5.【例3】关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$有两个不相等的实数根.
(1)$k$的取值范围为；
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1 + 2x_2 = 1$，求$k$的值和方程的根.

5. 解:(1)$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
(2) 由题意可知,$x_1 + 2x_2 = 1$①,$x_1 + x_2 = 3$②.
①$-$②,得 $x_2 = -2$. 将 $x_2 = -2$ 代入①,得 $x_1 = 5$.
$\therefore x_1 = 5,x_2 = -2. \therefore x_1x_2 = -k = -10. \therefore k = 10$.
综上所述,$k$ 的值为 10,方程的根为 $x_1 = 5,x_2 = -2$.

【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，代入方程对应系数$a、b、c$计算$\Delta$，解不等式即可得到$k$的取值范围；
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，本题已知$x_1+2x_2=1$，将这两个关于$x_1、x_2$的式子联立，可先求出两个根的具体值，再根据两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$代入计算即可得到$k$的值。
【解析】
(1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$有两个不相等的实数根
$\therefore \Delta = b^2-4ac ＞ 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-k$
代入得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-k) = 9 + 4k ＞ 0$
解得：$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
(2) 根据根与系数的关系，得：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 3$ ①
又已知$x_1 + 2x_2 = 1$ ②
用②$-$①，得：$x_2 = -2$
将$x_2=-2$代入①，得：$x_1 + (-2) = 3$，解得$x_1=5$
再根据根与系数的关系，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -k$
代入$x_1=5$，$x_2=-2$得：$5×(-2) = -k$，即$-10=-k$，解得$k=10$
$\therefore$ 方程的根为$x_1=5$，$x_2=-2$
【答案】
(1) $k ＞ -\dfrac{9}{4}$
(2) $k=10$，方程的根为$x_1=5$，$x_2=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考察根的判别式的应用，第二问结合韦达定理求解参数和方程的根，解题逻辑清晰，是该章节的常考题型，需要牢固掌握判别式和韦达定理的适用条件及公式。
【难度系数】
0.7

6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0$. 若$x_1, x_2$是方程的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，求$m$的值.

6. 解:$\because \Delta = [ - (2m - 1) ]^2 - 4 × 1 × ( - 3m^2 + m )$
$=4m^2 -4m +1 +12m^2 -4m =16m^2 -8m +1$
$=(4m -1)^2 ≥0$,$\therefore$ 方程总有两个实数根.
由题意知,$x_1 + x_2 = 2m -1$,$x_1x_2 = -3m^2 + m$.
$\because \dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2} - 2 = -\dfrac{5}{2}$,
$\therefore \dfrac{(2m -1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\dfrac{5}{2}$. 整理,得 $5m^2 -7m +2 =0$.
解得 $m_1 =1,m_2 =\dfrac{2}{5}. \therefore m$ 的值为 1 或 $\dfrac{2}{5}$.

【分析】
解决本题首先可从题目的已知条件入手：①题目给出含参数的一元二次方程且有两个实根，首先要想到利用根的判别式判断参数的取值范围；②题目给出的$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$是关于两根的对称式，优先用根与系数的关系（韦达定理）求解。解题步骤如下：第一步计算判别式，确认方程总有实根；第二步写出两根之和、两根之积的表达式；第三步将对称式变形为用两根和、积表示的形式，代入已知条件得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
首先计算方程的判别式：
$\because \Delta = [ - (2m - 1) ]^2 - 4 × 1 × ( - 3m^2 + m )$
$=4m^2 -4m +1 +12m^2 -4m =16m^2 -8m +1$
$=(4m -1)^2 ≥0$
$\therefore$ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2m -1$，$x_1x_2 = -3m^2 + m$
将$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2} - 2$
代入已知$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m -1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\frac{5}{2}$
整理方程：
两边同乘$2(-3m^2+m)$消去分母，展开合并同类项后得 $5m^2 -7m +2 =0$
因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，解得 $m_1 =1,m_2 =\dfrac{2}{5}$
由于判别式恒大于等于0，两个解均符合要求。
【答案】
$m$的值为$1$或$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 韦达定理
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，重点考查两根对称式的变形能力，解题时要养成先验证判别式的习惯，确保所求参数对应的方程存在实根，避免出现增根。
【难度系数】
0.7

1. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -4x -1=0$的两个根，则$x_1x_2=$（）

A.4
B.1
C.-1
D.-4

1. C

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题时不需要解方程求出两个根的具体值，只需要先确定一元二次方程一般形式中各项的系数，再代入两根之积的公式计算即可。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之积公式为$x_1x_2=\frac{c}{a}$，接下来对应找到题干方程中$a、b、c$的值，代入公式计算就能得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干中给出的方程为$x^2 -4x -1=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$c=-1$。
代入公式计算得：$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对韦达定理的识记与简单应用，只要准确识别方程各项系数、熟记两根乘积的计算公式即可快速得出答案，是一元二次方程章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.9

2. 下列方程中,两个实数根的和为0的是（）

A.$x^2 - x = 0$
B.$x^2 + 2x = 0$
C.$x^2 - 1 = 0$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$

2. C

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确对于有两个实数根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，需要满足两个条件：一是判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$（保证有两个实根），二是两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=0$。我们可以根据这两个条件逐一验证选项，即可选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，且需满足$\Delta=b^2-4ac≥0$才有两个实根：
选项A：方程$x^2 - x = 0$中，$a=1,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{1}=1≠0$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 + 2x = 0$中，$a=1,b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠0$，不符合要求；
选项C：方程$x^2 - 1 = 0$中，$a=1,b=0$，两根之和为$-\frac{0}{1}=0$，且$\Delta=0^2-4×1×(-1)=4＞0$，有两个不等实根，符合要求；
选项D：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1,b=-2$，两根之和为$-\frac{-2}{1}=2≠0$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程韦达定理
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意不要直接套用韦达公式，要先确认方程有两个实数根，再计算两根之和，避免忽略判别式的前提条件出错。
【难度系数】
0.8

3. (2025 苏州)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - m = 0$的两个实数根，其中$x_1 = 1$，则$x_2 =$。

3. -3

【分析】
本题已知一元二次方程的一个实数根，求另一个实数根，有两种解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，无需计算参数$m$即可直接求解未知根，运算量更小；思路2：先将已知根$x_1=1$代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到$x_2$。两种方法均符合学段知识要求，这里选择更简便的思路1解题。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x - m = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得：$1 + x_2 = -2$
解得：$x_2 = -2 -1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，考察一元二次方程相关性质的应用，掌握韦达定理可快速简化计算，即使不使用韦达定理，通过代入求参数再解方程的常规方法也可顺利求解，对学生的基础运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.9

4. (易错题)若关于x的方程$x^2 + (2 - k)x + k^2 = 0$的两根互为倒数，则k= ()

A.3
B.$\pm 1$
C.1
D.$-1$

4. D

【分析】
解题时首先利用“两根互为倒数”的条件，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出k的候选值，再代入根的判别式验证，确保方程有两个实数根，排除不符合条件的k值即可得到正确结果。具体步骤：①由倒数的性质得两根之积为1，根据韦达定理列方程求k的可能值；②计算方程的判别式，将候选k值代入判别式，仅当判别式≥0时方程有实根，舍去判别式＜0对应的k值。
【解析】
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，
∵ 两根互为倒数，
∴ $x_1x_2=1$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根与系数的关系为$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
本题中$a=1$，$b=2-k$，$c=k^2$，因此$x_1x_2=\frac{k^2}{1}=k^2$，
∴ $k^2=1$，解得$k=1$或$k=-1$。
接下来验证方程是否有实根：
一元二次方程有实根的前提是判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，
代入系数得$\Delta=(2-k)^2-4×1× k^2=4-4k+k^2-4k^2=-3k^2-4k+4$。
当$k=1$时，$\Delta=-3×1^2-4×1+4=-3＜0$，方程无实根，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=-3×(-1)^2-4×(-1)+4=5＞0$，方程有两个不相等的实根，符合题意。
因此$k=-1$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；倒数的性质
【点评】
本题是易错题，易错点为求出$k=\pm1$后直接选B，忽略了韦达定理的使用前提是方程存在两个实数根，解题时一定要注意代入判别式验证根的存在性，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

5.（新考向）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是（）

A.$x^2 +6x +5 =0$
B.$x^2 -7x +10 =0$
C.$x^2 -5x +2 =0$
D.$x^2 -6x -10 =0$

5. B

【分析】
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，根据韦达定理，若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。本题中，小影仅写错常数项，因此他求解得到的两根之和是正确的，可用来求原方程的一次项系数；小冬仅写错一次项系数，因此他求解得到的两根之积是正确的，可用来求原方程的常数项，最后将正确的一次项系数和常数项组合即可得到原方程。
【解析】
设原二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$。
1. 求正确的一次项系数：
小影仅写错常数项，一次项系数$b$正确，他得到的两根为6和1，根据韦达定理：
$6+1=-b$，解得$b=-7$。
2. 求正确的常数项：
小冬仅写错一次项系数，常数项$c$正确，他得到的两根为-2和-5，根据韦达定理：
$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$。
因此原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是准确判断错误项对应的正确计算结果，灵活运用根与系数的关系求解参数，不需要解方程即可快速得到原方程。
【难度系数】
0.7

6.（代数推理）（2025 南充改编）设 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)(x-2)=m^2 $ 的两根.
（1）求证：无论 $ m $ 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）求证：$ (x_1 -1)(x_2 -1) ≤ 0 $.

6. 证明:(1)方程$(x-1)(x-2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$.
$\because \Delta = ( - 3)^2 - 4 × 1 × (2 - m^2) = 4m^2 + 1$,且无论$m$取何值,$4m^2 + 1 ＞ 0$恒成立,
$\therefore$ 无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = 3$,$x_1x_2 = 2 - m^2$.
$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = - m^2$.
$\because - m^2 ≤ 0$,$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.

【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用根的判别式判断：首先将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算，最后根据平方的非负性证明$\Delta＞0$恒成立即可。
（2）要证明含两根的代数式取值≤0，可利用根与系数的关系（韦达定理）求解：先求出方程两根之和、两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和与积的表达式化简，最后根据平方的非负性判断化简结果的符号即可。
【解析】
证明：
（1）将原方程整理为一般形式：
$(x-1)(x-2)=m^2$展开移项得$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。
计算根的判别式：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$恒成立，
∴$4m^2+1≥1＞0$，
∴ 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）由根与系数的关系，得方程两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。
将待证式展开整理：
$(x_1 -1)(x_2 -1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入上述关系得：
原式$=2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$。
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
∴ $(x_1 -1)(x_2 -1) ≤ 0$。
【答案】
（1）无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，得证；（2）$(x_1 -1)(x_2 -1) ≤ 0$，得证。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题属于代数推理基础题，核心考查一元二次方程相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握根的判别式、韦达定理的计算公式，结合平方的非负性分析代数式的符号，是一元二次方程章节的常规考法。
【难度系数】
0.7