1. 一元二次方程$x^2 -2x=0$的解是 （）

A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=3,x_2=-2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$

1. B

【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，观察方程特征可发现式子没有常数项，优先选择因式分解法解题：第一步先对左边的多项式提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”的原理，把一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解，最后匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -2x=0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x-2)=0$
根据乘法性质，两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，因此可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x=0$时，$x_1=0$；
当$x-2=0$时，解得$x_2=2$。
因此方程的解为$x_1=2,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，考察学生根据方程特征选择合适解法的能力，解题思路清晰、计算量小，掌握因式分解法解方程的原理即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 已知$x(x+5)$与$3x+15$相等，则$x$的值为。

2. -5或3

【分析】
首先根据题目中两个代数式相等的条件列出方程，观察方程结构可发现右侧的$3x+15$能提取公因式3变形为$3(x+5)$，因此优先选择因式分解法求解一元二次方程，可减少计算量；解题时注意不要随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则容易出现漏解的问题。
【解析】
根据题意列方程：
$x(x+5) = 3x + 15$
移项并对右侧提取公因式：
$x(x+5) - 3(x+5) = 0$
提取公因式$(x+5)$进行因式分解：
$(x+5)(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”可得：
$x+5=0$ 或 $x-3=0$
分别解得：$x_1=-5$，$x_2=3$
【答案】
-5或3
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根据等量关系列方程的能力以及灵活选择简便方法解一元二次方程的能力，解题时注意观察方程特征，优先选择计算量小的解法，同时要注意解的完整性，避免漏根。
【难度系数】
0.8

3. (人教九上$\mathrm{P}_{14}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编)用因式分解法解下列方程:
(1)$x^2 -5\sqrt{3}x=0$;
(2)$x(x+3)=2(x+3)$;
(3)$4x^2 -1=0$;
(4)$x(x-7)=8(7-x)$.

3. (1)解:因式分解,得$x(x -5\sqrt{3}) =0$.
$\therefore x =0$,或$x -5\sqrt{3} =0. \therefore x_1 =0,x_2 =5\sqrt{3}$.
(2)解:移项,得$x(x +3) -2(x +3) =0$.
因式分解,得$(x -2)(x +3) =0$.
$\therefore x -2 =0$,或$x +3 =0. \therefore x_1 =2,x_2 = -3$.
(3)解:因式分解,得$(2x -1)(2x +1) =0$.
$\therefore 2x -1 =0$,或$2x +1 =0$.
$\therefore x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{1}{2}$.
(4)解:整理,得$x(x -7) +8(x -7) =0$.
因式分解,得$(x +8)(x -7) =0$.
$\therefore x +8 =0$,或$x -7 =0$.
$\therefore x_1 = -8,x_2 =7$.

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，可避免降次漏根。
(1)方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2)不可直接两边除以(x+3)（会漏掉x=-3的根），先移项将右边化为0，再提取公因式(x+3)分解；
(3)方程左边是平方差结构，利用平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)分解即可；
(4)先将右边的8(7-x)变形为-8(x-7)，移项后提取公因式(x-7)分解即可。
【解析】
(1)解:因式分解,得$x(x -5\sqrt{3}) =0$.
$\therefore x =0$,或$x -5\sqrt{3} =0. \therefore x_1 =0,x_2 =5\sqrt{3}$.
(2)解:移项,得$x(x +3) -2(x +3) =0$.
因式分解,得$(x -2)(x +3) =0$.
$\therefore x -2 =0$,或$x +3 =0. \therefore x_1 =2,x_2 = -3$.
(3)解:因式分解,得$(2x -1)(2x +1) =0$.
$\therefore 2x -1 =0$,或$2x +1 =0$.
$\therefore x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{1}{2}$.
(4)解:整理,得$x(x -7) +8(x -7) =0$.
因式分解,得$(x +8)(x -7) =0$.
$\therefore x +8 =0$,或$x -7 =0$.
$\therefore x_1 = -8,x_2 =7$.
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$；(2)$x_1=2,x_2=-3$；(3)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；(4)$x_1=-8,x_2=7$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，重点考查因式分解的常用方法，解题时注意不要随意除以含未知数的整式，避免漏解，熟练掌握后可快速求解对应一元二次方程。
【难度系数】
0.8

4. (易错题)若分式$\frac{x^2 + 2x}{x}$的值为0，则x的值为。

4. -2

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先求解分子等于0时x的取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的就是符合要求的解。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 + 2x = 0$
对左边因式分解得：$x(x + 2) = 0$
解得：$x = 0$ 或 $x = -2$
2. 分母不等于0：$x ≠ 0$
综合两个条件，舍去使分母为0的$x = 0$，因此$x = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；因式分解解方程
【点评】
本题是典型的易错题，易错点是部分同学只考虑分子为0的情况，忽略分母不能为0的限制，从而错填0。解题时要注意分式相关问题必须先保证分式有意义，再结合其他条件计算。
【难度系数】
0.6

5.（关注学习过程）小敏与小霞两位同学解方程$3(x-3)=(x-3)^2$的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程。

5. 解:他们的解法都不正确,正确解法如下：
移项,得$3(x -3) - (x -3)^2 =0$.
因式分解,得$(x -3)[3 - (x -3)] =0$,
即$(x -3)(3 -x +3) =0$.
$\therefore x -3 =0$,或$6 -x =0$.
解得$x_1 =3,x_2 =6$.

【分析】
首先判断两位同学的解法均存在错误：小敏直接将等式两边同除以含未知数的整式$(x-3)$，忽略了$x-3$可能为0的情况，会造成漏根；小霞在因式分解去括号时符号处理错误，导致解出错。正确解题思路为：先将所有项移到等号同侧，提取公因式$(x-3)$进行因式分解，去括号时注意符号规则，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到全部正确的解。
【解析】
小敏和小霞的解法都不正确，正确解答过程如下：
移项，得$3(x -3) - (x -3)^2 =0$，
提取公因式$(x-3)$因式分解，得$(x -3)[3 - (x -3)] =0$，
去括号整理，得$(x - 3)(6 - x) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$，或$6 - x = 0$，
解这两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=6$。
【答案】
$x_1=3$，$x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，属于易错题，一是要注意不能随意在等式两边除以含未知数的整式，避免漏根；二是去括号时如果括号前为负号，括号内每一项都要变号，防止符号错误导致解出错。
【难度系数】
0.7

6. (分类讨论)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx + m + 1 = 0$的一个根为$x=2$.
(1)求$m$的值及方程的另一个根；
(2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长,求此等腰三角形的周长.

6. 解:(1)将$x =2$代入方程,得
$2^2 -2m +m +1 =0$. 解得$m =5$.
$\therefore$ 原方程为$x^2 -5x +6 =0$.
解得$x_1 =3,x_2 =2. \therefore$ 方程的另一个根为$x =3$.
(2)当3是等腰三角形的腰时,$3 × 2 +2 =8$;
当2是等腰三角形的腰时,$2 × 2 +3 =7$.
$\therefore$ 此等腰三角形的周长为7或8.

【分析】
(1) 已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将已知根代入方程即可得到关于参数m的一元一次方程，求解得到m的值后，代入原方程解一元二次方程就能得到另一个根。
(2) 方程的两个根是等腰三角形的两条边长，需分类讨论两条边分别作为腰的情况，每种情况都要先验证是否满足三角形三边关系，再计算对应的周长。
【解析】
(1) 将$x=2$代入方程$x^2 - mx + m + 1 = 0$，得：
$2^2 - 2m + m + 1 = 0$
化简得$5 - m = 0$，解得$m=5$。
将$m=5$代入原方程，得$x^2 -5x +6=0$，
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，
因此方程的另一个根为$x=3$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当长度为2的边为等腰三角形的腰时，三边长为2，2，3，
$\because 2+2＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+3=7$；
② 当长度为3的边为等腰三角形的腰时，三边长为3，3，2，
$\because 3+2＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+2=8$。
【答案】
(1) $m$的值为5，方程的另一个根为$x=3$；
(2) 此等腰三角形的周长为7或8。
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元二次方程，等腰三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，第一问侧重一元二次方程根的定义的应用，难度较低；第二问需要注意分类讨论思想的运用，明确等腰三角形腰和底的两种可能性，养成验证三角形三边是否成立的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7