登录
1. 如图1-1-10，“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽创制的。以直角三角形的斜边为边得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成。若∠AEB=90°, AB=13 cm, BE=5 cm,则阴影部分的面积是(
A.$169\ \mathrm{cm}^2$
B.$25\ \mathrm{cm}^2$
C.$49\ \mathrm{cm}^2$
D.$64\ \mathrm{cm}^2$
C
)。A.$169\ \mathrm{cm}^2$
B.$25\ \mathrm{cm}^2$
C.$49\ \mathrm{cm}^2$
D.$64\ \mathrm{cm}^2$
答案
1. C
解析
【分析】
要计算阴影小正方形的面积，需先求出小正方形的边长：①首先在$Rt△ AEB$中，已知斜边$AB$和直角边$BE$的长度，可通过勾股定理求出另一条直角边$AE$的长度；②根据赵爽弦图中4个直角三角形全等的性质，可得与$BE$对应的边$AH$长度等于$BE$；③小正方形的边长为$AE$减去$AH$，最后根据正方形面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
在$Rt△ AEB$中，$∠ AEB=90°$，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$BE=5\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
∵ 赵爽弦图中的4个直角三角形全等
∴ $AH=BE=5\ \mathrm{cm}$
∴ 阴影小正方形的边长$HE=AE-AH=12-5=7\ \mathrm{cm}$
∴ 阴影部分的面积$S=7^2=49\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，正方形面积计算
【点评】
本题以我国古代数学成就“赵爽弦图”为背景，考查几何基础知识的应用，解题的关键是利用勾股定理和全等三角形的边的关系求出小正方形的边长，题型典型，注重基础。
【难度系数】
0.7
要计算阴影小正方形的面积，需先求出小正方形的边长：①首先在$Rt△ AEB$中，已知斜边$AB$和直角边$BE$的长度，可通过勾股定理求出另一条直角边$AE$的长度；②根据赵爽弦图中4个直角三角形全等的性质，可得与$BE$对应的边$AH$长度等于$BE$；③小正方形的边长为$AE$减去$AH$，最后根据正方形面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
在$Rt△ AEB$中，$∠ AEB=90°$，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$BE=5\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
∵ 赵爽弦图中的4个直角三角形全等
∴ $AH=BE=5\ \mathrm{cm}$
∴ 阴影小正方形的边长$HE=AE-AH=12-5=7\ \mathrm{cm}$
∴ 阴影部分的面积$S=7^2=49\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，正方形面积计算
【点评】
本题以我国古代数学成就“赵爽弦图”为背景，考查几何基础知识的应用，解题的关键是利用勾股定理和全等三角形的边的关系求出小正方形的边长，题型典型，注重基础。
【难度系数】
0.7
2. 如图1-1-11，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条长10 m的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有
6
m。答案
2. 6
解析
【分析】
这道题是生活场景的几何应用问题，首先可以将电线杆、地面、缆绳的结构抽象为直角三角形：电线杆垂直地面，因此电线杆、地面固定点到电线杆底部的线段、缆绳分别对应直角三角形的两条直角边和斜边。已知斜边长（缆绳长10m）和一条直角边长（电线杆离地面高度8m），要求另一条直角边的长度，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：因为电线杆垂直于地面，所以电线杆、地面固定点到电线杆底部的线段、缆绳构成直角三角形，其中缆绳为斜边。
设缆绳地面固定点距离电线杆底部的长度为$ x $ m，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”可得：
$ x^2 + 8^2 = 10^2 $
整理得：$ x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 $
因为长度为正数，所以$ x = \sqrt{36} = 6 $
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；勾股定理实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，再代入勾股定理计算即可，注意计算时边长需取正数值。
【难度系数】
0.8
这道题是生活场景的几何应用问题，首先可以将电线杆、地面、缆绳的结构抽象为直角三角形：电线杆垂直地面，因此电线杆、地面固定点到电线杆底部的线段、缆绳分别对应直角三角形的两条直角边和斜边。已知斜边长（缆绳长10m）和一条直角边长（电线杆离地面高度8m），要求另一条直角边的长度，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：因为电线杆垂直于地面，所以电线杆、地面固定点到电线杆底部的线段、缆绳构成直角三角形，其中缆绳为斜边。
设缆绳地面固定点距离电线杆底部的长度为$ x $ m，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”可得：
$ x^2 + 8^2 = 10^2 $
整理得：$ x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 $
因为长度为正数，所以$ x = \sqrt{36} = 6 $
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；勾股定理实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，再代入勾股定理计算即可，注意计算时边长需取正数值。
【难度系数】
0.8
3. 如图1-1-12，一棵树在离地面9 m处断裂，树的顶部落在离树底部12 m处。树折断之前高
24
m。答案
3. 24
解析
【分析】
这是勾股定理的实际应用问题，我们可以将场景转化为直角三角形模型求解：树断裂后，未断裂的9m树干、树顶到树底的12m水平距离、断裂的树身刚好构成直角三角形，其中两条直角边长度分别为9m和12m，断裂部分为斜边。先通过勾股定理计算出断裂部分的长度，再加上未断裂的9m，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：根据题意，断裂后形成的直角三角形的两条直角边长分别为9m、12m。
由勾股定理得，断裂部分的长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{m}$
树折断前的总高度为未断裂部分加断裂部分的长度：
$9 + 15 = 24\ \mathrm{m}$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的基础题型，解题关键是准确将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，需注意最终要求的是树的总高度，不要漏加未断裂的9m部分。
【难度系数】
0.8
这是勾股定理的实际应用问题，我们可以将场景转化为直角三角形模型求解：树断裂后，未断裂的9m树干、树顶到树底的12m水平距离、断裂的树身刚好构成直角三角形，其中两条直角边长度分别为9m和12m，断裂部分为斜边。先通过勾股定理计算出断裂部分的长度，再加上未断裂的9m，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：根据题意，断裂后形成的直角三角形的两条直角边长分别为9m、12m。
由勾股定理得，断裂部分的长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{m}$
树折断前的总高度为未断裂部分加断裂部分的长度：
$9 + 15 = 24\ \mathrm{m}$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的基础题型，解题关键是准确将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，需注意最终要求的是树的总高度，不要漏加未断裂的9m部分。
【难度系数】
0.8
4. 一个长方形零件如图 1-1-13 所示,根据所给尺寸(单位:mm)可知两孔中心 A,B 之间的距离是
图 1-1-13
13 mm
。图 1-1-13
答案
4. 13 mm
解析
【分析】
要求两孔中心A、B的距离，我们可通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为求直角三角形斜边的长度。首先分别计算A、B两点在水平方向、竖直方向的距离差，得到直角三角形的两条直角边长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
过点A作水平辅助线，过点B作竖直辅助线，两线交于点C，可得△ABC为直角三角形，$∠ C=90°$。
1. 计算水平直角边$AC$的长度：由图可知A距左侧边缘4mm，B距左侧边缘16mm，因此$AC=16-4=12(\mathrm{mm})$。
2. 计算竖直直角边$BC$的长度：由图可知A距底部边缘9mm，B距底部边缘4mm，因此$BC=9-4=5(\mathrm{mm})$。
3. 根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值得：
$AB^2=12^2+5^2=144+25=169$，因此$AB=\sqrt{169}=13(\mathrm{mm})$。
【答案】
13 mm
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，准确计算两条直角边的长度后代入勾股定理求解即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要求两孔中心A、B的距离，我们可通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为求直角三角形斜边的长度。首先分别计算A、B两点在水平方向、竖直方向的距离差，得到直角三角形的两条直角边长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
过点A作水平辅助线，过点B作竖直辅助线，两线交于点C，可得△ABC为直角三角形，$∠ C=90°$。
1. 计算水平直角边$AC$的长度：由图可知A距左侧边缘4mm，B距左侧边缘16mm，因此$AC=16-4=12(\mathrm{mm})$。
2. 计算竖直直角边$BC$的长度：由图可知A距底部边缘9mm，B距底部边缘4mm，因此$BC=9-4=5(\mathrm{mm})$。
3. 根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值得：
$AB^2=12^2+5^2=144+25=169$，因此$AB=\sqrt{169}=13(\mathrm{mm})$。
【答案】
13 mm
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，准确计算两条直角边的长度后代入勾股定理求解即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一。据《周髀算经》记载，勾股定理在商代由商高发现，故又称之为“商高定理”；三国时期的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了证明。图1-1-14的图形中可以用来验证勾股定理的有
图1-1-14
3
个。图1-1-14
答案
5. 3
解析
【分析】
验证勾股定理的核心方法是等面积法：对同一图形用两种不同方式计算面积，若化简等式后可得到$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理。我们逐个分析四个图形：
1. 第一个图是赵爽弦图，可通过大正方形面积等于4个直角三角形加中间小正方形面积推导，化简可得到$a^2+b^2=c^2$；
2. 第二个图仅能推导完全平方和公式，表达式中无$c$，无法得到勾股定理；
3. 第三个图是边长为$a+b$的大正方形，其面积等于4个直角三角形加中间边长为$c$的正方形面积，化简可得到勾股定理；
4. 第四个图是总统证法的梯形图，梯形面积等于2个全等直角三角形加1个等腰直角三角形的面积和，化简可得到勾股定理。
【解析】
我们逐个验证：
1. 第一个图形：大正方形边长为$c$，面积$S=c^2$；
它也等于4个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积加边长为$(b-a)$的小正方形面积：
$S=4× \frac{1}{2}ab + (b-a)^2=2ab + b^2 - 2ab + a^2=a^2 + b^2$，
因此$a^2 + b^2=c^2$，可验证勾股定理。
2. 第二个图形：大正方形边长为$a+b$，面积$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
它也等于边长为$a$的正方形、边长为$b$的正方形加2个长$a$宽$b$的长方形面积之和：$S=a^2 + b^2 + 2ab$，
化简后为完全平方和公式，不含$c$，无法得到$a^2+b^2=c^2$，不能验证。
3. 第三个图形：大正方形边长为$a+b$，面积$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
它也等于4个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积加边长为$c$的正方形面积：
$S=4× \frac{1}{2}ab + c^2=2ab + c^2$，
联立得$a^2+2ab+b^2=2ab + c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
4. 第四个图形：梯形上底$a$、下底$b$、高为$a+b$，面积$S=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{2}$；
它也等于2个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积加直角边为$c$的等腰直角三角形面积：
$S=2× \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2=ab + \frac{1}{2}c^2$，
联立得$\frac{a^2+2ab+b^2}{2}=ab + \frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
综上，能验证勾股定理的有3个。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理的验证；等面积法；完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的验证方法，核心是掌握等面积法的应用，能通过不同方式表示图形面积并化简推导，同时需要熟悉常见的勾股定理验证模型，如赵爽弦图、总统证法图形等。
【难度系数】
0.7
验证勾股定理的核心方法是等面积法：对同一图形用两种不同方式计算面积，若化简等式后可得到$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理。我们逐个分析四个图形：
1. 第一个图是赵爽弦图，可通过大正方形面积等于4个直角三角形加中间小正方形面积推导，化简可得到$a^2+b^2=c^2$；
2. 第二个图仅能推导完全平方和公式，表达式中无$c$，无法得到勾股定理；
3. 第三个图是边长为$a+b$的大正方形，其面积等于4个直角三角形加中间边长为$c$的正方形面积，化简可得到勾股定理；
4. 第四个图是总统证法的梯形图，梯形面积等于2个全等直角三角形加1个等腰直角三角形的面积和，化简可得到勾股定理。
【解析】
我们逐个验证：
1. 第一个图形：大正方形边长为$c$，面积$S=c^2$；
它也等于4个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积加边长为$(b-a)$的小正方形面积：
$S=4× \frac{1}{2}ab + (b-a)^2=2ab + b^2 - 2ab + a^2=a^2 + b^2$，
因此$a^2 + b^2=c^2$，可验证勾股定理。
2. 第二个图形：大正方形边长为$a+b$，面积$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
它也等于边长为$a$的正方形、边长为$b$的正方形加2个长$a$宽$b$的长方形面积之和：$S=a^2 + b^2 + 2ab$，
化简后为完全平方和公式，不含$c$，无法得到$a^2+b^2=c^2$，不能验证。
3. 第三个图形：大正方形边长为$a+b$，面积$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
它也等于4个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积加边长为$c$的正方形面积：
$S=4× \frac{1}{2}ab + c^2=2ab + c^2$，
联立得$a^2+2ab+b^2=2ab + c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
4. 第四个图形：梯形上底$a$、下底$b$、高为$a+b$，面积$S=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{2}$；
它也等于2个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积加直角边为$c$的等腰直角三角形面积：
$S=2× \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2=ab + \frac{1}{2}c^2$，
联立得$\frac{a^2+2ab+b^2}{2}=ab + \frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2+b^2=c^2$，可验证勾股定理。
综上，能验证勾股定理的有3个。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理的验证；等面积法；完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的验证方法，核心是掌握等面积法的应用，能通过不同方式表示图形面积并化简推导，同时需要熟悉常见的勾股定理验证模型，如赵爽弦图、总统证法图形等。
【难度系数】
0.7
6. 一个门框尺寸如图1-1-15所示，一块长2.5 m、宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
图1-1-15
图1-1-15
答案
6. 解:能通过。
理由:如答图1-1-2
,连接 AC,在 Rt△ABC 中,AB=1 m,BC=2 m,所以 AC²=AB²+BC²=1²+2²=5。
又因为 2.2²=4.84＜5，
所以 AC＞木板的宽，
所以木板能从门框内通过。
解析
【分析】
要判断木板能否从门框通过，首先观察门框的尺寸：竖直高度2m、水平宽度1m，均小于木板的宽2.2m，因此直接竖直或水平放置都无法通过，此时需要考虑斜向放置时门框可容纳的最大宽度，即门框的对角线长度。我们可以连接门框的对角线AC，构造直角三角形，利用勾股定理求出AC的长度，再将AC的长度与木板的宽度比较，若AC更长则木板可以斜着通过，反之则不能。
【解析】
解：能通过，理由如下：
如答图1-1-2，连接AC，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=1\ \mathrm{m}$，$BC=2\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理可得：$AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$，
计算木板宽度的平方：$2.2^2=4.84$，
因为$4.84＜5$，所以$AC＞2.2\ \mathrm{m}$，即门框对角线长度大于木板的宽度，
因此木板可以斜着从门框内通过。
【答案】
能通过。
理由:如答图1-1-2,连接 AC,在 Rt△ABC 中,AB=1 m,BC=2 m,
所以 AC²=AB²+BC²=1²+2²=5。
又因为 2.2²=4.84＜5，
所以 AC＞木板的宽，
所以木板能从门框内通过。
【知识点】
勾股定理，实数大小比较，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题的关键是将实际场景转化为数学问题，明确斜放时门框的最大通行宽度为对角线长度，通过勾股定理计算边长再作比较即可求解，能锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断木板能否从门框通过，首先观察门框的尺寸：竖直高度2m、水平宽度1m，均小于木板的宽2.2m，因此直接竖直或水平放置都无法通过，此时需要考虑斜向放置时门框可容纳的最大宽度，即门框的对角线长度。我们可以连接门框的对角线AC，构造直角三角形，利用勾股定理求出AC的长度，再将AC的长度与木板的宽度比较，若AC更长则木板可以斜着通过，反之则不能。
【解析】
解：能通过，理由如下：
如答图1-1-2
，连接AC，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=1\ \mathrm{m}$，$BC=2\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：$AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$，
计算木板宽度的平方：$2.2^2=4.84$，
因为$4.84＜5$，所以$AC＞2.2\ \mathrm{m}$，即门框对角线长度大于木板的宽度，
因此木板可以斜着从门框内通过。
【答案】
能通过。
理由:如答图1-1-2
,连接 AC,在 Rt△ABC 中,AB=1 m,BC=2 m,所以 AC²=AB²+BC²=1²+2²=5。
又因为 2.2²=4.84＜5，
所以 AC＞木板的宽，
所以木板能从门框内通过。
【知识点】
勾股定理，实数大小比较，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题的关键是将实际场景转化为数学问题，明确斜放时门框的最大通行宽度为对角线长度，通过勾股定理计算边长再作比较即可求解，能锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
