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【例2】探究二次函数$y=2(x-3)^2 -1$及其图象的性质,请填空:
(1)图象的开口方向是
(2)图象的对称轴为直线
(3)图象与$y$轴的交点坐标为
(4)当$x=$
规律总结 (1)在二次函数$y=a(x-h)^2 +k$中,$a$决定抛物线的开口方向和开口大小,$h,k$决定抛物线的位置.
(2)由于从$y=a(x-h)^2 +k$中可以直接看出抛物线的顶点坐标$(h,k)$,所以通常把表达式$y=a(x-h)^2 +k$叫作二次函数的顶点式.
(1)图象的开口方向是
向上
;(2)图象的对称轴为直线
$x=3$
;(3)图象与$y$轴的交点坐标为
$(0,17)$
;(4)当$x=$
3
时,函数$y$有最小值,最小值为$-1$
.规律总结 (1)在二次函数$y=a(x-h)^2 +k$中,$a$决定抛物线的开口方向和开口大小,$h,k$决定抛物线的位置.
(2)由于从$y=a(x-h)^2 +k$中可以直接看出抛物线的顶点坐标$(h,k)$,所以通常把表达式$y=a(x-h)^2 +k$叫作二次函数的顶点式.
答案
(1) 向上 (2) $x=3$ (3) $(0,17)$ (4) 3 $-1$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：①$a$决定开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值；④求与y轴交点时令$x=0$代入计算即可得到对应y值，接下来对应每个小问逐一求解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=2(x-3)^2 -1$中$a=2＞0$，因此图象开口方向向上；
(2) 由顶点式可得$h=3$，因此图象的对称轴为直线$x=3$；
(3) 求图象与y轴的交点，令$x=0$，代入函数得：
$y=2×(0-3)^2 -1 = 2×9 -1 = 17$，因此交点坐标为$(0,17)$；
(4) 由于图象开口向上，顶点为函数图象的最低点，顶点坐标为$(3,-1)$，因此当$x=3$时，函数$y$有最小值，最小值为$-1$。
【答案】
(1) 向上 (2) $x=3$ (3) $(0,17)$ (4) 3 $-1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式的理解与应用，熟练掌握顶点式中$a、h、k$三个参数对应的图象性质，就能快速完成求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：①$a$决定开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值；④求与y轴交点时令$x=0$代入计算即可得到对应y值，接下来对应每个小问逐一求解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=2(x-3)^2 -1$中$a=2＞0$，因此图象开口方向向上；
(2) 由顶点式可得$h=3$，因此图象的对称轴为直线$x=3$；
(3) 求图象与y轴的交点，令$x=0$，代入函数得：
$y=2×(0-3)^2 -1 = 2×9 -1 = 17$，因此交点坐标为$(0,17)$；
(4) 由于图象开口向上，顶点为函数图象的最低点，顶点坐标为$(3,-1)$，因此当$x=3$时，函数$y$有最小值，最小值为$-1$。
【答案】
(1) 向上 (2) $x=3$ (3) $(0,17)$ (4) 3 $-1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式的理解与应用，熟练掌握顶点式中$a、h、k$三个参数对应的图象性质，就能快速完成求解。
【难度系数】
0.8
【变式1】已知抛物线$y=-(x-3)^2+\frac{1}{2}$，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.顶点坐标是$(3,\frac{1}{2})$
D.当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.顶点坐标是$(3,\frac{1}{2})$
D.当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向和对称轴判断函数的增减性，最后逐个核对选项即可得出正确答案。
【解析】
已知抛物线的解析式为顶点式$y=-(x-3)^2+\frac{1}{2}$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=-1$，$h=3$，$k=\frac{1}{2}$：
1. 判断开口方向：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，故A选项错误；
2. 判断对称轴：对称轴为直线$x=h=3$，故B选项错误；
3. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)=(3,\frac{1}{2})$，故C选项正确；
4. 判断增减性：抛物线开口向下，在对称轴左侧（即$x＜3$时），$y$随$x$的增大而增大，$x＜-3$属于$x＜3$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，故D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向和对称轴判断函数的增减性，最后逐个核对选项即可得出正确答案。
【解析】
已知抛物线的解析式为顶点式$y=-(x-3)^2+\frac{1}{2}$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=-1$，$h=3$，$k=\frac{1}{2}$：
1. 判断开口方向：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，故A选项错误；
2. 判断对称轴：对称轴为直线$x=h=3$，故B选项错误；
3. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)=(3,\frac{1}{2})$，故C选项正确；
4. 判断增减性：抛物线开口向下，在对称轴左侧（即$x＜3$时），$y$随$x$的增大而增大，$x＜-3$属于$x＜3$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，故D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式2】(2025新余月考)已知点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在抛物线$y=-(x+1)^2+3$上，则$y_2,y_1,3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜3$
。答案
$y_2＜y_1＜3$
解析
【分析】
解题可按两种思路展开：思路一先分析抛物线的基本特征，由顶点式确定开口方向、对称轴和最值，再根据两点的位置结合增减性比较$y_1$、$y_2$的大小，最后和最大值3比较；思路二直接将两点横坐标代入解析式求出$y_1$、$y_2$的具体值，再和3比较大小，两种方法都符合九年级的知识要求，可灵活选择。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+3$
可得$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$
由此可知该二次函数的最大值为3，且当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标均大于-1，且$1＜2$，因此$y_2＜y_1$，同时两点横坐标均不等于-1，所以$y_1＜3$、$y_2＜3$，综上得$y_2＜y_1＜3$。
方法二：代入求值法
将$x=1$代入解析式：$y_1=-(1+1)^2+3=-4+3=-1$
将$x=2$代入解析式：$y_2=-(2+1)^2+3=-9+3=-6$
因为$-6＜-1＜3$，所以$y_2＜y_1＜3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都很常规，核心考查对二次函数顶点式性质的掌握程度，熟练掌握开口方向、对称轴、增减性等性质可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题可按两种思路展开：思路一先分析抛物线的基本特征，由顶点式确定开口方向、对称轴和最值，再根据两点的位置结合增减性比较$y_1$、$y_2$的大小，最后和最大值3比较；思路二直接将两点横坐标代入解析式求出$y_1$、$y_2$的具体值，再和3比较大小，两种方法都符合九年级的知识要求，可灵活选择。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+3$
可得$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$
由此可知该二次函数的最大值为3，且当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标均大于-1，且$1＜2$，因此$y_2＜y_1$，同时两点横坐标均不等于-1，所以$y_1＜3$、$y_2＜3$，综上得$y_2＜y_1＜3$。
方法二：代入求值法
将$x=1$代入解析式：$y_1=-(1+1)^2+3=-4+3=-1$
将$x=2$代入解析式：$y_2=-(2+1)^2+3=-9+3=-6$
因为$-6＜-1＜3$，所以$y_2＜y_1＜3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都很常规，核心考查对二次函数顶点式性质的掌握程度，熟练掌握开口方向、对称轴、增减性等性质可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
1. (2025长沙期末)函数$y=-3(x-2)^2 -4$的图象的顶点坐标是（
A.$(3,4)$
B.$(-2,4)$
C.$(2,4)$
D.$(2,-4)$
D
）A.$(3,4)$
B.$(-2,4)$
C.$(2,4)$
D.$(2,-4)$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，再将题干给出的函数式与标准顶点式做比对，对应求出h、k的值即可得到顶点坐标，解题时要注意h的符号与括号内常数项的符号相反，k需要带符号取值。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干给出的函数$y=-3(x-2)^2 -4$与顶点式对比可得：$h=2$，$k=-4$，因此该函数图象的顶点坐标为$(2,-4)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数顶点式的基本应用，解题核心是牢记顶点式中参数与顶点坐标的对应规则，避免混淆h的符号即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，再将题干给出的函数式与标准顶点式做比对，对应求出h、k的值即可得到顶点坐标，解题时要注意h的符号与括号内常数项的符号相反，k需要带符号取值。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干给出的函数$y=-3(x-2)^2 -4$与顶点式对比可得：$h=2$，$k=-4$，因此该函数图象的顶点坐标为$(2,-4)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数顶点式的基本应用，解题核心是牢记顶点式中参数与顶点坐标的对应规则，避免混淆h的符号即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列二次函数中，图象以直线$x=2$为对称轴，且经过点$(0,1)$的是（
A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=(x-2)^2 -3$
D.$y=(x+2)^2 -3$
C
）A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=(x-2)^2 -3$
D.$y=(x+2)^2 -3$
答案
2. C
解析
【分析】
解题分两步走：第一步先根据对称轴条件筛选选项，二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，题目要求对称轴为$x=2$，因此$h=2$，可直接排除对称轴为$x=-2$的选项；第二步将点$(0,1)$代入剩余选项验证，满足坐标代入后等式成立的即为正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$：
1. 筛选符合对称轴$x=2$的选项：
选项A：$h=2$，对称轴$x=2$，符合要求；
选项B：$h=-2$，对称轴$x=-2$，不符合，排除；
选项C：$h=2$，对称轴$x=2$，符合要求；
选项D：$h=-2$，对称轴$x=-2$，不符合，排除。
2. 验证点$(0,1)$是否在剩余函数图象上：
代入A选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2+1=4+1=5≠1$，不符合，排除；
代入C选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2-3=4-3=1$，符合条件。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题时可先利用对称轴性质缩小可选范围，再代入已知点验证即可快速得到答案，熟练掌握顶点式中参数的几何意义是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题分两步走：第一步先根据对称轴条件筛选选项，二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，题目要求对称轴为$x=2$，因此$h=2$，可直接排除对称轴为$x=-2$的选项；第二步将点$(0,1)$代入剩余选项验证，满足坐标代入后等式成立的即为正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$：
1. 筛选符合对称轴$x=2$的选项：
选项A：$h=2$，对称轴$x=2$，符合要求；
选项B：$h=-2$，对称轴$x=-2$，不符合，排除；
选项C：$h=2$，对称轴$x=2$，符合要求；
选项D：$h=-2$，对称轴$x=-2$，不符合，排除。
2. 验证点$(0,1)$是否在剩余函数图象上：
代入A选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2+1=4+1=5≠1$，不符合，排除；
代入C选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2-3=4-3=1$，符合条件。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题时可先利用对称轴性质缩小可选范围，再代入已知点验证即可快速得到答案，熟练掌握顶点式中参数的几何意义是解题关键。
【难度系数】
0.8
3.把抛物线$y=(x+2)^2$向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（
A.$y=(x+3)^2-2$
B.$y=(x+1)^2+2$
C.$y=(x+3)^2+2$
D.$y=(x+1)^2-2$
D
）A.$y=(x+3)^2-2$
B.$y=(x+1)^2+2$
C.$y=(x+3)^2+2$
D.$y=(x+1)^2-2$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题可从两个思路入手：一是直接利用平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”逐步对原解析式变形；二是先确定原抛物线的顶点坐标，根据点的平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，再结合平移不改变二次项系数，代入顶点式得到解析式。要注意“左加右减”是仅针对自变量x进行操作，不能直接对括号内的常数项加减。
【解析】
方法一：利用平移规律求解
抛物线平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则：
1. 原抛物线$y=(x+2)^2$向下平移2个单位长度，在表达式末尾减2，得：$y=(x+2)^2 - 2$；
2. 再将所得抛物线向右平移1个单位长度，将自变量$x$替换为$(x-1)$，得：$y=[(x-1)+2]^2 - 2$，化简得$y=(x+1)^2 - 2$。
方法二：利用顶点平移求解
原抛物线$y=(x+2)^2$是顶点式，顶点坐标为$(-2, 0)$：
1. 顶点向下平移2个单位长度，纵坐标变为$0-2=-2$；
2. 顶点向右平移1个单位长度，横坐标变为$-2+1=-1$；
平移后抛物线的顶点为$(-1, -2)$，平移不改变二次项系数，因此新抛物线解析式为$y=(x+1)^2 - 2$。
综上，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题核心是熟练掌握平移规则，尤其要注意“左加右减”是对自变量x单独进行加减操作，避免和常数项的加减混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题可从两个思路入手：一是直接利用平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”逐步对原解析式变形；二是先确定原抛物线的顶点坐标，根据点的平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，再结合平移不改变二次项系数，代入顶点式得到解析式。要注意“左加右减”是仅针对自变量x进行操作，不能直接对括号内的常数项加减。
【解析】
方法一：利用平移规律求解
抛物线平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则：
1. 原抛物线$y=(x+2)^2$向下平移2个单位长度，在表达式末尾减2，得：$y=(x+2)^2 - 2$；
2. 再将所得抛物线向右平移1个单位长度，将自变量$x$替换为$(x-1)$，得：$y=[(x-1)+2]^2 - 2$，化简得$y=(x+1)^2 - 2$。
方法二：利用顶点平移求解
原抛物线$y=(x+2)^2$是顶点式，顶点坐标为$(-2, 0)$：
1. 顶点向下平移2个单位长度，纵坐标变为$0-2=-2$；
2. 顶点向右平移1个单位长度，横坐标变为$-2+1=-1$；
平移后抛物线的顶点为$(-1, -2)$，平移不改变二次项系数，因此新抛物线解析式为$y=(x+1)^2 - 2$。
综上，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题核心是熟练掌握平移规则，尤其要注意“左加右减”是对自变量x单独进行加减操作，避免和常数项的加减混淆出错。
【难度系数】
0.8
4. 关于抛物线 $ y=(x-2)^2 -1 $，下列说法中错误的是 （
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x=2 $
C.顶点坐标是 $ (2,-1) $
D.当 $ x＞2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x=2 $
C.顶点坐标是 $ (2,-1) $
D.当 $ x＞2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确给定的抛物线解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先提取参数$a$、$h$、$k$的值，再结合顶点式对应的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的规律，逐一核对四个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-2)^2 -1$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数：$a=1$，$h=2$，$k=-1$。
选项A：因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
选项B：顶点式中抛物线对称轴为直线$x=h$，即直线$x=2$，B说法正确，不符合题意；
选项C：顶点式中抛物线顶点坐标为$(h,k)$，即$(2,-1)$，C说法正确，不符合题意；
选项D：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而增大，并非减小，D说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像特征；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点考察对二次函数顶点式各参数对应性质的掌握，熟记相关规律就能快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确给定的抛物线解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先提取参数$a$、$h$、$k$的值，再结合顶点式对应的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的规律，逐一核对四个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-2)^2 -1$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数：$a=1$，$h=2$，$k=-1$。
选项A：因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
选项B：顶点式中抛物线对称轴为直线$x=h$，即直线$x=2$，B说法正确，不符合题意；
选项C：顶点式中抛物线顶点坐标为$(h,k)$，即$(2,-1)$，C说法正确，不符合题意；
选项D：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而增大，并非减小，D说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像特征；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点考察对二次函数顶点式各参数对应性质的掌握，熟记相关规律就能快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
5.二次函数$y=-(x-6)^2+8$的最大值是
8
。答案
5. 8
解析
【分析】
首先观察给定的二次函数解析式，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。解题思路如下：第一步，判断二次项系数$a$的符号，若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标；若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值。第二步，直接从顶点式中提取顶点纵坐标$k$的值，即为所求的最大值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-6)^2+8$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
该函数顶点坐标为$(6,8)$，因此函数的最大值是8。
【答案】
8
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的最值；抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数最值相关的基础题型，解题核心是掌握顶点式中各参数的含义，结合开口方向即可快速求出最值，无需额外计算。
【难度系数】
0.9
首先观察给定的二次函数解析式，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。解题思路如下：第一步，判断二次项系数$a$的符号，若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标；若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值。第二步，直接从顶点式中提取顶点纵坐标$k$的值，即为所求的最大值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-6)^2+8$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
该函数顶点坐标为$(6,8)$，因此函数的最大值是8。
【答案】
8
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的最值；抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数最值相关的基础题型，解题核心是掌握顶点式中各参数的含义，结合开口方向即可快速求出最值，无需额外计算。
【难度系数】
0.9
6.将抛物线$y=(x+m)^2 +5$向右平移3个单位长度后，对称轴是y轴，则m的值是
3
答案
6. 3
解析
【分析】
解题时需先明确两个核心知识点：一是顶点式抛物线的对称轴求法，形如$y=a(x-h)^2+k$的抛物线，对称轴为直线$x=h$；二是抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量$x$）、上加下减（针对常数项）”的规律。我们可以先写出平移后的抛物线解析式，再根据平移后对称轴是$y$轴（即$x=0$）的条件列方程求解$m$；也可以先找到原抛物线的对称轴，利用对称轴随抛物线同步平移的规律列方程，两种方法都可快速求解。
【解析】
解法1：根据“左加右减”的平移规律，将抛物线$y=(x+m)^2+5$向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x+m-3)^2+5$
由顶点式性质可知，平移后抛物线的对称轴为直线$x=3-m$
已知平移后对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），因此列方程：
$3-m=0$
解得$m=3$
解法2：原抛物线$y=(x+m)^2+5$的对称轴为直线$x=-m$
抛物线向右平移3个单位，对称轴也同步向右平移3个单位，因此平移后的对称轴为直线$x=-m+3$
由平移后对称轴为$y$轴（$x=0$）列方程：
$-m+3=0$
解得$m=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查平移规律和顶点式对称轴的求法，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确两个核心知识点：一是顶点式抛物线的对称轴求法，形如$y=a(x-h)^2+k$的抛物线，对称轴为直线$x=h$；二是抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量$x$）、上加下减（针对常数项）”的规律。我们可以先写出平移后的抛物线解析式，再根据平移后对称轴是$y$轴（即$x=0$）的条件列方程求解$m$；也可以先找到原抛物线的对称轴，利用对称轴随抛物线同步平移的规律列方程，两种方法都可快速求解。
【解析】
解法1：根据“左加右减”的平移规律，将抛物线$y=(x+m)^2+5$向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x+m-3)^2+5$
由顶点式性质可知，平移后抛物线的对称轴为直线$x=3-m$
已知平移后对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），因此列方程：
$3-m=0$
解得$m=3$
解法2：原抛物线$y=(x+m)^2+5$的对称轴为直线$x=-m$
抛物线向右平移3个单位，对称轴也同步向右平移3个单位，因此平移后的对称轴为直线$x=-m+3$
由平移后对称轴为$y$轴（$x=0$）列方程：
$-m+3=0$
解得$m=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查平移规律和顶点式对称轴的求法，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.已知函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$.
(1)函数图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________；
(2)当$x$______时，$y$随$x$的增大而减小；
(3)抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移________个单位长度，再向上平移________个单位长度，就可以得到抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$.
(1)函数图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________；
(2)当$x$______时，$y$随$x$的增大而减小；
(3)抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移________个单位长度，再向上平移________个单位长度，就可以得到抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$.
答案
7.(1) 向下 直线$x=-2$ $(-2,1)$
(2) $＞-2$
(3) 2 1
(2) $＞-2$
(3) 2 1
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质与图象平移规律，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中参数的意义：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再结合开口方向判断函数的增减性：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小；最后根据平移“左加右减、上加下减”的规律，对比两个抛物线的表达式即可得出平移的单位长度。
【解析】
(1) 已知函数为顶点式$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此函数图象开口向下；
对比顶点式标准形式可得$h=-2$，$k=1$，因此对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,1)$。
(2) 由于抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：
将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向左平移2个单位长度，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，再向上平移1个单位长度，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$。
【答案】
(1) 向下；直线$x=-2$；$(-2,1)$
(2) $＞-2$
(3) 2；1
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质和平移规则的掌握，熟练记忆相关基础结论即可快速解题，是后续解决二次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质与图象平移规律，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中参数的意义：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再结合开口方向判断函数的增减性：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小；最后根据平移“左加右减、上加下减”的规律，对比两个抛物线的表达式即可得出平移的单位长度。
【解析】
(1) 已知函数为顶点式$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此函数图象开口向下；
对比顶点式标准形式可得$h=-2$，$k=1$，因此对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,1)$。
(2) 由于抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：
将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向左平移2个单位长度，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，再向上平移1个单位长度，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$。
【答案】
(1) 向下；直线$x=-2$；$(-2,1)$
(2) $＞-2$
(3) 2；1
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质和平移规则的掌握，熟练记忆相关基础结论即可快速解题，是后续解决二次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.9
