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引入 根据求根公式，一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根为 $ x_1 = $
$\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
，$ x_2 = $ $\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
，∴ $ x_1 + x_2 = $ $-\dfrac{b}{a}$
，$ x_1 x_2 = $ $\dfrac{c}{a}$
。答案
$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的识记及根与系数关系的推导，解题思路分为三步：第一步先回忆一元二次方程在判别式$b^2-4ac≥0$时的求根公式，写出$x_1$和$x_2$的表达式；第二步计算两根之和，将两个求根公式相加，分子中带根号的部分互为相反数可直接抵消，化简后得到结果；第三步计算两根之积，利用平方差公式计算分子，再约分得到最终结果。
【解析】
当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a≠0$且$b^2-4ac≥0$时，由配方法推导可得求根公式：
$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}+\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\&=\dfrac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}\\&=\dfrac{-2b}{2a}\\&=-\dfrac{b}{a}\end{aligned}$
计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2&=(\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})×(\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})\\&=\dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}\\&=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\dfrac{4ac}{4a^2}\\&=\dfrac{c}{a}\end{aligned}$
【答案】
$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根与系数的关系 3.代数式化简
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对求根公式的掌握和根与系数关系的推导过程，熟练掌握求根公式是解决此类问题的前提，该知识点是后续解决一元二次方程综合问题的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程求根公式的识记及根与系数关系的推导，解题思路分为三步：第一步先回忆一元二次方程在判别式$b^2-4ac≥0$时的求根公式，写出$x_1$和$x_2$的表达式；第二步计算两根之和，将两个求根公式相加，分子中带根号的部分互为相反数可直接抵消，化简后得到结果；第三步计算两根之积，利用平方差公式计算分子，再约分得到最终结果。
【解析】
当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a≠0$且$b^2-4ac≥0$时，由配方法推导可得求根公式：
$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}+\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\&=\dfrac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}\\&=\dfrac{-2b}{2a}\\&=-\dfrac{b}{a}\end{aligned}$
计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2&=(\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})×(\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})\\&=\dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}\\&=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\dfrac{4ac}{4a^2}\\&=\dfrac{c}{a}\end{aligned}$
【答案】
$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根与系数的关系 3.代数式化简
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对求根公式的掌握和根与系数关系的推导过程，熟练掌握求根公式是解决此类问题的前提，该知识点是后续解决一元二次方程综合问题的重要基础。
【难度系数】
0.85
归纳 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1,x_2$，则两根的和$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$；两根的积$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$。该关系使用的前提条件是
$\Delta≥0(或b^2 - 4ac≥0)$
。答案
前提条件是 $\Delta≥0(或b^2 - 4ac≥0)$
解析
【分析】
要确定根与系数关系的使用前提，首先明确题设已经给出该方程是一元二次方程，因此已隐含$a≠0$的条件。我们所说的“两根”指的是两个实数根，只有当一元二次方程存在两个实数根时，才能讨论两根的和与积的关系，而一元二次方程有实根的判定依据是判别式非负，由此即可推出对应的前提条件。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况由判别式$\Delta = b^2-4ac$决定：
1. 当$\Delta ≥ 0$时，方程有两个实数根（可以相等也可以不等），此时存在两个实根$x_1,x_2$，可应用根与系数的关系计算两根和与积；
2. 当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，不存在两个实根，无法使用该关系。
结合题设已经明确是一元二次方程（已满足$a≠ 0$），因此该关系使用的前提条件是$\Delta ≥ 0$。
【答案】
$\Delta≥0(或b^2 - 4ac≥0)$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是对基础概念的考查，重点提醒学生在应用根与系数的关系前，需先确认方程存在两个实数根，避免忽略适用前提误用公式。
【难度系数】
0.8
要确定根与系数关系的使用前提，首先明确题设已经给出该方程是一元二次方程，因此已隐含$a≠0$的条件。我们所说的“两根”指的是两个实数根，只有当一元二次方程存在两个实数根时，才能讨论两根的和与积的关系，而一元二次方程有实根的判定依据是判别式非负，由此即可推出对应的前提条件。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况由判别式$\Delta = b^2-4ac$决定：
1. 当$\Delta ≥ 0$时，方程有两个实数根（可以相等也可以不等），此时存在两个实根$x_1,x_2$，可应用根与系数的关系计算两根和与积；
2. 当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，不存在两个实根，无法使用该关系。
结合题设已经明确是一元二次方程（已满足$a≠ 0$），因此该关系使用的前提条件是$\Delta ≥ 0$。
【答案】
$\Delta≥0(或b^2 - 4ac≥0)$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是对基础概念的考查，重点提醒学生在应用根与系数的关系前，需先确认方程存在两个实数根，避免忽略适用前提误用公式。
【难度系数】
0.8
1.【例1】若$x_1,x_2$是方程$2x^2 +6x=8$的两个根，求$x_1+x_2$与$x_1x_2$的值.
解:移项,得$2x^2 +6x -8=0$.
$\therefore a=$$,b=$$,c=$.
$\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(\ \ \ \ \ )}{2}=$______$,x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{(\ \ \ \ \ )}{2}=$______.
解:移项,得$2x^2 +6x -8=0$.
$\therefore a=$$,b=$$,c=$.
$\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(\ \ \ \ \ )}{2}=$______$,x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{(\ \ \ \ \ )}{2}=$______.
答案
1. a=2，b=6，c=-8，$x_1+x_2=-\dfrac{6}{2}=-3$，$x_1x_2=\dfrac{-8}{2}=-4$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路如下：首先，根与系数的关系仅适用于化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，因此第一步要先将给定方程移项整理为一般形式；其次，根据一般形式的定义，对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带本身的符号；最后，将$a、b、c$的值代入根与系数的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
首先对原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：$2x^2 +6x -8=0$。
根据一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的定义，可得：
$a$为二次项系数，值为$2$；$b$为一次项系数，值为$6$；$c$为常数项，值为$-8$。
代入根与系数的公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$；
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-8}{2}=-4$。
【答案】
$a=2$，$b=6$，$c=-8$，$x_1+x_2=-\dfrac{6}{2}=-3$，$x_1x_2=\dfrac{-8}{2}=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是先将方程化为一般形式，尤其要注意常数项的符号，避免因符号判断错误导致计算失误，熟练掌握根与系数的关系公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路如下：首先，根与系数的关系仅适用于化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，因此第一步要先将给定方程移项整理为一般形式；其次，根据一般形式的定义，对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带本身的符号；最后，将$a、b、c$的值代入根与系数的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
首先对原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：$2x^2 +6x -8=0$。
根据一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的定义，可得：
$a$为二次项系数，值为$2$；$b$为一次项系数，值为$6$；$c$为常数项，值为$-8$。
代入根与系数的公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$；
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-8}{2}=-4$。
【答案】
$a=2$，$b=6$，$c=-8$，$x_1+x_2=-\dfrac{6}{2}=-3$，$x_1x_2=\dfrac{-8}{2}=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是先将方程化为一般形式，尤其要注意常数项的符号，避免因符号判断错误导致计算失误，熟练掌握根与系数的关系公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. (1)若$x_1,x_2$是方程$x^2 -6x -7 =0$的两个根，则$x_1 +x_2 =$
(2)(乐山中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m =0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1 =3x_2$,则$m$的值为 (
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
6
,$x_1x_2 =$-7
;(2)(乐山中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m =0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1 =3x_2$,则$m$的值为 (
C
)A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
答案
2. (1) 6 -7 (2) C
解析
【分析】
(1) 本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的直接应用，解题时先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的各项系数$a、b、c$，再代入韦达定理公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
(2) 本题是韦达定理的简单综合应用，已知两根的数量关系求参数，首先利用韦达定理求出两根之和，结合题目给出的$x_1=3x_2$的关系求出两个根的取值，最后根据两根之积的公式即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 方程$x^2 -6x -7 =0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=-7$，根据韦达定理可得：
$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$
(2) 对于一元二次方程$x^2 -8x +m =0$，$a=1$，$b=-8$，$c=m$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=8$
已知$x_1=3x_2$，代入上式得$3x_2+x_2=8$，即$4x_2=8$，解得$x_2=2$，则$x_1=3×2=6$。
再根据韦达定理$x_1x_2=\frac{c}{a}=m$，可得$m=2×6=12$，故选C。
【答案】
(1) $6$；$-7$ (2) C
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程参数求解
【点评】
这两道题属于韦达定理的基础应用题型，熟练掌握两根和、两根积与方程系数的对应关系，可跳过解方程的繁琐步骤快速得到结果，解题时需注意不要混淆两根和的符号。
【难度系数】
0.8
(1) 本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的直接应用，解题时先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的各项系数$a、b、c$，再代入韦达定理公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
(2) 本题是韦达定理的简单综合应用，已知两根的数量关系求参数，首先利用韦达定理求出两根之和，结合题目给出的$x_1=3x_2$的关系求出两个根的取值，最后根据两根之积的公式即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 方程$x^2 -6x -7 =0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=-7$，根据韦达定理可得：
$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$
(2) 对于一元二次方程$x^2 -8x +m =0$，$a=1$，$b=-8$，$c=m$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=8$
已知$x_1=3x_2$，代入上式得$3x_2+x_2=8$，即$4x_2=8$，解得$x_2=2$，则$x_1=3×2=6$。
再根据韦达定理$x_1x_2=\frac{c}{a}=m$，可得$m=2×6=12$，故选C。
【答案】
(1) $6$；$-7$ (2) C
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程参数求解
【点评】
这两道题属于韦达定理的基础应用题型，熟练掌握两根和、两根积与方程系数的对应关系，可跳过解方程的繁琐步骤快速得到结果，解题时需注意不要混淆两根和的符号。
【难度系数】
0.8
3.【例2】设$x_1,x_2$是方程$2x^2 +4x -3=0$的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)$x_1^2 +x_2^2$； (2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$。
4.(1)已知$α,β$是方程$x^2 +2x -2026=0$的两个根，求$α^2β +αβ^2$的值；
(2)(2025 广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为$a$和$b$，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
(1)$x_1^2 +x_2^2$； (2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$。
4.(1)已知$α,β$是方程$x^2 +2x -2026=0$的两个根，求$α^2β +αβ^2$的值；
(2)(2025 广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为$a$和$b$，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
3. 解:$\because x_1,x_2$ 是方程 $2x^2 +4x -3 =0$ 的两个根，
$\therefore x_1 + x_2 = -2,x_1x_2 = -\dfrac{3}{2}$.
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2 )^2 - 2x_1x_2 = ( - 2 )^2 - 2 × ( -\dfrac{3}{2})=7$.
(2) $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{-2}{-\dfrac{3}{2}} = \dfrac{4}{3}$.
4. (1) 解:$\because α,β$ 是方程 $x^2 +2x - 2026 =0$ 的两个根，
$\therefore α + β = -2,αβ = - 2026$.
$\therefore α^2β + αβ^2 = αβ( α + β) = - 2026 × ( - 2 ) = 4052$.
(2) 29
$\therefore x_1 + x_2 = -2,x_1x_2 = -\dfrac{3}{2}$.
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2 )^2 - 2x_1x_2 = ( - 2 )^2 - 2 × ( -\dfrac{3}{2})=7$.
(2) $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{-2}{-\dfrac{3}{2}} = \dfrac{4}{3}$.
4. (1) 解:$\because α,β$ 是方程 $x^2 +2x - 2026 =0$ 的两个根，
$\therefore α + β = -2,αβ = - 2026$.
$\therefore α^2β + αβ^2 = αβ( α + β) = - 2026 × ( - 2 ) = 4052$.
(2) 29
解析
【分析】
这组题目主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：① 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，可直接根据韦达定理得出$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先求出对应方程的两根之和与两根之积；② 将所求代数式通过恒等变形（完全平方公式变形、通分、因式分解、利用根的定义降次等），转化为仅含两根之和、两根之积的形式；③ 将求得的两根和、积代入变形后的式子计算即可。其中第4(2)题需要先利用根的定义将二次项降为一次项，再结合韦达定理计算。
【解析】
第3题
已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 +4x -3=0$的两个根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$
(1) 由完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值计算：$(-2)^2-2×(-\frac{3}{2})=4+3=7$
(2) 通分变形得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$
---
第4题
(1) 已知$α,β$是方程$x^2 +2x -2026=0$的两个根，根据根与系数的关系可得：
$α+β=-2$，$αβ=-2026$
提公因式变形得：
$α^2β+αβ^2=αβ(α+β)$
代入数值计算：$(-2026)×(-2)=4052$
(2) 已知$a$是方程$x^2 -5x -24=0$的根，根据根的定义代入得：
$a^2-5a-24=0$，即$a^2=5a+24$
将$a^2=5a+24$代入$a^2 -4a +b$得：
原式$=5a+24-4a+b=a+b+24$
又$a,b$是方程两根，根据根与系数的关系得$a+b=5$
代入计算得：$5+24=29$
【答案】
3. (1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{3}}$
4. (1) $\boxed{4052}$；(2) $\boxed{29}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关求值的典型题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握代数式的常见变形技巧，对于含单根二次项的式子，可先利用根的定义降次后再简化计算，能有效锻炼学生的代数运算和转化能力。
【难度系数】
0.7
这组题目主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：① 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，可直接根据韦达定理得出$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先求出对应方程的两根之和与两根之积；② 将所求代数式通过恒等变形（完全平方公式变形、通分、因式分解、利用根的定义降次等），转化为仅含两根之和、两根之积的形式；③ 将求得的两根和、积代入变形后的式子计算即可。其中第4(2)题需要先利用根的定义将二次项降为一次项，再结合韦达定理计算。
【解析】
第3题
已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 +4x -3=0$的两个根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$
(1) 由完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值计算：$(-2)^2-2×(-\frac{3}{2})=4+3=7$
(2) 通分变形得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$
---
第4题
(1) 已知$α,β$是方程$x^2 +2x -2026=0$的两个根，根据根与系数的关系可得：
$α+β=-2$，$αβ=-2026$
提公因式变形得：
$α^2β+αβ^2=αβ(α+β)$
代入数值计算：$(-2026)×(-2)=4052$
(2) 已知$a$是方程$x^2 -5x -24=0$的根，根据根的定义代入得：
$a^2-5a-24=0$，即$a^2=5a+24$
将$a^2=5a+24$代入$a^2 -4a +b$得：
原式$=5a+24-4a+b=a+b+24$
又$a,b$是方程两根，根据根与系数的关系得$a+b=5$
代入计算得：$5+24=29$
【答案】
3. (1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{3}}$
4. (1) $\boxed{4052}$；(2) $\boxed{29}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关求值的典型题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握代数式的常见变形技巧，对于含单根二次项的式子，可先利用根的定义降次后再简化计算，能有效锻炼学生的代数运算和转化能力。
【难度系数】
0.7
