8. (2025 武威月考)已知二次函数$y=(x-2)^2 -1$.
(1)写出二次函数$y=(x-2)^2 -1$的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象；
(3)当$y$随$x$的增大而减小时,写出$x$的取值范围.

8. 解:(1)$y=(x-2)^2 -1$的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$.
(2)列表：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
描点画图,得
(3)由抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$,则当 y 随 x 的增大而减小时,x 的取值范围为 $x≤2$.

【分析】
本题围绕二次函数顶点式的性质展开，解题思路如下：
(1) 回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对照给定函数式提取$h、k$即可求解。
(2) 画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，优先选取顶点，再对称选取对称轴两侧的整数点计算对应函数值，最后用平滑曲线连接各点即可。
(3) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，结合本题对称轴即可得到取值范围。
【解析】
(1) 已知二次函数为顶点式$y=(x-2)^2 -1$，对应$y=a(x-h)^2+k$可得：$h=2$，$k=-1$，因此该函数的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 按照对称取点的原则列表计算函数值：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
在坐标系中依次描出以上点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
(3) 二次函数$y=(x-2)^2 -1$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=2$可知：在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x$的取值范围为$x≤2$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=2$，顶点坐标是$(2,-1)$；
(2) 列表：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
描点画图，得
(3) $x≤2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象画法；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查对二次函数基本性质的掌握，熟练掌握顶点式与对称轴、顶点的对应关系，以及二次函数增减性的判断规律，是解决这类问题的关键，也为后续二次函数的综合应用打下基础。
【难度系数】
0.85

9.若平面直角坐标系中二次函数$y=a(x+b)^2+c$的图象，经过平移后可与$y=(x+3)^2$的图象完全叠合，则下列$a,b,c$的值符合要求的为（）

A.$a=1,b=0,c=-2$
B.$a=2,b=6,c=0$
C.$a=-1,b=-3,c=0$
D.$a=-2,b=-3,c=-2$

9. A

【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象平移的性质：二次函数图象经过平移后，开口方向和开口大小都不会改变，因此二次项系数a的取值和目标函数的a值完全相同。我们首先确定目标函数$y=(x+3)^2$的a值，再对比各选项的a值即可快速筛选出正确答案，也可后续验证平移过程是否成立。
【解析】
二次函数图象平移时，仅改变顶点的位置，不改变图象的开口方向与开口大小，因此二次项系数$a$保持不变。
目标函数$y=(x+3)^2$的二次项系数为$1$，因此原二次函数的$a$必须等于$1$，观察选项：
B选项$a=2$、C选项$a=-1$、D选项$a=-2$均不符合$a=1$的要求，直接排除；
验证A选项：函数为$y=(x+0)^2-2=x^2-2$，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，即可得到$y=(x+3)^2$，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数平移性质 2. 二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是抓住“平移不改变二次项系数”这一核心性质，可快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

10. 二次函数 $y=a(x+h)^2 -k$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=kx + h$ 的图象一定不经过（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

10. B

【分析】
解题时先从二次函数顶点式的性质入手，首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，推导本题给出的顶点式的顶点坐标，再结合图像判断顶点所在象限，得到顶点横、纵坐标的符号，进而求出$h$和$k$的正负；最后根据一次函数的斜率、截距和图像的对应关系，判断一次函数经过的象限，即可得出答案。
【解析】
二次函数$y=a(x+h)^2 -k$的顶点坐标为$(-h, -k)$。
由图像可知：抛物线开口向上，顶点位于第四象限。
第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，因此可得：
1. 顶点横坐标：$-h＞0$，解得$h＜0$；
2. 顶点纵坐标：$-k＜0$，解得$k＞0$。
分析一次函数$y=kx+h$的图像特征：
斜率$k＞0$，因此函数图像从左到右上升，必然经过第一、三象限；
与$y$轴的截距为$h＜0$，因此函数图像与$y$轴交于负半轴，必然经过第四象限。
综上，一次函数$y=kx+h$的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题需要结合二次函数图像的特征推导参数的符号，再根据一次函数的系数判断图像位置，解题的核心是掌握函数参数和图像性质的对应关系。
【难度系数】
0.7

11.已知二次函数$y=2(x-1)^2+1$的图象为抛物线 C.
(1)抛物线 C 的对称轴为________；
(2)将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到抛物线$C_1$，请判断抛物线$C_1$是否经过点$P(2,3)$，并说明理由；
(3)当$-2≤ x≤3$时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围.

11.(1) 直线 $x=1$.
(2)解:
∵将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到抛物线 $C_1$,
∴抛物线 $C_1:y=2x^2+3$.
把 $x=2$ 代入,得 $y=2×2^2+3=11≠3$,
∴抛物线 $C_1$ 不经过点 $P(2,3)$.
(3)解:
∵$y=2(x-1)^2+1$,
∴当 $x＞1$ 时,y 随 x 的增大而增大,当 $x＜1$ 时,y 随 x 的增大而减小.
当 $x=-2$ 时,$y=19$;
当 $x=3$ 时,$y=9$;
当 $x=1$ 时,y 有最小值 1;
∴当 $-2≤x≤3$ 时,二次函数的函数值 y 的取值范围为 $1≤y≤19$.

【分析】
(1) 第一问考查二次函数顶点式的对称轴性质，回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，直接对应解析式找到$h$的值即可求解。
(2) 第二问先根据二次函数图象平移“左加右减、上加下减”的规律，求出平移后抛物线$C_1$的解析式，再将点$P$的横坐标代入解析式计算函数值，和点$P$的纵坐标比较即可判断是否经过该点。
(3) 第三问先根据二次函数的开口方向和对称轴，分析函数在区间$[-2,3]$内的增减性，开口向上时顶点处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=2(x-1)^2+1$为顶点式，对应$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$。
(2) 根据平移规律：向左平移1个单位长度，自变量$x$加1；向上平移2个单位长度，常数项加2，可得抛物线$C_1$的解析式为：
$y=2(x-1+1)^2+1+2=2x^2+3$
把$x=2$代入$y=2x^2+3$，得$y=2×2^2+3=11≠3$，因此抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$。
(3) 二次函数$y=2(x-1)^2+1$中$a=2＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$：
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
因此$x=1$时，$y$取最小值为$1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2-1)^2+1=19$；
当$x=3$时，$y=2×(3-1)^2+1=9$。
比较得最大值为19，因此当$-2≤x≤3$时，$y$的取值范围为$1≤y≤19$。
【答案】
(1) 直线$x=1$
(2) 抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$，理由见解析
(3) $1≤y≤19$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础考点，熟练掌握相关性质和规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7