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课前预习
教材梳理，厘清必备知识
1. 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 图象的平移规律
（图1内容：
$y=ax^2$ 向上($k＞0$)或向下($k＜0$)平移$|k|$个单位长度得到 $y=ax^2+k$；
$y=ax^2$ 向右($h＞0$)或向左($h＜0$)平移$|h|$个单位长度得到 $y=a(x-h)^2$；
$y=a(x-h)^2$ 向上($k＞0$)或向下($k＜0$)平移$|k|$个单位长度得到 $y=a(x-h)^2+k$；
$y=ax^2+k$ 向右($h＞0$)或向左($h＜0$)平移$|h|$个单位长度得到 $y=a(x-h)^2+k$；
$y=ax^2$ 可同时平移得到 $y=a(x-h)^2+k$，对应“向上($k＞0$)或向下($k＜0$)、向右($h＞0$)或向左($h＜0$)平移$|h|$个单位长度”）
2. 画 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象的步骤
第一步，写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步，列表(自变量 $x$ 从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；
第三步，利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点即可)。
3. 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象的性质
一般地，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象是抛物线，它具有下述性质：
（图2内容：
| 抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 对称轴 | 直线
| 顶点坐标 |
| 开口方向 | 图2 |
| 性质：在对称轴的左边 | $y$ 随 $x$ 的增大而
| 性质：在对称轴的右边 | $y$ 随 $x$ 的增大而
教材梳理，厘清必备知识
1. 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 图象的平移规律
（图1内容：
$y=ax^2$ 向上($k＞0$)或向下($k＜0$)平移$|k|$个单位长度得到 $y=ax^2+k$；
$y=ax^2$ 向右($h＞0$)或向左($h＜0$)平移$|h|$个单位长度得到 $y=a(x-h)^2$；
$y=a(x-h)^2$ 向上($k＞0$)或向下($k＜0$)平移$|k|$个单位长度得到 $y=a(x-h)^2+k$；
$y=ax^2+k$ 向右($h＞0$)或向左($h＜0$)平移$|h|$个单位长度得到 $y=a(x-h)^2+k$；
$y=ax^2$ 可同时平移得到 $y=a(x-h)^2+k$，对应“向上($k＞0$)或向下($k＜0$)、向右($h＞0$)或向左($h＜0$)平移$|h|$个单位长度”）
2. 画 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象的步骤
第一步，写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步，列表(自变量 $x$ 从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；
第三步，利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点即可)。
3. 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象的性质
一般地，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象是抛物线，它具有下述性质：
（图2内容：
| 抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 对称轴 | 直线
$x=h$
| || 顶点坐标 |
$(h,0)$
| || 开口方向 | 图2 |
向下
|| 性质：在对称轴的左边 | $y$ 随 $x$ 的增大而
减小
| $y$ 随 $x$ 的增大而增大
|| 性质：在对称轴的右边 | $y$ 随 $x$ 的增大而
增大
| $y$ 随 $x$ 的增大而减小
|）答案
2. 对称性
3. $x=h$ $(h,0)$ 向上 向下
3. $x=h$ $(h,0)$ 向上 向下
解析
【分析】
这道题是二次函数顶点式相关基础概念的考察，解题思路如下：首先回忆二次函数图象的特征，抛物线是轴对称图形，因此画图象时可利用对称性简化作图步骤；其次牢记二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质，参数$a$决定开口方向，$h$决定对称轴位置，$h、k$共同决定顶点坐标，对应性质与$a$的正负无关，逐一匹配填空即可。
【解析】
2. 二次函数的图象为抛物线，属于轴对称图形，因此画出对称轴一侧的图象后，可利用对称性直接得到另一侧的图象，故此处填对称性。
3. 对于抛物线$y=a(x-h)^2+k$：
① 对称轴与$a$的取值无关，统一为直线$x=h$；
② 顶点坐标为$(h,0)$；
③ 开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下。
【答案】
2. 对称性
3. $x=h$；$(h,0)$；向上；向下
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象的画法
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考察对二次函数顶点式基本性质和图象画法的记忆，熟练掌握这些基础内容是后续解决二次函数相关问题的核心前提。
【难度系数】
0.9
这道题是二次函数顶点式相关基础概念的考察，解题思路如下：首先回忆二次函数图象的特征，抛物线是轴对称图形，因此画图象时可利用对称性简化作图步骤；其次牢记二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质，参数$a$决定开口方向，$h$决定对称轴位置，$h、k$共同决定顶点坐标，对应性质与$a$的正负无关，逐一匹配填空即可。
【解析】
2. 二次函数的图象为抛物线，属于轴对称图形，因此画出对称轴一侧的图象后，可利用对称性直接得到另一侧的图象，故此处填对称性。
3. 对于抛物线$y=a(x-h)^2+k$：
① 对称轴与$a$的取值无关，统一为直线$x=h$；
② 顶点坐标为$(h,0)$；
③ 开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下。
【答案】
2. 对称性
3. $x=h$；$(h,0)$；向上；向下
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象的画法
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考察对二次函数顶点式基本性质和图象画法的记忆，熟练掌握这些基础内容是后续解决二次函数相关问题的核心前提。
【难度系数】
0.9
【例1】画出函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。怎样移动抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 就可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$？
方法技巧 二次函数 $y=a(x-h)^2 +k$ 的图象平移规律可总结为“上加下减”和“左加右减”，即向上平移时，$y$ 加上一个正数，向下平移时，$y$ 减去一个正数；向左平移时，$x$ 加上一个正数，向右平移时，$x$ 减去一个正数。
方法技巧 二次函数 $y=a(x-h)^2 +k$ 的图象平移规律可总结为“上加下减”和“左加右减”，即向上平移时，$y$ 加上一个正数，向下平移时，$y$ 减去一个正数；向左平移时，$x$ 加上一个正数，向右平移时，$x$ 减去一个正数。
答案
函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象如
所示。抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的开口向下，对称轴是直线 $x=-1$，顶点坐标是 $(-1,-1)$。
把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质及图象平移规律，解题思路如下：1. 先将给定的二次函数解析式与顶点式标准形式$y=a(x-h)^2+k$对应，确定参数$a、h、k$的值：$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。2. 图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对函数整体）”的规律，对比两个抛物线的解析式，即可得到平移方式。
【解析】
1. 确定抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$的基本性质：
将解析式与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对照，可得$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=-1$，$k=-1$：
① 因为$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下；
② 对称轴为直线$x=h=-1$；
③ 顶点坐标为$(h,k)=(-1,-1)$。
2. 确定平移方式：
对比抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$和$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$：
自变量$x$变为$x+1$，根据“左加右减”的规则，说明向左平移1个单位长度；解析式整体减去1，根据“上加下减”的规则，说明再向下平移1个单位长度，即可得到目标抛物线。
【答案】
函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象如所示。
抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的开口向下，对称轴是直线 $x=-1$，顶点坐标是 $(-1,-1)$。
把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察对顶点式参数意义的理解和平移规则的运用，易错点是容易混淆左右平移的方向，需牢牢把握平移规则是针对自变量$x$的变化来判断方向。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质及图象平移规律，解题思路如下：1. 先将给定的二次函数解析式与顶点式标准形式$y=a(x-h)^2+k$对应，确定参数$a、h、k$的值：$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。2. 图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对函数整体）”的规律，对比两个抛物线的解析式，即可得到平移方式。
【解析】
1. 确定抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$的基本性质：
将解析式与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对照，可得$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=-1$，$k=-1$：
① 因为$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下；
② 对称轴为直线$x=h=-1$；
③ 顶点坐标为$(h,k)=(-1,-1)$。
2. 确定平移方式：
对比抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$和$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$：
自变量$x$变为$x+1$，根据“左加右减”的规则，说明向左平移1个单位长度；解析式整体减去1，根据“上加下减”的规则，说明再向下平移1个单位长度，即可得到目标抛物线。
【答案】
函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象如
所示。抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的开口向下，对称轴是直线 $x=-1$，顶点坐标是 $(-1,-1)$。
把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察对顶点式参数意义的理解和平移规则的运用，易错点是容易混淆左右平移的方向，需牢牢把握平移规则是针对自变量$x$的变化来判断方向。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025济南月考)将抛物线 $y=-x^2$ 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（
A.$y=-(x-3)^2 -2$
B.$y=-(x+3)^2 -2$
C.$y=(x+3)^2 -2$
D.$y=-(x+2)^2 -3$
B
）A.$y=-(x-3)^2 -2$
B.$y=-(x+3)^2 -2$
C.$y=(x+3)^2 -2$
D.$y=-(x+2)^2 -3$
答案
B
解析
【分析】
解决本题需应用二次函数图象的平移规律，解题思路如下：首先明确抛物线平移时二次项系数保持不变，可先排除二次项系数改变的选项；再依据“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的平移规则，依次计算两次平移后的抛物线表达式，最终匹配正确选项。
【解析】
抛物线平移遵循“a不变，左加右减、上加下减”的规律：
1. 原抛物线为$y=-x^2$，二次项系数为$-1$，平移后系数不变，因此排除二次项系数为$1$的选项C；
2. 先向左平移3个单位长度，将自变量$x$替换为$x+3$，得到平移后的表达式：$y=-(x+3)^2$；
3. 再向下平移2个单位长度，对整个表达式减去2，得到最终新抛物线的表达式：$y=-(x+3)^2 -2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数图象的平移变换，核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移原则，需注意左右平移是对自变量$x$本身进行操作，不要受二次项系数的干扰，属于基础类考题，掌握规律即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解决本题需应用二次函数图象的平移规律，解题思路如下：首先明确抛物线平移时二次项系数保持不变，可先排除二次项系数改变的选项；再依据“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的平移规则，依次计算两次平移后的抛物线表达式，最终匹配正确选项。
【解析】
抛物线平移遵循“a不变，左加右减、上加下减”的规律：
1. 原抛物线为$y=-x^2$，二次项系数为$-1$，平移后系数不变，因此排除二次项系数为$1$的选项C；
2. 先向左平移3个单位长度，将自变量$x$替换为$x+3$，得到平移后的表达式：$y=-(x+3)^2$；
3. 再向下平移2个单位长度，对整个表达式减去2，得到最终新抛物线的表达式：$y=-(x+3)^2 -2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数图象的平移变换，核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移原则，需注意左右平移是对自变量$x$本身进行操作，不要受二次项系数的干扰，属于基础类考题，掌握规律即可快速得分。
【难度系数】
0.8
【变式2】把二次函数$y=2(x+3)^2 -1$先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后的表达式为
$y=2(x+2)^2 -4$
。答案
$y=2(x+2)^2 -4$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是掌握平移规律“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量x本身进行操作，向左平移则给x加平移单位，向右平移则给x减平移单位；上下平移是对函数整体的常数项进行操作，向上平移则加平移单位，向下平移则减平移单位。我们可以先对原函数做向右平移的变换，再做向下平移的变换，逐步化简得到最终表达式。
【解析】
已知原二次函数为$y=2(x+3)^2 -1$：
1. 先向右平移1个单位长度，根据“左加右减”的规律，将原式中的$x$替换为$x-1$，可得：
$y=2[(x-1)+3]^2 -1 = 2(x+2)^2 -1$
2. 再向下平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，将整个函数的常数项减3，可得：
$y=2(x+2)^2 -1 -3 = 2(x+2)^2 -4$
也可通过顶点平移求解：原函数顶点为$(-3,-1)$，向右平移1个单位、向下平移3个单位后，新顶点为$(-3+1,-1-3)$即$(-2,-4)$，二次项系数$a=2$不变，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），同样可得结果。
【答案】
$y=2(x+2)^2 -4$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的关键是准确理解平移规律中“左加右减”是针对自变量x本身的运算，不要和含x的括号整体混淆，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是掌握平移规律“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量x本身进行操作，向左平移则给x加平移单位，向右平移则给x减平移单位；上下平移是对函数整体的常数项进行操作，向上平移则加平移单位，向下平移则减平移单位。我们可以先对原函数做向右平移的变换，再做向下平移的变换，逐步化简得到最终表达式。
【解析】
已知原二次函数为$y=2(x+3)^2 -1$：
1. 先向右平移1个单位长度，根据“左加右减”的规律，将原式中的$x$替换为$x-1$，可得：
$y=2[(x-1)+3]^2 -1 = 2(x+2)^2 -1$
2. 再向下平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，将整个函数的常数项减3，可得：
$y=2(x+2)^2 -1 -3 = 2(x+2)^2 -4$
也可通过顶点平移求解：原函数顶点为$(-3,-1)$，向右平移1个单位、向下平移3个单位后，新顶点为$(-3+1,-1-3)$即$(-2,-4)$，二次项系数$a=2$不变，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），同样可得结果。
【答案】
$y=2(x+2)^2 -4$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的关键是准确理解平移规律中“左加右减”是针对自变量x本身的运算，不要和含x的括号整体混淆，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
