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1.【例1】(人教九上$P_{20}$例1改编)已知一个直角三角形的三边长是三个连续的正偶数，分别求出这个直角三角形的三边长.
2.(人教九上$P_{20}$例2)用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
2.(人教九上$P_{20}$例2)用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
答案
1. 解:设这个直角三角形的三边长分别为 x,x+2,x+4,其中 x 为正偶数.
根据题意,得 $x^{2}+(x+2)^{2}=(x+4)^{2}$.
解方程,得 $x_1 =6$,$x_2 = -2$(不符合题意,舍去).
因此,这个直角三角形的三边长分别为 6,8,10.
2. 解:设矩形的一边长为 x m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为(20 - x)m.
由矩形的面积为 $96\ \mathrm{m}^2$,得 $x(20 - x) =96$.
解方程,得 $x_1 =12$,$x_2 =8$.
因此,用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 $96\ \mathrm{m}^2$的矩形区域,这样的矩形唯一,其两邻边长分别为 8 m,12 m.
根据题意,得 $x^{2}+(x+2)^{2}=(x+4)^{2}$.
解方程,得 $x_1 =6$,$x_2 = -2$(不符合题意,舍去).
因此,这个直角三角形的三边长分别为 6,8,10.
2. 解:设矩形的一边长为 x m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为(20 - x)m.
由矩形的面积为 $96\ \mathrm{m}^2$,得 $x(20 - x) =96$.
解方程,得 $x_1 =12$,$x_2 =8$.
因此,用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 $96\ \mathrm{m}^2$的矩形区域,这样的矩形唯一,其两邻边长分别为 8 m,12 m.
解析
【分析】
第1题：已知直角三角形三边长为连续正偶数，连续正偶数之间相差2，且直角三角形满足勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为最长边）。因此可以设最短的边长为x（x为正偶数），另外两边长依次为x+2、x+4，其中x+4为斜边，根据勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义（边长为正）的根，即可得到三边长。
第2题：要判断长40m的细绳能否围成面积96m²的矩形，需结合矩形的周长和面积公式分析：矩形周长=2×(长+宽)，因此长+宽=20m，设其中一边长为x m，邻边长即为(20-x)m，再根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，若方程有正实根则可以围成，若两个根为同一矩形的长宽互换，则矩形唯一。
【解析】
1. 设这个直角三角形的三边长分别为x，x+2，x+4，其中x为正偶数，最长边x+4为斜边。
根据勾股定理可得：$x^{2}+(x+2)^{2}=(x+4)^{2}$
展开整理得：$x^2 -4x -12=0$
因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
解得：$x_1 =6$，$x_2 = -2$，边长不能为负，故舍去$x=-2$。
因此三边长分别为6，6+2=8，6+4=10。
2. 设矩形的一边长为x m，已知细绳长40m即矩形周长为40m，因此该边的邻边长为$\frac{40}{2}-x=(20-x)$m。
根据矩形面积为96m²，可得：$x(20 - x) =96$
整理得：$x^2 -20x +96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得：$x_1 =8$，$x_2 =12$。
当x=8时，邻边长为12m；当x=12时，邻边长为8m，二者为同一个矩形（仅长宽互换）。
因此能围成面积为96m²的矩形区域，且这样的矩形唯一。
【答案】
1. 这个直角三角形的三边长为6，8，10；
2. 能围成面积为$96\ \mathrm{m}^2$的矩形区域，这样的矩形唯一，两邻边长分别为8 m、12 m。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；矩形的周长与面积计算
【点评】
这两道题是一元二次方程在几何实际问题中的基础应用，解题核心是找准几何等量关系列方程，求解后要注意检验根是否符合实际意义，是方程应用模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
第1题：已知直角三角形三边长为连续正偶数，连续正偶数之间相差2，且直角三角形满足勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为最长边）。因此可以设最短的边长为x（x为正偶数），另外两边长依次为x+2、x+4，其中x+4为斜边，根据勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义（边长为正）的根，即可得到三边长。
第2题：要判断长40m的细绳能否围成面积96m²的矩形，需结合矩形的周长和面积公式分析：矩形周长=2×(长+宽)，因此长+宽=20m，设其中一边长为x m，邻边长即为(20-x)m，再根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，若方程有正实根则可以围成，若两个根为同一矩形的长宽互换，则矩形唯一。
【解析】
1. 设这个直角三角形的三边长分别为x，x+2，x+4，其中x为正偶数，最长边x+4为斜边。
根据勾股定理可得：$x^{2}+(x+2)^{2}=(x+4)^{2}$
展开整理得：$x^2 -4x -12=0$
因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
解得：$x_1 =6$，$x_2 = -2$，边长不能为负，故舍去$x=-2$。
因此三边长分别为6，6+2=8，6+4=10。
2. 设矩形的一边长为x m，已知细绳长40m即矩形周长为40m，因此该边的邻边长为$\frac{40}{2}-x=(20-x)$m。
根据矩形面积为96m²，可得：$x(20 - x) =96$
整理得：$x^2 -20x +96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得：$x_1 =8$，$x_2 =12$。
当x=8时，邻边长为12m；当x=12时，邻边长为8m，二者为同一个矩形（仅长宽互换）。
因此能围成面积为96m²的矩形区域，且这样的矩形唯一。
【答案】
1. 这个直角三角形的三边长为6，8，10；
2. 能围成面积为$96\ \mathrm{m}^2$的矩形区域，这样的矩形唯一，两邻边长分别为8 m、12 m。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；矩形的周长与面积计算
【点评】
这两道题是一元二次方程在几何实际问题中的基础应用，解题核心是找准几何等量关系列方程，求解后要注意检验根是否符合实际意义，是方程应用模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.【例2】张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，求每月盈利的平均增长率.
答案
3. 解:设每月盈利的平均增长率为 x.
根据题意,得 $5\ 000(1 + x)^{2} =7\ 200$.
解得 $x_1 =0.2 =20\%$ ,$x_2 = -2.2$(不合题意,舍去).
答:每月盈利的平均增长率为 20%.
根据题意,得 $5\ 000(1 + x)^{2} =7\ 200$.
解得 $x_1 =0.2 =20\%$ ,$x_2 = -2.2$(不合题意,舍去).
答:每月盈利的平均增长率为 20%.
解析
【分析】
这是典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：第一步先设每月盈利的平均增长率为x；第二步明确增长的基础量是3月份的盈利5000元，从3月到5月共经历了2次增长（3月到4月1次，4月到5月1次），根据增长率的计算规律：增长n次后的量=基础量×(1+增长率)ⁿ，因此5月份的盈利可表示为$5000(1+x)^2$；第三步结合题目给出的5月份盈利7200元的条件列出方程求解，最后要注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设每月盈利的平均增长率为x。
根据题意，3月盈利为5000元，经过2次增长后5月盈利为7200元，列方程得：
$5000(1+x)^2=7200$
方程两边同时除以5000，得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
答：每月盈利的平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的解法、一元二次方程实际应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际经营场景中的典型应用，解题核心是找准“基础量、增长次数、最终量”三者之间的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，排除不符合常理的解。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：第一步先设每月盈利的平均增长率为x；第二步明确增长的基础量是3月份的盈利5000元，从3月到5月共经历了2次增长（3月到4月1次，4月到5月1次），根据增长率的计算规律：增长n次后的量=基础量×(1+增长率)ⁿ，因此5月份的盈利可表示为$5000(1+x)^2$；第三步结合题目给出的5月份盈利7200元的条件列出方程求解，最后要注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设每月盈利的平均增长率为x。
根据题意，3月盈利为5000元，经过2次增长后5月盈利为7200元，列方程得：
$5000(1+x)^2=7200$
方程两边同时除以5000，得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
答：每月盈利的平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的解法、一元二次方程实际应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际经营场景中的典型应用，解题核心是找准“基础量、增长次数、最终量”三者之间的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，排除不符合常理的解。
【难度系数】
0.8
4. 某种商品两次降价后，每件售价从原来100元降到81元，求平均每次售价的下降率.
答案
4. 解:设平均每次售价的下降率为 x.
根据题意,得 $100(1 - x)^{2} =81$.
解得 $x_1 =0.1 =10\%$ ,$x_2 =1.9$(不合题意,舍去).
答:平均每次售价的下降率为 10%.
根据题意,得 $100(1 - x)^{2} =81$.
解得 $x_1 =0.1 =10\%$ ,$x_2 =1.9$(不合题意,舍去).
答:平均每次售价的下降率为 10%.
解析
【分析】
本题是平均下降率的实际应用问题，解题思路可分为三步：第一步设未知数，设平均每次售价的下降率为x；第二步找等量关系列方程，明确每次降价的基数是前一次的售价，第一次降价后售价为100(1-x)元，第二次在第一次降价后的售价基础上再降，因此两次降价后的售价为$100(1-x)^2$元，结合最终售价为81元即可列出方程；第三步解方程并验根，下降率的取值范围为0＜x＜1，因此要舍去超出范围的不合理根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设平均每次售价的下降率为x。
根据题意，得 $100(1 - x)^{2} =81$
解得 $x_1 =0.1 =10\%$ ,$x_2 =1.9$。
由于下降率不能大于1，$x_2=1.9$不合题意，舍去。
答：平均每次售价的下降率为10%。
【答案】
平均每次售价的下降率为10%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的典型基础题，解题的关键是找准价格变化的基数，正确建立方程模型，同时要注意结合实际意义对解得的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
本题是平均下降率的实际应用问题，解题思路可分为三步：第一步设未知数，设平均每次售价的下降率为x；第二步找等量关系列方程，明确每次降价的基数是前一次的售价，第一次降价后售价为100(1-x)元，第二次在第一次降价后的售价基础上再降，因此两次降价后的售价为$100(1-x)^2$元，结合最终售价为81元即可列出方程；第三步解方程并验根，下降率的取值范围为0＜x＜1，因此要舍去超出范围的不合理根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设平均每次售价的下降率为x。
根据题意，得 $100(1 - x)^{2} =81$
解得 $x_1 =0.1 =10\%$ ,$x_2 =1.9$。
由于下降率不能大于1，$x_2=1.9$不合题意，舍去。
答：平均每次售价的下降率为10%。
【答案】
平均每次售价的下降率为10%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的典型基础题，解题的关键是找准价格变化的基数，正确建立方程模型，同时要注意结合实际意义对解得的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
