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5.【例3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有144台电脑被感染，那么每轮感染中平均一台电脑感染多少台电脑？
方法归纳:若有$a$个传染源,每个传染源每轮传染$x$人,则$n$轮后的总人数$=a(1+x)^n$.
方法归纳:若有$a$个传染源,每个传染源每轮传染$x$人,则$n$轮后的总人数$=a(1+x)^n$.
答案
5. 解:设每轮感染中平均一台电脑感染 x 台电脑.
根据题意,得 $1 + x + x(1 + x) =144$.
解得 $x_1 =11$,$x_2 = -13$(不合题意,舍去).
答:每轮感染中平均一台电脑感染 11 台电脑.
根据题意,得 $1 + x + x(1 + x) =144$.
解得 $x_1 =11$,$x_2 = -13$(不合题意,舍去).
答:每轮感染中平均一台电脑感染 11 台电脑.
解析
【分析】
解决该问题首先要明确传染问题的数量逻辑，先设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑。梳理感染过程：初始传染源为1台电脑，第一轮感染后，总感染数为（1+x）台；第二轮感染时，已被感染的（1+x）台电脑每台都会感染x台，第二轮新增感染数为x(1+x)台。根据“两轮感染后总共有144台电脑被感染”的等量关系列方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑。
根据题意列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 144$
整理得：$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = ±12$
解得$x_1=11$，$x_2=-13$。
由于感染台数不能为负数，故$x=-13$不合题意，舍去。
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑。
【答案】
每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑。
【知识点】
一元二次方程应用；传染问题；实际问题验根
【点评】
本题是传染类实际应用的典型题型，解题关键是理清每轮传染前后的感染数量变化，找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义筛选合理的根，掌握该类问题的通用模型可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决该问题首先要明确传染问题的数量逻辑，先设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑。梳理感染过程：初始传染源为1台电脑，第一轮感染后，总感染数为（1+x）台；第二轮感染时，已被感染的（1+x）台电脑每台都会感染x台，第二轮新增感染数为x(1+x)台。根据“两轮感染后总共有144台电脑被感染”的等量关系列方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑。
根据题意列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 144$
整理得：$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = ±12$
解得$x_1=11$，$x_2=-13$。
由于感染台数不能为负数，故$x=-13$不合题意，舍去。
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑。
【答案】
每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑。
【知识点】
一元二次方程应用；传染问题；实际问题验根
【点评】
本题是传染类实际应用的典型题型，解题关键是理清每轮传染前后的感染数量变化，找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义筛选合理的根，掌握该类问题的通用模型可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. (人教九上 $P_{21}$ 探究1改编)已知1个人得了流感,经过两轮传染后,患病总人数为256人,问每轮传染中平均1个人传染了多少个人?经过三轮传染后总患病人数是多少人?
答案
6. 解:设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人.
根据题意,得 $(1 + x)^{2} =256$.
解得 $x_1 =15$,$x_2 = -17$(不合题意,舍去).
$\therefore 256 × (1 + 15) = 4\ 096$(人).
答:每轮传染中平均 1 个人传染了 15 个人,经过三轮传染后总患病人数是 4 096 人.
根据题意,得 $(1 + x)^{2} =256$.
解得 $x_1 =15$,$x_2 = -17$(不合题意,舍去).
$\therefore 256 × (1 + 15) = 4\ 096$(人).
答:每轮传染中平均 1 个人传染了 15 个人,经过三轮传染后总患病人数是 4 096 人.
解析
【分析】
这是典型的传染类一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确传染规律：初始有1个患者，每轮传染中1个人传染x个人，第一轮传染结束后总患病人数为1+x人；②第二轮传染时，这1+x个患者每人都传染x人，两轮结束后总患病人数可整理为$(1+x)^2$；③根据两轮后总人数为256人列方程求解x，注意传染人数不能为负，需舍去不合题意的解；④求三轮总人数时，用两轮后的总人数乘以(1+x)即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
根据题意，得 $(1 + x)^{2} =256$。
解得 $x_1 =15$，$x_2 = -17$，传染人数不能为负，故$x_2 = -17$不合题意，舍去。
经过三轮传染后总患病人数为：$256 × (1 + 15) = 4096$（人）。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了15个人，经过三轮传染后总患病人数是4096人。
【知识点】
一元二次方程实际应用，传播问题模型，实际方程验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清传播过程中总人数的增长规律，建立对应的数学模型，求解后要结合实际情况舍去不符合逻辑的解，掌握通用模型后解题难度较低。
【难度系数】
0.8
这是典型的传染类一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确传染规律：初始有1个患者，每轮传染中1个人传染x个人，第一轮传染结束后总患病人数为1+x人；②第二轮传染时，这1+x个患者每人都传染x人，两轮结束后总患病人数可整理为$(1+x)^2$；③根据两轮后总人数为256人列方程求解x，注意传染人数不能为负，需舍去不合题意的解；④求三轮总人数时，用两轮后的总人数乘以(1+x)即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
根据题意，得 $(1 + x)^{2} =256$。
解得 $x_1 =15$，$x_2 = -17$，传染人数不能为负，故$x_2 = -17$不合题意，舍去。
经过三轮传染后总患病人数为：$256 × (1 + 15) = 4096$（人）。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了15个人，经过三轮传染后总患病人数是4096人。
【知识点】
一元二次方程实际应用，传播问题模型，实际方程验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清传播过程中总人数的增长规律，建立对应的数学模型，求解后要结合实际情况舍去不符合逻辑的解，掌握通用模型后解题难度较低。
【难度系数】
0.8
1. (2025 滨州)某市大力推进新能源汽车充电桩建设,助力绿色交通发展.截至2025年初,全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个.设全市公共充电桩数量的年平均增长率为$x$,则可列方程为 (
A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
B
)A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
答案
1. B
解析
【分析】
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题思路如下：第一步先确定初始量和增长次数，2023年初公共充电桩数量为初始量10万个，从2023年初到2025年初共经过2年，即增长2次；第二步回忆平均增长率的计算逻辑：每一年的数量都是在上一年的基础上乘以(1+增长率)，因此经过2次增长后的数量=初始量×(1+增长率)²，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
已知2023年初公共充电桩数量为10万个，年平均增长率为x：
1. 2024年初的充电桩数量为：$10(1+x)$万个；
2. 2025年初的充电桩数量是在2024年初的基础上再增长x，即：$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$万个；
3. 题目已知2025年初数量为16.9万个，因此可列方程：$10(1+x)^2=16.9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，核心是掌握平均增长率的计算公式，明确增长次数是解题的关键，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题思路如下：第一步先确定初始量和增长次数，2023年初公共充电桩数量为初始量10万个，从2023年初到2025年初共经过2年，即增长2次；第二步回忆平均增长率的计算逻辑：每一年的数量都是在上一年的基础上乘以(1+增长率)，因此经过2次增长后的数量=初始量×(1+增长率)²，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
已知2023年初公共充电桩数量为10万个，年平均增长率为x：
1. 2024年初的充电桩数量为：$10(1+x)$万个；
2. 2025年初的充电桩数量是在2024年初的基础上再增长x，即：$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$万个；
3. 题目已知2025年初数量为16.9万个，因此可列方程：$10(1+x)^2=16.9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，核心是掌握平均增长率的计算公式，明确增长次数是解题的关键，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
2.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1 008公斤的目标.如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，则亩产量的平均增长率为
20%
.答案
2. 20%
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=最终量，其中n是增长次数。本题中初始量是第一阶段的亩产量700公斤，最终量是第三阶段的亩产量1008公斤，从第一阶段到第三阶段需要经过2次增长（第一到第二阶段、第二到第三阶段各增长1次），我们可以设平均增长率为x，代入等量关系列方程求解，最后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根即可得到结果。
【解析】
解：设亩产量的平均增长率为$x$，根据题意列方程得：
$700(1+x)^2=1008$
方程两边同时除以700，得：
$(1+x)^2=1.44$
开平方得：
$1+x=\pm1.2$
当$1+x=1.2$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1+x=-1.2$时，解得$x=-2.2$，增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率计算
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题关键是准确识别初始量、最终量和增长次数，正确列出方程，求解后要注意结合实际场景检验解的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=最终量，其中n是增长次数。本题中初始量是第一阶段的亩产量700公斤，最终量是第三阶段的亩产量1008公斤，从第一阶段到第三阶段需要经过2次增长（第一到第二阶段、第二到第三阶段各增长1次），我们可以设平均增长率为x，代入等量关系列方程求解，最后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根即可得到结果。
【解析】
解：设亩产量的平均增长率为$x$，根据题意列方程得：
$700(1+x)^2=1008$
方程两边同时除以700，得：
$(1+x)^2=1.44$
开平方得：
$1+x=\pm1.2$
当$1+x=1.2$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1+x=-1.2$时，解得$x=-2.2$，增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率计算
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题关键是准确识别初始量、最终量和增长次数，正确列出方程，求解后要注意结合实际场景检验解的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
3. (人教九上$\mathrm{P}_{22}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编)某种植物的主干长出$x$个枝干，每个枝干又长出$x$个小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，则列方程为
$1 + x + x^2 =91$
.答案
3. 1 + x + x² =91
解析
【分析】
要列方程首先需要分别表示出主干、枝干、小分支的数量，再根据三者总和为91建立等量关系。首先明确：主干只有1个；枝干的数量就是题目给出的x个；每个枝干长出x个小分支，那么小分支的总数量就是枝干数量乘以每个枝干长出的小分支数，即x×x=x²个，最后把三类数量相加等于总数91即可列出方程。
【解析】
首先计数各部分的数量：
1. 主干的数量：1个；
2. 枝干的数量：题目已知主干长出x个枝干，即x个；
3. 小分支的数量：每个枝干长出x个小分支，因此小分支总数为$x × x = x^2$个。
已知三类的总数是91，将三者相加可得方程：
$1 + x + x^2 = 91$
【答案】
$1 + x + x^2 =91$
【知识点】
列一元二次方程；代数式表示数量
【点评】
本题是分支类问题的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量，避免漏算主干的数量，掌握该模型也能为后续类似传染、裂变类应用题的解答打好基础。
【难度系数】
0.8
要列方程首先需要分别表示出主干、枝干、小分支的数量，再根据三者总和为91建立等量关系。首先明确：主干只有1个；枝干的数量就是题目给出的x个；每个枝干长出x个小分支，那么小分支的总数量就是枝干数量乘以每个枝干长出的小分支数，即x×x=x²个，最后把三类数量相加等于总数91即可列出方程。
【解析】
首先计数各部分的数量：
1. 主干的数量：1个；
2. 枝干的数量：题目已知主干长出x个枝干，即x个；
3. 小分支的数量：每个枝干长出x个小分支，因此小分支总数为$x × x = x^2$个。
已知三类的总数是91，将三者相加可得方程：
$1 + x + x^2 = 91$
【答案】
$1 + x + x^2 =91$
【知识点】
列一元二次方程；代数式表示数量
【点评】
本题是分支类问题的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量，避免漏算主干的数量，掌握该模型也能为后续类似传染、裂变类应用题的解答打好基础。
【难度系数】
0.8
4. (易错题)某机械厂7 月生产零件50万个，第三 季度生产零件196万个. 设该厂8,9两个月平均每月的增长率为x,根据题意,列方程为
能力提升
$50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 196$
.能力提升
答案
4. 50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)² = 196
解析
【分析】
解题首先要明确第三季度包含7、8、9三个月，总产量为三个月的产量之和。已知7月产量为50万个，8、9月平均每月增长率为x，我们可以根据“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”的公式，依次推导8月、9月的产量，再结合三个月总产量为196万个的条件建立等量关系，即可列出方程。解题时要注意避免漏算7月的产量，这是本题的易错点。
【解析】
1. 明确第三季度的构成：第三季度包含7月、8月、9月，三个月的产量总和为196万个；
2. 表示各月产量：
7月产量已知为50万个；
8月在7月产量的基础上增长x，因此8月产量为$ 50(1+x) $万个；
9月在8月产量的基础上再增长x，因此9月产量为$ 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $万个；
3. 列方程：将三个月的产量相加等于总产量196万个，可得方程$ 50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 196 $。
【答案】
$ 50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 196 $
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，易错点是容易忽略第三季度包含7月，仅将8、9月的产量相加等于总产量，解题时要先明确统计的时间范围，再结合增长率公式逐步表示各时间段的对应量，最后根据总量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确第三季度包含7、8、9三个月，总产量为三个月的产量之和。已知7月产量为50万个，8、9月平均每月增长率为x，我们可以根据“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”的公式，依次推导8月、9月的产量，再结合三个月总产量为196万个的条件建立等量关系，即可列出方程。解题时要注意避免漏算7月的产量，这是本题的易错点。
【解析】
1. 明确第三季度的构成：第三季度包含7月、8月、9月，三个月的产量总和为196万个；
2. 表示各月产量：
7月产量已知为50万个；
8月在7月产量的基础上增长x，因此8月产量为$ 50(1+x) $万个；
9月在8月产量的基础上再增长x，因此9月产量为$ 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $万个；
3. 列方程：将三个月的产量相加等于总产量196万个，可得方程$ 50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 196 $。
【答案】
$ 50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 196 $
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，易错点是容易忽略第三季度包含7月，仅将8、9月的产量相加等于总产量，解题时要先明确统计的时间范围，再结合增长率公式逐步表示各时间段的对应量，最后根据总量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
5. (2025 泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
答案
5. 解:(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.
由题意,得 125 (1 - x)² = 80.
解得 x₁ = 0.2 = 20% ,x₂ = 1.8(舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 20%.
(2)设购进甲种商品m件,则购进乙种商品(100 - m)件.
由题意,得(125 - 25 × 2)m + 80(100 - m) ≤7 800.
解得 m≥40.
∴ m 的最小值为 40,即最少购进甲种商品 40 件.
答:最少购进甲种商品 40 件.
由题意,得 125 (1 - x)² = 80.
解得 x₁ = 0.2 = 20% ,x₂ = 1.8(舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 20%.
(2)设购进甲种商品m件,则购进乙种商品(100 - m)件.
由题意,得(125 - 25 × 2)m + 80(100 - m) ≤7 800.
解得 m≥40.
∴ m 的最小值为 40,即最少购进甲种商品 40 件.
答:最少购进甲种商品 40 件.
解析
【分析】
(1) 求解乙种商品年平均下降率可利用平均变化率通用公式：初始值×(1-年平均下降率)^间隔年数=最终值。已知乙2022年进价125元，2024年进价80元，间隔2年，设下降率为x代入公式列一元二次方程即可，解得的根需符合下降率小于1的实际要求，舍去不合理的根。
(2) 第二问为不等式最值应用，首先计算2024年甲商品的进价：2022到2024共2年，每年降25元，因此2024年甲进价为125-25×2=75元。设购进甲商品m件，则乙商品为(100-m)件，根据“总进货资金不超过7800元”的不等关系列一元一次不等式，解出m的取值范围后，取最小正整数解即为最少购进甲的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $。
由题意得：
$ 125(1-x)^2 = 80 $
解得 $ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=1.8 $（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
(2) 2024年甲种商品的进价为：$ 125 - 25 × 2 = 75 $（元）
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$ (100 - m) $件。
由题意得：
$ 75m + 80(100 - m) ≤ 7800 $
解得 $ m ≥ 40 $，因此$ m $的最小正整数值为40。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合商品进货的实际场景，考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确提取题目中的等量、不等关系，同时注意实际问题的解要符合现实逻辑，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.75
(1) 求解乙种商品年平均下降率可利用平均变化率通用公式：初始值×(1-年平均下降率)^间隔年数=最终值。已知乙2022年进价125元，2024年进价80元，间隔2年，设下降率为x代入公式列一元二次方程即可，解得的根需符合下降率小于1的实际要求，舍去不合理的根。
(2) 第二问为不等式最值应用，首先计算2024年甲商品的进价：2022到2024共2年，每年降25元，因此2024年甲进价为125-25×2=75元。设购进甲商品m件，则乙商品为(100-m)件，根据“总进货资金不超过7800元”的不等关系列一元一次不等式，解出m的取值范围后，取最小正整数解即为最少购进甲的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $。
由题意得：
$ 125(1-x)^2 = 80 $
解得 $ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=1.8 $（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
(2) 2024年甲种商品的进价为：$ 125 - 25 × 2 = 75 $（元）
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$ (100 - m) $件。
由题意得：
$ 75m + 80(100 - m) ≤ 7800 $
解得 $ m ≥ 40 $，因此$ m $的最小正整数值为40。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合商品进货的实际场景，考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确提取题目中的等量、不等关系，同时注意实际问题的解要符合现实逻辑，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.75
