) = y + 5, \\ \dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{x}{5} + 1。 \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x - y = 0, \\ 2x + y = 3; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3(x - 1) = y + 5, \\ \dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{x}{5} + 1。 \end{cases}$
答案
5. (1) $\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$。
(2) $\begin{cases} x=5, \\ y=7 \end{cases}$。
(2) $\begin{cases} x=5, \\ y=7 \end{cases}$。
解析
【分析】
这两道题都是二元一次方程组的求解问题，常用消元法（代入消元法、加减消元法）解题。
(1) 观察第一个方程组，两个方程中y的系数互为相反数，可直接用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y的值即可；也可由第一个方程得出x=y，用代入消元法求解。
(2) 第二个方程组不是标准形式，需要先去括号、去分母，整理成标准的二元一次方程组形式，再观察系数特点选择加减消元法求解，计算时注意移项的符号变化。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} x - y = 0 \quad ①, \\ 2x + y = 3 \quad ②; \end{cases}$
将①+②，消去y得：$3x=3$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①得：$1-y=0$，解得$y=1$。
(2) 先整理原方程组：
对第一个方程$3(x - 1) = y + 5$去括号、移项得：$3x - y = 8 \quad ③$；
对第二个方程$\dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{x}{5} + 1$，两边同乘15消去分母得：$5(y-1)=3x+15$，去括号、移项得：$-3x + 5y = 20 \quad ④$。
将③+④，消去x得：$4y=28$，解得$y=7$。
把$y=7$代入③得：$3x -7 =8$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=5, \\ y=7 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，加减消元法，去分母法则
【点评】
本题是二元一次方程组的基础计算题，解题时可先观察方程组的系数特点，灵活选择消元方法；若方程组含有括号、分母，需先整理为标准形式再计算，计算过程中要注意移项、去分母时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二元一次方程组的求解问题，常用消元法（代入消元法、加减消元法）解题。
(1) 观察第一个方程组，两个方程中y的系数互为相反数，可直接用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y的值即可；也可由第一个方程得出x=y，用代入消元法求解。
(2) 第二个方程组不是标准形式，需要先去括号、去分母，整理成标准的二元一次方程组形式，再观察系数特点选择加减消元法求解，计算时注意移项的符号变化。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} x - y = 0 \quad ①, \\ 2x + y = 3 \quad ②; \end{cases}$
将①+②，消去y得：$3x=3$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①得：$1-y=0$，解得$y=1$。
(2) 先整理原方程组：
对第一个方程$3(x - 1) = y + 5$去括号、移项得：$3x - y = 8 \quad ③$；
对第二个方程$\dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{x}{5} + 1$，两边同乘15消去分母得：$5(y-1)=3x+15$，去括号、移项得：$-3x + 5y = 20 \quad ④$。
将③+④，消去x得：$4y=28$，解得$y=7$。
把$y=7$代入③得：$3x -7 =8$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=5, \\ y=7 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，加减消元法，去分母法则
【点评】
本题是二元一次方程组的基础计算题，解题时可先观察方程组的系数特点，灵活选择消元方法；若方程组含有括号、分母，需先整理为标准形式再计算，计算过程中要注意移项、去分母时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
6. 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 3①, \\x + 2y = 2 - 3m②\end{cases}$ 的解满足 $ x + y = 2③ $，求 $ m $ 的值。
小罗：将①③联立可得一个新的不含 $ m $ 的二元一次方程组，先求 $ x, y $ 的值，再求 $ m $ 的值。
小湖：哈哈！直接①－②可以更简便地求出 $ m $ 的值。
小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解。
请你结合他们的对话，解答下列问题：
(1)按照小罗的方法，$ x $ 的值为 ______，$ y $ 的值为 ______；
(2)请你按照小湖的思路求出 $ m $ 的值；
(3)老师说：“小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了 ______ 思想。”（填序号即可，①整体代入；②数形结合；③分类讨论）
已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 3①, \\x + 2y = 2 - 3m②\end{cases}$ 的解满足 $ x + y = 2③ $，求 $ m $ 的值。
小罗：将①③联立可得一个新的不含 $ m $ 的二元一次方程组，先求 $ x, y $ 的值，再求 $ m $ 的值。
小湖：哈哈！直接①－②可以更简便地求出 $ m $ 的值。
小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解。
请你结合他们的对话，解答下列问题：
(1)按照小罗的方法，$ x $ 的值为 ______，$ y $ 的值为 ______；
(2)请你按照小湖的思路求出 $ m $ 的值；
(3)老师说：“小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了 ______ 思想。”（填序号即可，①整体代入；②数形结合；③分类讨论）
答案
6. (1) 5 -3
(2) 解:①$-$②,得 $2x+2y=1+3m$,即 $2(x+y)=1+3m$。
因为 $x+y=2$,所以 $4=1+3m$,
解得 $m=1$。
(3) ①
(2) 解:①$-$②,得 $2x+2y=1+3m$,即 $2(x+y)=1+3m$。
因为 $x+y=2$,所以 $4=1+3m$,
解得 $m=1$。
(3) ①
解析
【分析】
(1) 按照小罗的思路，方程①和③都不含参数m，联立这两个方程可得到不含m的二元一次方程组，用加减消元法即可求解x、y的值：先将方程③乘3后与①作差消去x，先求出y的值，再代入③即可求出x的值。
(2) 小湖的思路是直接将①减去②，把得到的式子整理为含(x+y)的形式，再将已知的x+y=2整体代入，不需要单独求解x、y的具体值，就能直接求出m的值，运算更简便。
(3) 小湖的解法没有单独求x、y的取值，而是把x+y看作一个整体代入计算，对应的是整体代入的数学思想。
【解析】
(1) 联立方程①和③得方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 3 \\x + y = 2 \end{cases}$
将$x+y=2$两边同乘3，得$3x+3y=6$ ④
用①减去④得：$(3x+4y)-(3x+3y)=3-6$，解得$y=-3$
将$y=-3$代入$x+y=2$，得$x-3=2$，解得$x=5$。
(2) 用①减去②：
左边：$3x+4y-(x+2y)=2x+2y$
右边：$3-(2-3m)=1+3m$
整理得$2x+2y=1+3m$，即$2(x+y)=1+3m$
把$x+y=2$代入上式，得$2×2=1+3m$，即$4=1+3m$
移项计算得$3m=3$，解得$m=1$。
(3) 小湖的方法将$x+y$看作一个整体代入运算，属于整体代入思想，故选①。
【答案】
(1) $5$，$-3$；(2) $m=1$；(3) ①
【知识点】
二元一次方程组解法，整体代入思想，消元思想
【点评】
本题通过对比不同的解题思路，考查二元一次方程组的求解方法，引导学生灵活选择简便的解题路径，体会数学思想对简化运算的作用，有助于提升学生解题的灵活性和运算效率。
【难度系数】
0.8
(1) 按照小罗的思路，方程①和③都不含参数m，联立这两个方程可得到不含m的二元一次方程组，用加减消元法即可求解x、y的值：先将方程③乘3后与①作差消去x，先求出y的值，再代入③即可求出x的值。
(2) 小湖的思路是直接将①减去②，把得到的式子整理为含(x+y)的形式，再将已知的x+y=2整体代入，不需要单独求解x、y的具体值，就能直接求出m的值，运算更简便。
(3) 小湖的解法没有单独求x、y的取值，而是把x+y看作一个整体代入计算，对应的是整体代入的数学思想。
【解析】
(1) 联立方程①和③得方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 3 \\x + y = 2 \end{cases}$
将$x+y=2$两边同乘3，得$3x+3y=6$ ④
用①减去④得：$(3x+4y)-(3x+3y)=3-6$，解得$y=-3$
将$y=-3$代入$x+y=2$，得$x-3=2$，解得$x=5$。
(2) 用①减去②：
左边：$3x+4y-(x+2y)=2x+2y$
右边：$3-(2-3m)=1+3m$
整理得$2x+2y=1+3m$，即$2(x+y)=1+3m$
把$x+y=2$代入上式，得$2×2=1+3m$，即$4=1+3m$
移项计算得$3m=3$，解得$m=1$。
(3) 小湖的方法将$x+y$看作一个整体代入运算，属于整体代入思想，故选①。
【答案】
(1) $5$，$-3$；(2) $m=1$；(3) ①
【知识点】
二元一次方程组解法，整体代入思想，消元思想
【点评】
本题通过对比不同的解题思路，考查二元一次方程组的求解方法，引导学生灵活选择简便的解题路径，体会数学思想对简化运算的作用，有助于提升学生解题的灵活性和运算效率。
【难度系数】
0.8
