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2. 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象的性质
一般地，二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象是抛物线，它具有下述性质：
一般地，二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象是抛物线，它具有下述性质：
答案
$x=-\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ 向上 向下 减小 增大 增大 减小 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先通过配方法将一般式转化为顶点式，再结合顶点式推导各项性质：①先从顶点式中直接得到对称轴和顶点坐标；②根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；③结合开口方向分析对称轴两侧的增减性；④根据开口方向和顶点坐标确定函数的最值。
【解析】
将二次函数一般式配方可得：
$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
1. 对称轴：由顶点式可得，抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，与$a$的正负无关；
2. 顶点坐标：顶点对应横坐标为对称轴取值，纵坐标为配方后的常数项，即$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
3. 开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下；
4. 增减性：
$a＞0$（开口向上）：在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；
$a＜0$（开口向下）：在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：
$a＞0$（开口向上）：顶点为最低点，函数最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$（开口向下）：顶点为最高点，函数最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；向上；向下；减小；增大；增大；减小；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容是二次函数的核心基础性质，熟练掌握这些性质是解决二次函数各类综合题的前提，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先通过配方法将一般式转化为顶点式，再结合顶点式推导各项性质：①先从顶点式中直接得到对称轴和顶点坐标；②根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；③结合开口方向分析对称轴两侧的增减性；④根据开口方向和顶点坐标确定函数的最值。
【解析】
将二次函数一般式配方可得：
$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
1. 对称轴：由顶点式可得，抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，与$a$的正负无关；
2. 顶点坐标：顶点对应横坐标为对称轴取值，纵坐标为配方后的常数项，即$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
3. 开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下；
4. 增减性：
$a＞0$（开口向上）：在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；
$a＜0$（开口向下）：在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：
$a＞0$（开口向上）：顶点为最低点，函数最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$（开口向下）：顶点为最高点，函数最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；向上；向下；减小；增大；增大；减小；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容是二次函数的核心基础性质，熟练掌握这些性质是解决二次函数各类综合题的前提，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
【例1】写出二次函数$y=x^2+2x-3$图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它的图象.
答案
解:二次函数 $y=x^2+2x-3$ 图象的对称轴是直线 $x=-1$,顶点坐标是 $(-1,-4)$,开口向上.图象如图：
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的性质和相关求解方法：1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 对称轴和顶点坐标可通过两种方法求解：①公式法：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将该$x$值代入解析式即可得到顶点纵坐标；②配方法：将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；3. 画函数图象时，选取顶点、与坐标轴的交点等特殊点，描点后用平滑曲线连接即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+2x-3$，可知$a=1$，$b=2$，$c=-3$：
1. 判断开口方向：$\because a=1＞0$，$\therefore$二次函数图象开口向上；
2. 求对称轴：根据公式可得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$；
3. 求顶点坐标：将$x=-1$代入函数解析式，得$y=(-1)^2+2×(-1)-3=1-2-3=-4$，因此顶点坐标为$(-1,-4)$；
也可通过配方法求解：$y=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4$，由此可直接得到对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，开口向上。
画图象时，选取关键点：与$x$轴交点$(-3,0)$、$(1,0)$，与$y$轴交点$(0,-3)$，顶点$(-1,-4)$，对称点$(-2,-3)$，在坐标系中描点后用平滑曲线连接，即可得到函数图象。
【答案】
二次函数 $y=x^2+2x-3$ 图象的对称轴是直线 $x=-1$,顶点坐标是 $(-1,-4)$,开口向上.图象如图：
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数一般式化顶点式；二次函数图象的画法
【点评】
本题是二次函数性质的基础题型，重点考察对二次函数基本性质的掌握程度，熟练运用公式法或配方法求解对称轴、顶点坐标是解题的核心，掌握这类基础题能为后续二次函数的综合应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的性质和相关求解方法：1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 对称轴和顶点坐标可通过两种方法求解：①公式法：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将该$x$值代入解析式即可得到顶点纵坐标；②配方法：将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；3. 画函数图象时，选取顶点、与坐标轴的交点等特殊点，描点后用平滑曲线连接即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+2x-3$，可知$a=1$，$b=2$，$c=-3$：
1. 判断开口方向：$\because a=1＞0$，$\therefore$二次函数图象开口向上；
2. 求对称轴：根据公式可得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$；
3. 求顶点坐标：将$x=-1$代入函数解析式，得$y=(-1)^2+2×(-1)-3=1-2-3=-4$，因此顶点坐标为$(-1,-4)$；
也可通过配方法求解：$y=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4$，由此可直接得到对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，开口向上。
画图象时，选取关键点：与$x$轴交点$(-3,0)$、$(1,0)$，与$y$轴交点$(0,-3)$，顶点$(-1,-4)$，对称点$(-2,-3)$，在坐标系中描点后用平滑曲线连接，即可得到函数图象。
【答案】
二次函数 $y=x^2+2x-3$ 图象的对称轴是直线 $x=-1$,顶点坐标是 $(-1,-4)$,开口向上.图象如图：
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数一般式化顶点式；二次函数图象的画法
【点评】
本题是二次函数性质的基础题型，重点考察对二次函数基本性质的掌握程度，熟练运用公式法或配方法求解对称轴、顶点坐标是解题的核心，掌握这类基础题能为后续二次函数的综合应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
【例2】用配方法求二次函数$y=x^2-2x-1$的对称轴、顶点坐标及最值。
答案
解:$y=x^2-2x-1=(x^2-2x+1)-2=(x-1)^2-2$，对称轴是直线 $x=1$,顶点坐标是 $(1,-2)$,当 $x=1$ 时，$y_{最小值}=-2$。
解析
【分析】
本题要求用配方法求解二次函数的相关性质，解题思路可分为两步：第一步，掌握二次项系数为1的二次函数的配方法操作规则：对含x的二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证函数值不变，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的形式；第二步，结合顶点式的性质，直接对应得到对称轴、顶点坐标，再根据二次项系数的正负判断开口方向，进而确定最值情况。
【解析】
首先对二次函数进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-1\\&=(x^2-2x+1)-1-1\\&=(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：
1. 对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴为直线$x=1$；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，因此本题顶点坐标为$(1,-2)$；
3. 本题中$a=1＞0$，抛物线开口向上，函数存在最小值，当$x=1$时，$y$取最小值为$-2$。
【答案】
对称轴是直线$x=1$,顶点坐标是 $(1,-2)$,当 $x=1$ 时，$y_{最小值}=-2$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式性质；二次函数最值
【点评】
本题是配方法在二次函数性质求解中的典型基础题，核心是熟练掌握二次项系数为1时的配方规则，理清顶点式中各参数和函数性质的对应关系，是后续解决二次函数相关问题的必备基础。
【难度系数】
0.8
本题要求用配方法求解二次函数的相关性质，解题思路可分为两步：第一步，掌握二次项系数为1的二次函数的配方法操作规则：对含x的二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证函数值不变，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的形式；第二步，结合顶点式的性质，直接对应得到对称轴、顶点坐标，再根据二次项系数的正负判断开口方向，进而确定最值情况。
【解析】
首先对二次函数进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-1\\&=(x^2-2x+1)-1-1\\&=(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：
1. 对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴为直线$x=1$；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，因此本题顶点坐标为$(1,-2)$；
3. 本题中$a=1＞0$，抛物线开口向上，函数存在最小值，当$x=1$时，$y$取最小值为$-2$。
【答案】
对称轴是直线$x=1$,顶点坐标是 $(1,-2)$,当 $x=1$ 时，$y_{最小值}=-2$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式性质；二次函数最值
【点评】
本题是配方法在二次函数性质求解中的典型基础题，核心是熟练掌握二次项系数为1时的配方规则，理清顶点式中各参数和函数性质的对应关系，是后续解决二次函数相关问题的必备基础。
【难度系数】
0.8
【变式】用配方法求下列二次函数的顶点坐标、对称轴和最大(小)值，并判断开口方向.
(1) $y=3x^2 -6x +4$；
(2) $y=-\dfrac{1}{2}x^2 +2x +\dfrac{5}{2}$.
(1) $y=3x^2 -6x +4$；
(2) $y=-\dfrac{1}{2}x^2 +2x +\dfrac{5}{2}$.
答案
解:(1)$\because y=3x^2-6x+4=3(x-1)^2+1$，
$\therefore$ 该函数图象的开口向上,顶点坐标为$(1,1)$,对称轴为直线 $x=1$,最小值为 1.
(2)$\because y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$，
$\therefore$ 该函数图象的开口向下,顶点坐标为 $(2,\frac{9}{2})$,对称轴为直线 $x=2$,最大值为 $\frac{9}{2}$.
$\therefore$ 该函数图象的开口向上,顶点坐标为$(1,1)$,对称轴为直线 $x=1$,最小值为 1.
(2)$\because y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$，
$\therefore$ 该函数图象的开口向下,顶点坐标为 $(2,\frac{9}{2})$,对称轴为直线 $x=2$,最大值为 $\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
要解决该类问题，核心是先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再结合顶点式的性质求解对应结论：配方法步骤为①提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内；②括号内加一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变；③将括号内前三项写成完全平方形式，化简常数项得到顶点式。得到顶点式后，$a＞0$则开口向上，函数有最小值$k$；$a＜0$则开口向下，函数有最大值$k$；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，按照上述思路分别求解两小题即可。
【解析】
(1) 对$y=3x^2-6x+4$进行配方：
先提取二次项系数3：$y=3(x^2-2x)+4$
凑完全平方：$y=3(x^2-2x+1-1)+4=3[(x-1)^2-1]+4$
化简得顶点式：$y=3(x-1)^2-3+4=3(x-1)^2+1$
$\because a=3＞0$，$\therefore$函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$，当$x=1$时，$y$有最小值1。
(2) 对$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{5}{2}$进行配方：
先提取二次项系数$-\dfrac{1}{2}$：$y=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x)+\dfrac{5}{2}$
凑完全平方：$y=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x+4-4)+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}[(x-2)^2-4]+\dfrac{5}{2}$
化简得顶点式：$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+\dfrac{9}{2}$
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$，当$x=2$时，$y$有最大值$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) 开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为1；
(2) 开口向下，顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式；二次函数图象与性质
【点评】
本题考查配方法在二次函数性质探究中的应用，熟练掌握配方法的操作步骤，牢记二次函数顶点式对应的图象性质是解题的关键，属于二次函数部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要解决该类问题，核心是先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再结合顶点式的性质求解对应结论：配方法步骤为①提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内；②括号内加一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变；③将括号内前三项写成完全平方形式，化简常数项得到顶点式。得到顶点式后，$a＞0$则开口向上，函数有最小值$k$；$a＜0$则开口向下，函数有最大值$k$；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，按照上述思路分别求解两小题即可。
【解析】
(1) 对$y=3x^2-6x+4$进行配方：
先提取二次项系数3：$y=3(x^2-2x)+4$
凑完全平方：$y=3(x^2-2x+1-1)+4=3[(x-1)^2-1]+4$
化简得顶点式：$y=3(x-1)^2-3+4=3(x-1)^2+1$
$\because a=3＞0$，$\therefore$函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$，当$x=1$时，$y$有最小值1。
(2) 对$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{5}{2}$进行配方：
先提取二次项系数$-\dfrac{1}{2}$：$y=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x)+\dfrac{5}{2}$
凑完全平方：$y=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x+4-4)+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}[(x-2)^2-4]+\dfrac{5}{2}$
化简得顶点式：$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+\dfrac{9}{2}$
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$，当$x=2$时，$y$有最大值$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) 开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为1；
(2) 开口向下，顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式；二次函数图象与性质
【点评】
本题考查配方法在二次函数性质探究中的应用，熟练掌握配方法的操作步骤，牢记二次函数顶点式对应的图象性质是解题的关键，属于二次函数部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
