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【变式1】某电商用12 000元购进某种“脆红李”进行销售.面市后,线上订单猛增,供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,但数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价.设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件,根据题意可列方程为
（
A.$\frac{12000}{x}=\frac{11000}{x-5}-40$
B.$\frac{12000}{x}-40=\frac{11000}{x+5}$
C.$\frac{12000}{x+5}+40=\frac{11000}{x}$
D.$\frac{11000}{x}+40=\frac{12000}{x-5}$
（
A
）A.$\frac{12000}{x}=\frac{11000}{x-5}-40$
B.$\frac{12000}{x}-40=\frac{11000}{x+5}$
C.$\frac{12000}{x+5}+40=\frac{11000}{x}$
D.$\frac{11000}{x}+40=\frac{12000}{x-5}$
答案
变式1 A
解析
【分析】
要解决这道列分式方程的题目，首先要明确已知量和未知量的关系：题目已经设第一批“脆红李”单价为x元/件，我们可以先分别表示出两批“脆红李”的购进数量，再根据“第二批数量比第一批多40件”这个核心等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，
则第二批“脆红李”的单价为$(x-5)$元/件，
第一批购进的数量为：$\frac{12000}{x}$件，
第二批购进的数量为：$\frac{11000}{x-5}$件，
根据“第二批数量比第一批多40件”，可得等量关系：第一批数量 = 第二批数量 - 40，
代入得方程：$\frac{12000}{x}=\frac{11000}{x-5}-40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 数量关系分析
【点评】
本题属于基础的分式方程应用类题型，解题的关键是找准两次购进货物的数量、单价、总价之间的对应关系，正确梳理数量的大小差异，避免因搞反等量关系选错答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道列分式方程的题目，首先要明确已知量和未知量的关系：题目已经设第一批“脆红李”单价为x元/件，我们可以先分别表示出两批“脆红李”的购进数量，再根据“第二批数量比第一批多40件”这个核心等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，
则第二批“脆红李”的单价为$(x-5)$元/件，
第一批购进的数量为：$\frac{12000}{x}$件，
第二批购进的数量为：$\frac{11000}{x-5}$件，
根据“第二批数量比第一批多40件”，可得等量关系：第一批数量 = 第二批数量 - 40，
代入得方程：$\frac{12000}{x}=\frac{11000}{x-5}-40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 数量关系分析
【点评】
本题属于基础的分式方程应用类题型，解题的关键是找准两次购进货物的数量、单价、总价之间的对应关系，正确梳理数量的大小差异，避免因搞反等量关系选错答案。
【难度系数】
0.7
【变式2】为了迎接春节的到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A，B两种糖果，其中A种糖果的价格比B种糖果的价格每千克多2元，花100元购买A种糖果的数量与花90元购买B种糖果的数量相同，则A种糖果的价格是
20
元/kg.答案
变式2 20
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用问题，解题时先明确总价、单价、数量三者的关系：数量=总价÷单价。首先提取题目中的核心等量关系：花100元购买A种糖果的数量 = 花90元购买B种糖果的数量。我们可以直接设所求的A种糖果价格为未知数，用含未知数的式子表示出B种糖果的价格，再分别表示出两种糖果的购买数量，根据等量关系列出分式方程，求解后注意检验根是否符合分母不为0的要求和实际意义，即可得到结果。
【解析】
解：设A种糖果的价格是x元/kg，则B种糖果的价格是$(x-2)$元/kg。
根据题意，列方程得：
$\frac{100}{x}=\frac{90}{x-2}$
交叉相乘去分母得：
$100(x-2)=90x$
展开括号：
$100x - 200 = 90x$
移项、合并同类项得：
$10x = 200$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x-2)=20×18=360≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 分式方程的求解与检验
【点评】
本题是常见的分式方程应用题型，解题关键是找准题目中的等量关系列方程，需要注意分式方程求出的根必须检验，既要保证分母不为0，也要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用问题，解题时先明确总价、单价、数量三者的关系：数量=总价÷单价。首先提取题目中的核心等量关系：花100元购买A种糖果的数量 = 花90元购买B种糖果的数量。我们可以直接设所求的A种糖果价格为未知数，用含未知数的式子表示出B种糖果的价格，再分别表示出两种糖果的购买数量，根据等量关系列出分式方程，求解后注意检验根是否符合分母不为0的要求和实际意义，即可得到结果。
【解析】
解：设A种糖果的价格是x元/kg，则B种糖果的价格是$(x-2)$元/kg。
根据题意，列方程得：
$\frac{100}{x}=\frac{90}{x-2}$
交叉相乘去分母得：
$100(x-2)=90x$
展开括号：
$100x - 200 = 90x$
移项、合并同类项得：
$10x = 200$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x-2)=20×18=360≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 分式方程的求解与检验
【点评】
本题是常见的分式方程应用题型，解题关键是找准题目中的等量关系列方程，需要注意分式方程求出的根必须检验，既要保证分母不为0，也要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.7
1. (黄冈模拟)随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具.公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件,平均每人每周比原来多投递48件,若该快递公司的快递员总人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件.设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为 (
A.$\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x-48}$
B.$\frac{4200}{x+48} = \frac{3000}{x}$
C.$\frac{4200}{x} = \frac{3000}{x} -48$
D.$\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x} -48$
B
)A.$\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x-48}$
B.$\frac{4200}{x+48} = \frac{3000}{x}$
C.$\frac{4200}{x} = \frac{3000}{x} -48$
D.$\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x} -48$
答案
1. B
解析
【分析】
解题核心是找到题目中的不变量作为列方程的等量关系。本题中快递员总人数不变，我们可分别表示更换交通工具前后的快递员人数，令两者相等即可列出方程：1. 已知原来每周总投递3000件，现在每周总投递4200件，现在人均每周比原来多投递48件，设原来人均每周投递x件；2. 用含x的式子表示现在的人均投递量为x+48；3. 利用“总投递量÷人均投递量=总人数”分别表示更换交通工具前后的总人数；4. 根据总人数相等列等式，对应正确选项即可。
【解析】
解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件$(x+48)$件。
根据“快递员总人数 = 每周总投递件数 ÷ 平均每人每周投递件数”，可得：
更换交通工具前的快递员总人数为：$\frac{3000}{x}$
更换交通工具后的快递员总人数为：$\frac{4200}{x+48}$
由于快递员总人数不变，因此可列方程：
$\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x+48}$，变形可得$\frac{4200}{x+48} = \frac{3000}{x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程应用；等量关系判定
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题关键是抓住题干中的不变量建立等量关系，解题时需注意区分变化前后的对应数量，避免混淆人均投递量的表达式。
【难度系数】
0.8
解题核心是找到题目中的不变量作为列方程的等量关系。本题中快递员总人数不变，我们可分别表示更换交通工具前后的快递员人数，令两者相等即可列出方程：1. 已知原来每周总投递3000件，现在每周总投递4200件，现在人均每周比原来多投递48件，设原来人均每周投递x件；2. 用含x的式子表示现在的人均投递量为x+48；3. 利用“总投递量÷人均投递量=总人数”分别表示更换交通工具前后的总人数；4. 根据总人数相等列等式，对应正确选项即可。
【解析】
解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件$(x+48)$件。
根据“快递员总人数 = 每周总投递件数 ÷ 平均每人每周投递件数”，可得：
更换交通工具前的快递员总人数为：$\frac{3000}{x}$
更换交通工具后的快递员总人数为：$\frac{4200}{x+48}$
由于快递员总人数不变，因此可列方程：
$\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x+48}$，变形可得$\frac{4200}{x+48} = \frac{3000}{x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程应用；等量关系判定
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题关键是抓住题干中的不变量建立等量关系，解题时需注意区分变化前后的对应数量，避免混淆人均投递量的表达式。
【难度系数】
0.8
2. (深圳模拟)某工程队承担河流某段3 000 m河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务.设原计划每天完成$x$ m的清淤任务，则所列方程正确的是 (
A.$\dfrac{3\ 000}{x}+30=\dfrac{3\ 000}{x(1+25\%)}$
B.$\dfrac{3\ 000}{x}+30=\dfrac{3\ 000}{x(1-25\%)}$
C.$\dfrac{3\ 000}{x}=\dfrac{3\ 000}{x(1-25\%)}+30$
D.$\dfrac{3\ 000}{x}=\dfrac{3\ 000}{x(1+25\%)}+30$
D
)A.$\dfrac{3\ 000}{x}+30=\dfrac{3\ 000}{x(1+25\%)}$
B.$\dfrac{3\ 000}{x}+30=\dfrac{3\ 000}{x(1-25\%)}$
C.$\dfrac{3\ 000}{x}=\dfrac{3\ 000}{x(1-25\%)}+30$
D.$\dfrac{3\ 000}{x}=\dfrac{3\ 000}{x(1+25\%)}+30$
答案
2. D
解析
【分析】
这是一道工程类的分式方程应用题，解题时首先回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先梳理已知量：总清淤长度（工作总量）为3000m，原计划每天清淤（原工作效率）为x m，实际工效比原计划增加25%，可得实际工作效率为$x(1+25\%)$m。第二步找等量关系：题目中“提前30天完成”说明原计划的工作时间比实际工作时间多30天，即原计划时间=实际时间+30。第三步将对应时间的表达式代入等量关系，即可列出方程匹配选项。
【解析】
已知工作总量为3000m，原计划每天清淤x m，根据工作时间=工作总量÷工作效率：
1. 原计划完成任务的时间为：$\dfrac{3000}{x}$天；
2. 实际每天工效比原计划增加25%，因此实际每天清淤长度为$x(1+25\%)$m，实际完成任务的时间为：$\dfrac{3000}{x(1+25\%)}$天；
3. 由“提前30天完成”可得原计划时间比实际时间多30天，列等式：
$\dfrac{3000}{x} = \dfrac{3000}{x(1+25\%)} + 30$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是找准时间类的等量关系，明确实际工效和原计划工效的数量关系，注意不要混淆原计划和实际工作时间的大小。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类的分式方程应用题，解题时首先回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先梳理已知量：总清淤长度（工作总量）为3000m，原计划每天清淤（原工作效率）为x m，实际工效比原计划增加25%，可得实际工作效率为$x(1+25\%)$m。第二步找等量关系：题目中“提前30天完成”说明原计划的工作时间比实际工作时间多30天，即原计划时间=实际时间+30。第三步将对应时间的表达式代入等量关系，即可列出方程匹配选项。
【解析】
已知工作总量为3000m，原计划每天清淤x m，根据工作时间=工作总量÷工作效率：
1. 原计划完成任务的时间为：$\dfrac{3000}{x}$天；
2. 实际每天工效比原计划增加25%，因此实际每天清淤长度为$x(1+25\%)$m，实际完成任务的时间为：$\dfrac{3000}{x(1+25\%)}$天；
3. 由“提前30天完成”可得原计划时间比实际时间多30天，列等式：
$\dfrac{3000}{x} = \dfrac{3000}{x(1+25\%)} + 30$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是找准时间类的等量关系，明确实际工效和原计划工效的数量关系，注意不要混淆原计划和实际工作时间的大小。
【难度系数】
0.7
3.（运城模拟）随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用.经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的面积是一个人每小时喷洒农药面积的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13 h，则一架无人机平均每小时喷洒农药（
A.32亩
B.45亩
C.60亩
D.75亩
C
）A.32亩
B.45亩
C.60亩
D.75亩
答案
3. C
解析
【分析】
这是典型的工程类分式方程应用题，核心依据公式“工作时间=工作总量÷工作效率”求解。首先明确题目中的两个等量关系：①无人机每小时喷洒面积=人每小时喷洒面积×7.5；②人工喷洒120亩的时间-无人机喷洒120亩的时间=13h。我们可以先设人每小时喷洒面积为未知数，用含未知数的式子表示无人机的喷洒效率，再根据时间差列分式方程，求解后检验根的合理性，最后计算出无人机的喷洒效率即可。
【解析】
解：设一个人平均每小时喷洒农药$x$亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药$7.5x$亩。
根据题意列方程得：
$\frac{120}{x} - \frac{120}{7.5x} = 13$
化简得：$\frac{120}{x} - \frac{16}{x} = 13$
即$\frac{104}{x} = 13$
解得$x=8$
检验：当$x=8$时，$x≠0$，$7.5x≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则无人机每小时喷洒面积为：$7.5×8=60$（亩）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程检验
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准数量间的等量关系建立方程，要特别注意分式方程求解后必须检验根是否为增根、是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类分式方程应用题，核心依据公式“工作时间=工作总量÷工作效率”求解。首先明确题目中的两个等量关系：①无人机每小时喷洒面积=人每小时喷洒面积×7.5；②人工喷洒120亩的时间-无人机喷洒120亩的时间=13h。我们可以先设人每小时喷洒面积为未知数，用含未知数的式子表示无人机的喷洒效率，再根据时间差列分式方程，求解后检验根的合理性，最后计算出无人机的喷洒效率即可。
【解析】
解：设一个人平均每小时喷洒农药$x$亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药$7.5x$亩。
根据题意列方程得：
$\frac{120}{x} - \frac{120}{7.5x} = 13$
化简得：$\frac{120}{x} - \frac{16}{x} = 13$
即$\frac{104}{x} = 13$
解得$x=8$
检验：当$x=8$时，$x≠0$，$7.5x≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则无人机每小时喷洒面积为：$7.5×8=60$（亩）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程检验
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准数量间的等量关系建立方程，要特别注意分式方程求解后必须检验根是否为增根、是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
4.某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，则第二天每棵树苗的售价是
85
元.答案
4. 85
解析
【分析】
这是分式方程在销售问题中的实际应用题，解题时先梳理题目中的等量关系：①第二天每棵售价比第一天多5元；②第二天卖出的树苗数量是第一天的2倍。我们可以直接设第二天每棵树苗售价为x元，即可推出第一天每棵售价为(x-5)元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两天卖出的树苗数量，代入第二个等量关系列方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合要求。
【解析】
解：设第二天每棵树苗的售价是$x$元，则第一天每棵树苗的售价为$(x-5)$元。
根据题意，第二天所卖数量是第一天的2倍，可列方程：
$\frac{17000}{x} = 2× \frac{8000}{x-5}$
方程两边同乘最简公分母$x(x-5)$去分母，得：
$17000(x-5) = 16000x$
展开括号：$17000x - 85000 = 16000x$
移项、合并同类项得：$1000x = 85000$
解得：$x = 85$
检验：当$x=85$时，$x(x-5)=85× 80 = 6800 ≠ 0$，因此$x=85$是原分式方程的解，且符合实际销售的意义。
【答案】
85
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题关键是找准数量间的等量关系建立方程，求解后要注意检验分式方程的根是否满足分母不为0，同时要符合实际问题的意义。
【难度系数】
0.7
这是分式方程在销售问题中的实际应用题，解题时先梳理题目中的等量关系：①第二天每棵售价比第一天多5元；②第二天卖出的树苗数量是第一天的2倍。我们可以直接设第二天每棵树苗售价为x元，即可推出第一天每棵售价为(x-5)元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两天卖出的树苗数量，代入第二个等量关系列方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合要求。
【解析】
解：设第二天每棵树苗的售价是$x$元，则第一天每棵树苗的售价为$(x-5)$元。
根据题意，第二天所卖数量是第一天的2倍，可列方程：
$\frac{17000}{x} = 2× \frac{8000}{x-5}$
方程两边同乘最简公分母$x(x-5)$去分母，得：
$17000(x-5) = 16000x$
展开括号：$17000x - 85000 = 16000x$
移项、合并同类项得：$1000x = 85000$
解得：$x = 85$
检验：当$x=85$时，$x(x-5)=85× 80 = 6800 ≠ 0$，因此$x=85$是原分式方程的解，且符合实际销售的意义。
【答案】
85
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题关键是找准数量间的等量关系建立方程，求解后要注意检验分式方程的根是否满足分母不为0，同时要符合实际问题的意义。
【难度系数】
0.7
5. (东莞模拟)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：
排球的单价是多少元？
排球的单价是多少元？
答案
解:设排球的单价为x元,则篮球的单价为(x+60)元,
根据题意,得$\frac{2\ 000}{x}=\frac{3\ 200}{x+60}$,
解得$x=100$,
经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意.
答:排球的单价为100元.
根据题意,得$\frac{2\ 000}{x}=\frac{3\ 200}{x+60}$,
解得$x=100$,
经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意.
答:排球的单价为100元.
解析
【分析】这是一道分式方程的实际应用题，解题可按以下思路展开：首先设未知数，直接设排球的单价为x元，根据“篮球单价比排球多60元”，可推出篮球单价为(x+60)元；其次找等量关系，题目明确“2000元购买的排球个数和3200元购买的篮球个数相等”，结合“购买数量=总花费÷单价”的公式，就能依据数量相等的关系列出分式方程；最后解方程，注意解分式方程后必须检验根的合理性，既要确认是原方程的解，也要符合实际价格的要求，最终得到排球单价。
【解析】
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为$(x+60)$元。
根据两种球购买数量相等的关系，列方程得：
$\frac{2000}{x}=\frac{3200}{x+60}$
方程两边同乘$x(x+60)$去分母得：
$2000(x+60)=3200x$
展开括号：
$2000x+120000=3200x$
移项、合并同类项得：
$1200x=120000$
解得：$x=100$
检验：当$x=100$时，$x(x+60)=100×160=16000≠0$，因此$x=100$是原分式方程的解，且符合实际购物的价格要求。
答：排球的单价是100元。
【答案】
排球的单价为100元。
【知识点】
分式方程应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是抓住“购买数量相等”的等量关系列方程，解题时需要注意分式方程必须验根，同时要验证解是否符合实际意义，侧重考察学生的信息提取能力和分式方程的解题规范。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为$(x+60)$元。
根据两种球购买数量相等的关系，列方程得：
$\frac{2000}{x}=\frac{3200}{x+60}$
方程两边同乘$x(x+60)$去分母得：
$2000(x+60)=3200x$
展开括号：
$2000x+120000=3200x$
移项、合并同类项得：
$1200x=120000$
解得：$x=100$
检验：当$x=100$时，$x(x+60)=100×160=16000≠0$，因此$x=100$是原分式方程的解，且符合实际购物的价格要求。
答：排球的单价是100元。
【答案】
排球的单价为100元。
【知识点】
分式方程应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是抓住“购买数量相等”的等量关系列方程，解题时需要注意分式方程必须验根，同时要验证解是否符合实际意义，侧重考察学生的信息提取能力和分式方程的解题规范。
【难度系数】
0.7
