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【例1】经过技术改进，某次列车平均提速20 km/h，在列车提速前行驶540 km所用的时间下，提速后比提速前可多行驶60 km，求这次列车提速前的平均速度.
规律总结 列方程的关键是要先找到等量关系，再依题意列方程. 列分式方程解应用题时，一定要注意检验两点：验根和验题意.
【变式1】小王从A地开车去B地，两地相距240 km. 原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1 h到达.由此可列方程为 （
A.$\frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$
C.$\frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1$
D.$x + 1.5x = 240$
【变式2】某地为美化环境，计划种植树木1 000棵. 由于志愿者的加入，实际每天种植的棵数比原计划增加了25%，结果提前2天完成任务，则实际每天植树
规律总结 列方程的关键是要先找到等量关系，再依题意列方程. 列分式方程解应用题时，一定要注意检验两点：验根和验题意.
【变式1】小王从A地开车去B地，两地相距240 km. 原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1 h到达.由此可列方程为 （
B
）A.$\frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$
C.$\frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1$
D.$x + 1.5x = 240$
【变式2】某地为美化环境，计划种植树木1 000棵. 由于志愿者的加入，实际每天种植的棵数比原计划增加了25%，结果提前2天完成任务，则实际每天植树
125
棵.答案
例1 解:设这次列车提速前的平均速度为x km/h.
根据题意,得$\frac{540}{x}=\frac{540+60}{x+20}$,
解得$x=180$.
经检验,$x=180$是原方程的解,且符合题意.
答:这次列车提速前的平均速度为 180 km/h.
变式1 B
变式2 125
根据题意,得$\frac{540}{x}=\frac{540+60}{x+20}$,
解得$x=180$.
经检验,$x=180$是原方程的解,且符合题意.
答:这次列车提速前的平均速度为 180 km/h.
变式1 B
变式2 125
解析
【分析】
这三道题均为分式方程的实际应用类题目，解题核心是先明确问题类型，找准题干中的等量关系，设未知数列方程求解，最后注意分式方程需要双检验（验根、验实际意义）。
1. 例1为行程问题：核心公式是$时间=路程÷ 速度$，等量关系为“提速前行驶540km的时间=提速后行驶（540+60）km的时间”，结合提速前后的速度差即可列方程求解。
2. 变式1为行程问题：等量关系为“原计划行驶时间-实际行驶时间=1h”，先求出实际速度，再用路程除以速度表示两个时间，即可判断正确方程。
3. 变式2为工程类问题：核心公式是$工作时间=工作总量÷ 工作效率$，等量关系为“原计划种植天数-实际种植天数=2天”，设原计划日种植量为未知数，结合实际效率和原计划效率的关系列方程，求解后换算为实际日种植量即可。
【解析】
★例1解析：
解：设这次列车提速前的平均速度为$x$ km/h，则提速后的平均速度为$(x+20)$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{540}{x}=\frac{540+60}{x+20}$
去分母得：$540(x+20)=600x$
展开整理得：$60x=10800$
解得：$x=180$
检验：当$x=180$时，$x(x+20)≠0$，且符合实际行程的速度要求，所以$x=180$是原方程的解。
★变式1解析：
实际平均速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，
原计划行驶时间为$\frac{240}{x}$ h，实际行驶时间为$\frac{240}{1.5x}$ h，
由提前1h到达可得：$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$，对应选项B。
★变式2解析：
解：设原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树$1.25x$棵，
根据题意列方程：
$\frac{1000}{x} - \frac{1000}{1.25x} = 2$
去分母得：$1250-1000=2.5x$
解得：$x=100$
检验：$x=100$是原方程的解且符合题意，
所以实际每天植树$1.25×100=125$棵。
【答案】
例1：180 km/h
变式1：B
变式2：125
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，工程问题公式
【点评】
这组题考查分式方程在实际场景中的应用，解题关键是结合行程、工程类问题的基本公式，精准捕捉时间差的等量关系列方程，要牢记分式方程求解后必须双检验，确保答案的有效性。
【难度系数】
0.7
这三道题均为分式方程的实际应用类题目，解题核心是先明确问题类型，找准题干中的等量关系，设未知数列方程求解，最后注意分式方程需要双检验（验根、验实际意义）。
1. 例1为行程问题：核心公式是$时间=路程÷ 速度$，等量关系为“提速前行驶540km的时间=提速后行驶（540+60）km的时间”，结合提速前后的速度差即可列方程求解。
2. 变式1为行程问题：等量关系为“原计划行驶时间-实际行驶时间=1h”，先求出实际速度，再用路程除以速度表示两个时间，即可判断正确方程。
3. 变式2为工程类问题：核心公式是$工作时间=工作总量÷ 工作效率$，等量关系为“原计划种植天数-实际种植天数=2天”，设原计划日种植量为未知数，结合实际效率和原计划效率的关系列方程，求解后换算为实际日种植量即可。
【解析】
★例1解析：
解：设这次列车提速前的平均速度为$x$ km/h，则提速后的平均速度为$(x+20)$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{540}{x}=\frac{540+60}{x+20}$
去分母得：$540(x+20)=600x$
展开整理得：$60x=10800$
解得：$x=180$
检验：当$x=180$时，$x(x+20)≠0$，且符合实际行程的速度要求，所以$x=180$是原方程的解。
★变式1解析：
实际平均速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，
原计划行驶时间为$\frac{240}{x}$ h，实际行驶时间为$\frac{240}{1.5x}$ h，
由提前1h到达可得：$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$，对应选项B。
★变式2解析：
解：设原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树$1.25x$棵，
根据题意列方程：
$\frac{1000}{x} - \frac{1000}{1.25x} = 2$
去分母得：$1250-1000=2.5x$
解得：$x=100$
检验：$x=100$是原方程的解且符合题意，
所以实际每天植树$1.25×100=125$棵。
【答案】
例1：180 km/h
变式1：B
变式2：125
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，工程问题公式
【点评】
这组题考查分式方程在实际场景中的应用，解题关键是结合行程、工程类问题的基本公式，精准捕捉时间差的等量关系列方程，要牢记分式方程求解后必须双检验，确保答案的有效性。
【难度系数】
0.7
【例2】(开封模拟)某市第四十届元旦越野跑在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作A，B两种纪念章.经了解，每个A种纪念章比每个B种纪念章多4元，用1000元定制A种纪念章的数量与用800元定制B种纪念章的数量相同，A，B两种纪念章每个的价格各为多少元？
答案
解:设B种纪念章为x元/件,则A种纪念章为(x+4)元/件,
根据题意,得$\frac{1\ 000}{x+4}=\frac{800}{x}$,
解得$x=16$,
经检验,$x=16$是原分式方程的解,且符合题意,
所以$x+4=20$.
答:每个A种纪念章和B种纪念章的价格分别为20元和16元.
根据题意,得$\frac{1\ 000}{x+4}=\frac{800}{x}$,
解得$x=16$,
经检验,$x=16$是原分式方程的解,且符合题意,
所以$x+4=20$.
答:每个A种纪念章和B种纪念章的价格分别为20元和16元.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：用1000元定制A种纪念章的数量=用800元定制B种纪念章的数量。首先设B种纪念章单价为x元，根据“A种纪念章比B种多4元”可表示出A种纪念章单价为(x+4)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种纪念章的定制数量，根据等量关系列分式方程，求解后必须检验根是否为原方程的解且符合实际意义，最后推导A种纪念章的单价即可。
【解析】
解：设B种纪念章的单价为x元/个，则A种纪念章的单价为(x+4)元/个。
根据题意，列方程得：
$\frac{1000}{x+4}=\frac{800}{x}$
方程两边同乘$x(x+4)$去分母得：
$1000x=800(x+4)$
展开、移项合并同类项得：
$200x=3200$
解得$x=16$
检验：当$x=16$时，$x(x+4)=16×20=320≠0$，所以$x=16$是原分式方程的解，且符合实际题意。
则A种纪念章的单价为$x+4=16+4=20$（元）。
【答案】
每个A种纪念章价格为20元，每个B种纪念章价格为16元。
【知识点】
分式方程的应用；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程结合购物场景的基础应用题，解题关键是提取题干中的数量等量关系列方程，求解时需注意分式方程必须验根，既要验证根符合方程本身，也要验证根符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：用1000元定制A种纪念章的数量=用800元定制B种纪念章的数量。首先设B种纪念章单价为x元，根据“A种纪念章比B种多4元”可表示出A种纪念章单价为(x+4)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种纪念章的定制数量，根据等量关系列分式方程，求解后必须检验根是否为原方程的解且符合实际意义，最后推导A种纪念章的单价即可。
【解析】
解：设B种纪念章的单价为x元/个，则A种纪念章的单价为(x+4)元/个。
根据题意，列方程得：
$\frac{1000}{x+4}=\frac{800}{x}$
方程两边同乘$x(x+4)$去分母得：
$1000x=800(x+4)$
展开、移项合并同类项得：
$200x=3200$
解得$x=16$
检验：当$x=16$时，$x(x+4)=16×20=320≠0$，所以$x=16$是原分式方程的解，且符合实际题意。
则A种纪念章的单价为$x+4=16+4=20$（元）。
【答案】
每个A种纪念章价格为20元，每个B种纪念章价格为16元。
【知识点】
分式方程的应用；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程结合购物场景的基础应用题，解题关键是提取题干中的数量等量关系列方程，求解时需注意分式方程必须验根，既要验证根符合方程本身，也要验证根符合实际意义。
【难度系数】
0.7
