8. 如图1-1-7，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图。
(1)在图1-1-7①中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数。
(2)在图1-1-7②中，画出一个面积为10的正方形。

8. 解:(1)如答图1-1-1①所示(答案不唯一)。
(2)如答图1-1-1②所示(答案不唯一)。

【分析】
(1) 要画三边均为整数的直角三角形，结合勾股定理，可选用常见勾股数3、4、5：网格中水平取4个单位长度、竖直取3个单位长度作为两条直角边，根据勾股定理可算出斜边长度为5，三边均为整数，满足要求，答案不唯一。
(2) 面积为10的正方形，边长为√10，根据勾股定理，直角边分别为1和3的直角三角形的斜边长为√(1²+3²)=√10，以此长度为正方形的边长，画出四条互相垂直且长度为√10的线段，端点均落在格点上，即可得到符合要求的正方形。
【解析】
(1) 要使直角三角形三边均为整数，我们选取勾股数3,4,5作图：
在图①中，水平方向取长为4的线段作为一条直角边，竖直方向取长为3的线段作为另一条直角边，连接两条直角边的另外两个端点，可得斜边长为√(3²+4²)=5，三边均为整数，且为直角三角形，符合要求，作图答案不唯一。
(2) 面积为10的正方形，边长为√10，据此作图：
根据勾股定理，直角边为1和3的直角三角形的斜边长度为√(1²+3²)=√10，在图②中依次画出4条长度为√10、相邻线段互相垂直的线段，保证所有端点均在格点上，围成的正方形面积为(√10)²=10，符合要求，作图答案不唯一。
【答案】
(1)如答图1-1-1①所示(答案不唯一)。
(2)如答图1-1-1②所示(答案不唯一)。
【知识点】
勾股定理，格点作图，正方形面积计算
【点评】
本题是格点作图类基础题，核心是利用勾股定理求出符合要求的线段长度，再结合直角三角形、正方形的性质作图即可，答案不唯一，只要符合题干要求均正确。
【难度系数】
0.8

二、拓展性作业
9. 如图1-1-8，在$△ ABC$中，$AB=10$，$BC=8$，$AE$为$BC$边上的高，$AE=7$，$P$为$AB$上一动点，则$PC$的最小值为。

9. 5.6

【分析】
要解决动点P使得PC最短的问题，首先根据“垂线段最短”的性质，可确定当PC垂直于AB时，PC的长度最小。接下来利用三角形面积的两种不同计算方式（分别以BC、AB为底计算面积）建立等量关系，即可求出最短PC的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当$CP⊥ AB$时，$PC$的长度取得最小值。
$△ ABC$的面积可通过两种方式计算：
1. 以$BC$为底，$AE$为高：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$，代入$BC=8$，$AE=7$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×7=28$。
2. 以$AB$为底，最短的$PC$为高：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× PC$，代入$AB=10$，$S_{△ ABC}=28$，可得：
$\frac{1}{2}×10× PC=28$
$5PC=28$
解得$PC=5.6$。
【答案】
5.6
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等积法求线段长
【点评】
本题属于线段最值类基础题，解题的关键是先利用垂线段的性质确定PC取最小值的位置，再通过等积法建立等式求解，是几何最值问题中比较典型的题型。
【难度系数】
0.6

10. 如图 1-1-9①,分别以 Rt△ABC 三条边为边向外作正方形,其面积分别用 $S_1,S_2,S_3$ 表示,则不难证明 $S_1=S_2+S_3$。

图 1-1-9
【类比探究】
(1)如图 1-1-9②,分别以 Rt△ABC 三条边为直径向外作半圆,其面积分别用 $S_1,S_2,S_3$ 表示,请写出 $S_1,S_2,S_3$ 之间满足的等量关系,并说明理由。
【探究应用】
(2)如图 1-1-9③,分别以 Rt△ABC 三条边为斜边向外作等腰直角三角形,其面积分别用 $S_1,S_2,S_3$ 表示,则 $S_1,S_2,S_3$ 之间满足的等量关系是 。
【拓展应用】
(3)如图 1-1-9④,四边形 ABCD 的对角线互相垂直,现分别以四边形 ABCD 的四条边为边向外作正方形,其面积分别为 $S_1,S_2,S_3,S_4$。请写出 $S_1,S_2,S_3$ 和 $S_4$ 之间满足的等量关系,并说明理由。

10. (1)解:$S_1=S_2+S_3$。
理由:在Rt△ABC 中,利用勾股定理得 $AB^2=BC^2+AC^2$,
所以 $\frac{π}{8}AB^2=\frac{π}{8}BC^2+\frac{π}{8}AC^2$,即 $S_1=S_2+S_3$。
(2)$S_1=S_2+S_3$
(3)解:$S_1+S_3=S_2+S_4$。
理由:设 AC,BD 交于点 O。
因为 AC⊥BD，
所以 $S_1+S_3=OA^2+OB^2+OD^2+OC^2$,$S_2+S_4=OB^2+OC^2+OA^2+OD^2$,
所以 $S_1+S_3=S_2+S_4$。

【分析】
这是勾股定理的变式应用类题目，解题核心是将各图形面积用对应边长表示，再结合勾股定理推导面积关系：
1. 第(1)问先写出半圆面积公式，用Rt△ABC的三边分别表示三个半圆的面积，再结合勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$推导面积的等量关系；
2. 第(2)问同理，先写出斜边为边长的等腰直角三角形面积公式，用三边分别表示三个等腰直角三角形的面积，代入勾股定理即可得到面积关系；
3. 第(3)问中四边形对角线互相垂直，因此对角线分割出的四个小三角形均为直角三角形，分别用勾股定理表示四条边的平方（即对应正方形的面积），合并后即可得到四个面积的等量关系。
【解析】
(1) 等量关系：$S_1=S_2+S_3$
理由：设$Rt△ ABC$中$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π(\frac{d}{2})^2=\frac{π d^2}{8}$（$d$为直径），因此$S_1=\frac{π c^2}{8}$，$S_2=\frac{π a^2}{8}$，$S_3=\frac{π b^2}{8}$。
则$S_2+S_3=\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}=S_1$，即$S_1=S_2+S_3$。
(2) 设$Rt△ ABC$中$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2$。
斜边为$d$的等腰直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{4}d^2$，因此$S_1=\frac{1}{4}c^2$，$S_2=\frac{1}{4}a^2$，$S_3=\frac{1}{4}b^2$。
则$S_2+S_3=\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)=\frac{1}{4}c^2=S_1$。
(3) 等量关系：$S_1+S_3=S_2+S_4$
理由：设对角线$AC$、$BD$交于点$O$，$\because AC⊥ BD$，$\therefore △ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ DOA$均为直角三角形。
由勾股定理得：$AB^2=OA^2+OB^2$，$BC^2=OB^2+OC^2$，$CD^2=OC^2+OD^2$，$DA^2=OD^2+OA^2$。
正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AB^2$，$S_2=BC^2$，$S_3=CD^2$，$S_4=DA^2$。
则$S_1+S_3=AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$，$S_2+S_4=BC^2+DA^2=OB^2+OC^2+OD^2+OA^2$，因此$S_1+S_3=S_2+S_4$。
【答案】
(1) $S_1=S_2+S_3$，理由见解析；
(2) $S_1=S_2+S_3$；
(3) $S_1+S_3=S_2+S_4$，理由见解析。
【知识点】
勾股定理、图形面积计算、直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用题型，通过不同的图形情境考查对勾股定理的灵活运用能力，解题关键是建立图形面积和对应边长平方的关联，再结合勾股定理推导等量关系，是勾股定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7