二、拓展性作业
7. 2025年第十五届全国运动会由粤港澳三地共同承办，吉祥物“喜洋洋”“乐融融”颇受欢迎。某公司计划从文创商店购买一批这两种吉祥物周边产品作为员工福利。已知购买4个“喜洋洋”摆件比3个“乐融融”挂件多花200元；购买3个“喜洋洋”摆件和2个“乐融融”挂件共花320元。
(1)求“喜洋洋”摆件和“乐融融”挂件的销售单价各是多少元。
(2)文创商店开展促销活动：购买2个“喜洋洋”摆件赠送1个“乐融融”挂件。该公司需购进20个“喜洋洋”摆件和30个“乐融融”挂件，求此次采购的总费用。

7. 解:(1)设“喜洋洋”摆件的销售单价为 $x$ 元/个,“乐融融”挂件的销售单价为 $y$ 元/个,
由题意 $\begin{cases}4x-3y=200, \\ 3x+2y=320,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=80, \\ y=40。\end{cases}$
答:“喜洋洋”摆件的销售单价为 80 元/个,“乐融融”挂件的销售单价为 40 元/个。
(2)由题意,因为购买 2 个“喜洋洋”摆件赠送 1 个“乐融融”挂件,所以购买 20 个“喜洋洋”摆件,可赠送的“乐融融”挂件为 $20÷2=10$(个)。
又因为需购进“乐融融”挂件共 30 个,所以扣除赠送的 10 个,需单独购买 $30-10=20$(个),
所以此次采购的总费用为 $20×80+20×40=1600+800=2400$(元)。
答:此次采购的总费用为 2400 元。

【分析】
第(1)问是求两个未知单价，可通过设两个未知数，提取题目中的两个等量关系列二元一次方程组求解：第一个等量关系为4个“喜洋洋”摆件的费用减去3个“乐融融”挂件的费用等于200元；第二个等量关系为3个“喜洋洋”摆件的费用加上2个“乐融融”挂件的费用等于320元，解方程组即可得到两个商品的单价。
第(2)问需先根据促销规则计算赠送的“乐融融”挂件数量，再用需要的挂件总数减去赠送数量，得到需要单独付费的挂件数量，最后将摆件的总费用和需付费挂件的总费用求和，就能得到采购总费用。
【解析】
(1)设“喜洋洋”摆件的销售单价为$x$元/个，“乐融融”挂件的销售单价为$y$元/个，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}4x-3y=200 \\ 3x+2y=320\end{cases}$
解方程组：给第一个方程两边同乘2得$8x-6y=400$，第二个方程两边同乘3得$9x+6y=960$，两式相加得$17x=1360$，解得$x=80$。
将$x=80$代入$4x-3y=200$，得$320-3y=200$，解得$y=40$。
(2)由促销规则：购买2个“喜洋洋”摆件赠送1个“乐融融”挂件，购买20个“喜洋洋”摆件可赠送的挂件数量为$20÷2=10$（个）。
需要购进30个“乐融融”挂件，扣除赠送的10个，需单独购买的数量为$30-10=20$（个）。
总费用为：$20×80 + 20×40 = 1600 + 800 = 2400$（元）。
【答案】
(1)“喜洋洋”摆件销售单价为80元/个，“乐融融”挂件销售单价为40元/个；
(2)此次采购的总费用为2400元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，促销费用计算
【点评】
本题结合时事背景考查实际应用问题，解题关键是准确提取等量关系列方程，第二问要理清促销规则，明确赠送商品无需额外付费，避免多算费用。
【难度系数】
0.8

8. 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动。恰逢某中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球。现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究：

素材1 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元。
素材2 甲商场优惠方案：A,B品牌足球均按原价的八折销售。
乙商场优惠方案：
①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的七折销售。
②购买B品牌足球不打折。
问题解决
任务1 (1)求A,B两种品牌足球的原价。
任务2 (2)学校打算购买A,B品牌足球共60个，若设购买A品牌足球$a$个，选择在甲商场购买的总费用为$w_1$元，选择在乙商场购买的总费用为$w_2$元。分别求出$w_1$和$w_2$关于$a$的函数关系式。
任务3 (3)任务2中$w_1$和$w_2$的函数图象如图5-2所示，请结合函数图象分析学校选择哪个商场购买足球更合算。

8. 解:(1)设 A 品牌足球的单价为 $x$ 元,B品牌足球的单价为 $y$ 元。
依据题意得 $\begin{cases}3x+4y=440, \\ x+2y=180,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=80, \\ y=50,\end{cases}$
所以 A 品牌足球的单价是 80 元,B品牌足球的单价是 50 元。
(2)选择在甲商场购买的总费用:$w_1=0.8[80a+50(60-a)]$,即 $w_1=24a+2400$。
选择在乙商场购买的总费用:当 $0≤ a≤ 8$ 时,$w_2=80a+50(60-a)$,即 $w_2=30a+3000$;
当 $8＜ a≤ 60$ 时,$w_2=80×8+80×0.7×(a-8)+50(60-a)$,即 $w_2=6a+3192$。
综上所述,选择甲商场购买的总费用 $w_1=24a+2400(0≤ a ≤ 60)$,选择乙商场购买的总费用 $w_2=\begin{cases}30a+3000,0≤ a≤ 8, \\ 6a+3192,8＜ a≤ 60。\end{cases}$
(3)当甲、乙两商场总花费相等时,可列方程 $24a+2400=6a+3192$,
解得 $a=44$,结合函数图象可得
当 $a＜44$ 时,$w_1＜w_2$,即购买 A 品牌足球数量少于 44 个时,选择甲商场购买更合算。
当 $a=44$ 时,$w_1=w_2$,即购买 A 品牌足球数量等于 44 个时,选择甲、乙商场购买都可以。
当 $a＞44$ 时,$w_1＞w_2$,即购买 A 品牌足球数量大于 44 个时,选择乙商场购买更合算。

【分析】
(1) 求A、B两种足球的原价可通过设未知数列方程组解决：根据素材1中两组购买的总价等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组求解即可。
(2) 求总费用的函数关系式：甲商场所有商品按八折销售，先计算购买a个A品牌、(60-a)个B品牌的原价总和，再乘0.8化简可得$w_1$；乙商场A品牌优惠分两种情况，因此分$0≤ a≤8$、$8＜a≤60$两类，分别按优惠规则计算A品牌费用，加上不打折的B品牌总费用，化简即可得到对应区间的$w_2$。
(3) 判断哪个商场更合算即比较$w_1$和$w_2$的大小：先求出两个函数值相等时a的取值，再结合函数增减性或图象，分情况讨论不同a范围对应的费用高低即可。
【解析】
(1) 设A品牌足球的单价为$x$元，B品牌足球的单价为$y$元，依据题意得：
$\begin{cases}3x+4y=440 \\ x+2y=180\end{cases}$
将第二个方程乘2得$2x+4y=360$，用第一个方程减去该式得$x=80$，将$x=80$代入$x+2y=180$，解得$y=50$。
(2) 购买A品牌足球$a$个，则购买B品牌足球$(60-a)$个：
甲商场总费用：$w_1=0.8[80a+50(60-a)]$，化简得$w_1=24a+2400(0≤ a≤60)$。
乙商场总费用分两种情况：
①当$0≤ a≤8$时，$w_2=80a+50(60-a)$，化简得$w_2=30a+3000$；
②当$8＜ a≤60$时，$w_2=80×8+80×0.7×(a-8)+50(60-a)$，化简得$w_2=6a+3192$。
综上$w_2=\begin{cases}30a+3000&(0≤ a≤8) \\ 6a+3192&(8＜ a≤60)\end{cases}$。
(3) 当$8＜ a≤60$时，令$w_1=w_2$，即$24a+2400=6a+3192$，解得$a=44$。
结合函数性质可得：
当$a＜44$时，$w_1＜w_2$；当$a=44$时，$w_1=w_2$；当$a＞44$时，$w_1＞w_2$（$0≤ a≤8$时$w_1＜w_2$恒成立，符合$a＜44$的结论）。
【答案】
(1) A品牌足球原价为80元，B品牌足球原价为50元；
(2) $w_1=24a+2400(0≤ a≤60)$，$w_2=\begin{cases}30a+3000&(0≤ a≤8) \\ 6a+3192&(8＜ a≤60)\end{cases}$；
(3) 购买A品牌足球数量少于44个时选甲商场更合算；购买数量等于44个时两商场费用相同；购买数量多于44个时选乙商场更合算。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，分段函数
【点评】
本题结合生活中的购物促销场景，将方程、函数知识与实际问题结合，考查了学生提取信息、建立数学模型、分类讨论解决问题的能力，兼具基础性和实用性。
【难度系数】
0.6