5.对于二次函数$y=9(x-1)^2$的图象与性质，
下列结论正确的是 （）

A.y随x的增大而增大
B.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
C.当$x＞-1$时，y随x的增大而增大
D.当$x＞1$时，y随x的增大而增大

5. D

【分析】
要判断二次函数的增减性，首先需明确该二次函数的开口方向和对称轴：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$；开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小，开口向下则相反。我们先从给出的函数解析式提取参数，确定开口和对称轴，再逐一判断选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=9(x-1)^2$：
1. 确定参数：$a=9＞0$，因此抛物线开口向上；对称轴为直线$x=1$。
2. 增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而增大。
3. 逐一判断选项：
A选项：未限定区间，$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，错误；
B选项：$x＞0$时，$0＜x＜1$区间内$y$随$x$增大而减小，错误；
C选项：$x＞-1$时，$-1＜x＜1$区间内$y$随$x$增大而减小，错误；
D选项：$x＞1$是对称轴右侧区间，$y$随$x$的增大而增大，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础考查题，解题核心是先根据解析式确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合开口方向判断对应区间的增减性，掌握顶点式的参数含义是解题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 将抛物线$y=m(x+n)^2$向右平移3个单位长度后，得到抛物线$y=-4(x-4)^2$，则$m=$，$n=$。

6. $-4$ $-1$

【分析】
解题时首先明确二次函数图像平移的两个核心规律：一是抛物线平移过程中形状、开口方向均不改变，因此二次项系数保持不变；二是平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中“左加右减”是针对自变量x本身进行的运算。我们先根据平移规则写出原抛物线平移后的表达式，再和题目给出的平移后表达式对比，令对应项系数相等即可求出m、n的值。
【解析】
1. 求m的值：抛物线平移时二次项系数不变，平移后抛物线的二次项系数为-4，因此$m=-4$。
2. 求n的值：将抛物线$y=m(x+n)^2$向右平移3个单位，根据“左加右减”的规则，将自变量x替换为$x-3$，可得平移后的表达式为：
$y=m[(x-3)+n]^2=m(x+n-3)^2$
已知平移后抛物线为$y=-4(x-4)^2$，将$m=-4$代入得：
$x+n-3=x-4$
化简得$n-3=-4$，解得$n=-1$。
【答案】
$-4$；$-1$
【知识点】
二次函数图象平移规律，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心易错点是容易混淆“左加右减”的应用对象，注意该规则仅针对自变量x单独运算，不要直接对括号内的整体加减平移距离。
【难度系数】
0.8

7. 画出二次函数$y=(x-1)^2$的图象，并解答下列问题.
(1)写出图象的顶点坐标与对称轴；
(2)写出函数的最大值或最小值；
(3)写出当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值范围.

7. 解:函数图象如图所示。
(1) 顶点坐标是$(1,0)$,对称轴是直线 $x=1$。
(2) $\because$ 顶点$(1,0)$是图象上的最低点，$\therefore$ 当 $x=1$ 时,函数 $y$ 有最小值 $0$。
(3) 当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确所给二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先确定参数值：本题中$a=1＞0$，说明抛物线开口向上，再结合顶点式的性质和给出的函数图象逐一解决三个问题：1. 顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，可直接对应得到第一问结果；2. 开口向上的抛物线有最低点，对应函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标值；3. 开口向上的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，据此可得到第三问的取值范围，也可结合图象直观验证结论。
【解析】
结合已知的二次函数$y=(x-1)^2$的图象，根据顶点式性质解答如下：
(1) 二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，对应本题函数可得$h=1$，$k=0$，因此图象的顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$；
(2) 由于$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点$(1,0)$是图象的最低点，因此函数有最小值，当$x=1$时，$y$的最小值为0；
(3) 开口向上的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，因此$x＜1$时，满足$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
函数图象如图所示。
(1) 顶点坐标是$(1,0)$，对称轴是直线 $x=1$。
(2) 当 $x=1$ 时,函数 $y$ 有最小值 $0$。
(3) 当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的最值，二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，既可以通过顶点式的公式直接推导结论，也可以结合函数图象利用数形结合的方法得到结果，熟练掌握二次函数的基本性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

8.已知$A(-4,y_1),B(-3,y_2),C(3,y_3)$三点都在抛物线$y=-\frac{1}{3}(x+1)^2$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（用“＜”连接）。

8. $y_3＜y_1＜y_2$

【分析】
解题思路有两种：①利用二次函数性质判断：首先从抛物线顶点式中提取开口方向、对称轴信息，开口向下的抛物线上的点，到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小，因此只需计算三个点横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可推出y值的大小关系；②代入求值法：直接将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出$y_1、y_2、y_3$的具体值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
抛物线$y=-\frac{1}{3}(x+1)^2$中，$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
开口向下的抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小：
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-1)|=3$
点B到对称轴的距离：$|-3 - (-1)|=2$
点C到对称轴的距离：$|3 - (-1)|=4$
因为$4＞3＞2$，所以对应函数值满足$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入解析式：
当$x=-4$时，$y_1=-\frac{1}{3}×(-4+1)^2=-\frac{1}{3}×9=-3$
当$x=-3$时，$y_2=-\frac{1}{3}×(-3+1)^2=-\frac{1}{3}×4=-\frac{4}{3}$
当$x=3$时，$y_3=-\frac{1}{3}×(3+1)^2=-\frac{1}{3}×16=-\frac{16}{3}$
比较三个负数大小：$-\frac{16}{3}＜-3＜-\frac{4}{3}$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，两种解题方法中，利用二次函数开口方向和点到对称轴的距离关系判断更为高效，掌握抛物线的开口方向、对称轴的确定方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.75

9. 对于二次函数 $y=a(x-k)^2$ 的图象，三名同学分别说出了它的一些特点：
甲:开口向上；
乙:对称轴是直线 $x=2$；
丙:与 $y$ 轴的交点到原点的距离为 2.
满足上述全部特点的二次函数的表达式为 .

9. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$

【分析】
解题时先结合二次函数顶点式的性质，逐步确定参数的值：①根据开口向上的特点，先确定a的符号为正；②再根据对称轴的位置确定顶点式中k的值，缩小未知参数的范围；③最后利用与y轴交点到原点的距离求出a的可能值，结合a＞0的限制排除不符合的解，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
1. 由二次函数$y=a(x-k)^2$开口向上，可得$a＞0$；
2. 二次函数$y=a(x-k)^2$的对称轴为直线$x=k$，已知对称轴是直线$x=2$，因此$k=2$，此时函数可写为$y=a(x-2)^2$；
3. 求函数与$y$轴的交点：令$x=0$，代入得$y=a×(0-2)^2=4a$，即交点坐标为$(0,4a)$；
4. 已知该交点到原点的距离为2，因此$|4a|=2$，解得$a=\frac{1}{2}$或$a=-\frac{1}{2}$；
5. 结合第一步得到的$a＞0$，舍去$a=-\frac{1}{2}$，即$a=\frac{1}{2}$。
因此二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象与坐标轴交点；二次函数的开口方向
【点评】
本题考查二次函数顶点式中参数的意义，解题的关键是将给出的图象特点和参数一一对应，同时要注意结合开口方向的限制条件筛选解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

10.已知抛物线$y=a(x-h)^2$的开口方向和大小与抛物线$y=3x^2$都相同，顶点坐标与抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标相同.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出将(1)中求得的抛物线向右平移4个单位长度后，得到的抛物线的表达式；
(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线的表达式.

解:(1) $\because$ 开口方向和大小与抛物线 $y=3x^2$ 都相同,$\therefore a=3$。$\because$ 顶点坐标与抛物线 $y=(x+2)^2$ 的顶点坐标相同，$\therefore h=-2$，$\therefore$ 这条抛物线的表达式为 $y=3(x+2)^2$。
(2) $y=3(x-2)^2$。
(3) $\because$ 抛物线 $y=3(x-2)^2$ 的顶点在 $x$ 轴上,若顶点不动,开口反向,则所得抛物线与抛物线 $y=3(x-2)^2$ 关于 $x$ 轴对称，$\therefore$ 符合这个条件的抛物线的表达式为 $y=-3(x-2)^2$。

【分析】
我们可以结合二次函数顶点式的性质逐步求解：
1. 对于顶点式$y=a(x-h)^2$，$a$决定抛物线的开口方向和开口大小，两个抛物线开口方向、大小相同则$a$值相等；该形式的抛物线顶点坐标为$(h,0)$，因此只要确定$a$和$h$的值就能得到第一问的解析式。
2. 抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，左右平移只改变横坐标，向右平移就是将原式中的$x$替换为$x-$平移单位长度，即可得到第二问的解析式。
3. 抛物线开口反向时，开口大小不变，所以$a$的绝对值不变，符号变为相反数，顶点不动则$h$值不变，据此可求出第三问的解析式。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$的开口方向和大小与抛物线$y=3x^2$都相同，$\therefore a=3$。
$\because$ 该抛物线顶点坐标与抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标相同，$y=(x+2)^2$的顶点为$(-2,0)$，$\therefore h=-2$，因此这条抛物线的表达式为$y=3(x+2)^2$。
(2) 将抛物线$y=3(x+2)^2$向右平移4个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，把$x$替换为$x-4$，可得新的抛物线表达式为$y=3[(x-4)+2]^2=3(x-2)^2$。
(3) 若抛物线$y=3(x-2)^2$顶点不动、开口反向，则二次项系数变为原来的相反数，即$a=-3$，顶点坐标仍为$(2,0)$，因此符合条件的抛物线表达式为$y=-3(x-2)^2$。
【答案】
(1) $y=3(x+2)^2$
(2) $y=3(x-2)^2$
(3) $y=-3(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数平移规律
3. 二次函数图像变换
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的基本性质和图像变换规律设问，属于基础巩固类题型，解题的关键是准确掌握$a$的意义、平移规则以及开口反向的变换特点，熟练掌握这些知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.8