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4. 解方程$\frac{4}{5}(\frac{5}{4}x - 30)=7$，较简便的是（）
A.先去括号
B.先去分母
C.先两边都除以$\frac{4}{5}$
D.先两边都乘$\frac{4}{5}$
A.先去括号
B.先去分母
C.先两边都除以$\frac{4}{5}$
D.先两边都乘$\frac{4}{5}$
答案
A
解析
【分析】
解这类选择简便解方程方法的题目时，首先要观察方程的数字结构特征，优先找能直接消去系数、凑整的操作。本题中左边外层的系数$\frac{4}{5}$和括号内$x$的系数$\frac{5}{4}$互为倒数，同时$\frac{4}{5}$乘括号内的常数项30可直接得到整数，此时可以先预判先去括号的操作计算量更小，再逐一对比其他选项的操作复杂度，就能得出最优解。
【解析】
我们逐一分析各选项的操作难度：
选项A：先去括号，根据乘法分配律展开左边：
$\frac{4}{5} × \frac{5}{4}x - \frac{4}{5} × 30 =7$，
计算后直接得$x -24=7$，$x$的系数直接化为1，所有常数项都是整数，计算非常简便。
选项B：先去分母，两边同乘5得$4(\frac{5}{4}x -30)=35$，后续仍需去括号计算，步骤更多。
选项C：先两边除以$\frac{4}{5}$（即乘$\frac{5}{4}$），得$\frac{5}{4}x -30 = \frac{35}{4}$，出现分数运算，计算更复杂。
选项D：先两边乘$\frac{4}{5}$，左边系数变为$(\frac{4}{5})^2$，式子更复杂，操作不合理。
因此最简便的操作是先去括号。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法，乘法分配律
【点评】
本题考查解一元一次方程时的简便策略选择，解题时要先观察方程的结构和数字特征，优先选择能简化计算、避免复杂分数运算的步骤，可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解这类选择简便解方程方法的题目时，首先要观察方程的数字结构特征，优先找能直接消去系数、凑整的操作。本题中左边外层的系数$\frac{4}{5}$和括号内$x$的系数$\frac{5}{4}$互为倒数，同时$\frac{4}{5}$乘括号内的常数项30可直接得到整数，此时可以先预判先去括号的操作计算量更小，再逐一对比其他选项的操作复杂度，就能得出最优解。
【解析】
我们逐一分析各选项的操作难度：
选项A：先去括号，根据乘法分配律展开左边：
$\frac{4}{5} × \frac{5}{4}x - \frac{4}{5} × 30 =7$，
计算后直接得$x -24=7$，$x$的系数直接化为1，所有常数项都是整数，计算非常简便。
选项B：先去分母，两边同乘5得$4(\frac{5}{4}x -30)=35$，后续仍需去括号计算，步骤更多。
选项C：先两边除以$\frac{4}{5}$（即乘$\frac{5}{4}$），得$\frac{5}{4}x -30 = \frac{35}{4}$，出现分数运算，计算更复杂。
选项D：先两边乘$\frac{4}{5}$，左边系数变为$(\frac{4}{5})^2$，式子更复杂，操作不合理。
因此最简便的操作是先去括号。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法，乘法分配律
【点评】
本题考查解一元一次方程时的简便策略选择，解题时要先观察方程的结构和数字特征，优先选择能简化计算、避免复杂分数运算的步骤，可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
5.《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，其中有一卷阐述“盈不足”的问题，同学们读了很感兴趣。李老师根据其中的内容编了一道题目：“几个人合买一个篮球，如果每人出6元，还剩2元；如果每人出5元，则还差3元。求：一共有多少人？这个篮球的价格是多少？”设一共有x人，则依据题意，可列方程为（）
A.$6x+2=5x+3$
B.$6x-2=5x-3$
C.$6x+2=5x-3$
D.$6x-2=5x+3$
A.$6x+2=5x+3$
B.$6x-2=5x-3$
C.$6x+2=5x-3$
D.$6x-2=5x+3$
答案
D
解析
【分析】
本题是一元一次方程实际应用中的盈不足问题，解题的核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中篮球的价格是固定不变的，我们可以分别用两种出钱方案表示出篮球的价格，再令两个表达式相等即可列出方程。首先根据“每人出6元，还剩2元”，总出钱数减去剩余的钱就是篮球价格；再根据“每人出5元，还差3元”，总出钱数加上差的钱就是篮球价格，最后利用篮球价格相等建立等式。
【解析】
设一共有x人，篮球的价格固定不变，我们分别用两种情况表示篮球价格：
1. 若每人出6元，所有人总共出的钱为$6x$元，此时还剩2元，说明篮球价格比总出钱少2元，即篮球价格为$6x - 2$；
2. 若每人出5元，所有人总共出的钱为$5x$元，此时还差3元，说明篮球价格比总出钱多3元，即篮球价格为$5x + 3$。
因为篮球价格不变，所以可列方程：$6x - 2 = 5x + 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系确定
【点评】
本题结合传统数学著作背景命制，考查利用方程解决实际问题的能力，解题的关键是抓住总价不变的核心等量关系，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程实际应用中的盈不足问题，解题的核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中篮球的价格是固定不变的，我们可以分别用两种出钱方案表示出篮球的价格，再令两个表达式相等即可列出方程。首先根据“每人出6元，还剩2元”，总出钱数减去剩余的钱就是篮球价格；再根据“每人出5元，还差3元”，总出钱数加上差的钱就是篮球价格，最后利用篮球价格相等建立等式。
【解析】
设一共有x人，篮球的价格固定不变，我们分别用两种情况表示篮球价格：
1. 若每人出6元，所有人总共出的钱为$6x$元，此时还剩2元，说明篮球价格比总出钱少2元，即篮球价格为$6x - 2$；
2. 若每人出5元，所有人总共出的钱为$5x$元，此时还差3元，说明篮球价格比总出钱多3元，即篮球价格为$5x + 3$。
因为篮球价格不变，所以可列方程：$6x - 2 = 5x + 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系确定
【点评】
本题结合传统数学著作背景命制，考查利用方程解决实际问题的能力，解题的关键是抓住总价不变的核心等量关系，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 解下列方程：
(1) $4 - x = 6 - 3x$；
(2) $-6x + 3 = -3(x - 5)$；
(3)
= -1。
(1) $4 - x = 6 - 3x$；
(2) $-6x + 3 = -3(x - 5)$；
(3)
= -1。答案
解：
(1) 移项，得
$-x + 3x = 6 - 4$
合并同类项，得
$2x = 2$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去括号，得
$-6x + 3 = -3x + 15$
移项，得
$-6x + 3x = 15 - 3$
合并同类项，得
$-3x = 12$
系数化为1，得
$x = -4$
(3) 去分母（方程两边同时乘10），得
$5(3x+1) - 2(4x-2) = -10$
去括号，得
$15x + 5 - 8x + 4 = -10$
移项，得
$15x - 8x = -10 - 5 - 4$
合并同类项，得
$7x = -19$
系数化为1，得
$x = -\frac{19}{7}$
(1) 移项，得
$-x + 3x = 6 - 4$
合并同类项，得
$2x = 2$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去括号，得
$-6x + 3 = -3x + 15$
移项，得
$-6x + 3x = 15 - 3$
合并同类项，得
$-3x = 12$
系数化为1，得
$x = -4$
(3) 去分母（方程两边同时乘10），得
$5(3x+1) - 2(4x-2) = -10$
去括号，得
$15x + 5 - 8x + 4 = -10$
移项，得
$15x - 8x = -10 - 5 - 4$
合并同类项，得
$7x = -19$
系数化为1，得
$x = -\frac{19}{7}$
解析
【分析】
解这三个一元一次方程可按照对应解题步骤处理：1. 不含括号、分母的方程，直接移项（移项需变号），将含未知数的项和常数项分别移到等号两侧，再合并同类项、系数化为1即可；2. 含括号的方程，先按去括号法则去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解；3. 含分母的方程，先找分母的最小公倍数，方程两边同时乘最小公倍数去分母（注意不要漏乘不含分母的常数项），再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1得到解。
【解析】
(1) 移项，得
$-x + 3x = 6 - 4$
合并同类项，得
$2x = 2$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去括号，得
$-6x + 3 = -3x + 15$
移项，得
$-6x + 3x = 15 - 3$
合并同类项，得
$-3x = 12$
系数化为1，得
$x = -4$
(3) 去分母（方程两边同时乘10），得
$5(3x+1) - 2(4x-2) = -10$
去括号，得
$15x + 5 - 8x + 4 = -10$
移项，得
$15x - 8x = -10 - 5 - 4$
合并同类项，得
$7x = -19$
系数化为1，得
$x = -\frac{19}{7}$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-4$；(3)$x=-\frac{19}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号与去分母法则、移项法则
【点评】
这三道题是解一元一次方程的典型基础题，覆盖了无括号分母、仅含括号、含分母三类常见方程形式，解题时要注意移项变号、去括号符号变化、去分母不漏乘常数项等易错点，熟练掌握步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解这三个一元一次方程可按照对应解题步骤处理：1. 不含括号、分母的方程，直接移项（移项需变号），将含未知数的项和常数项分别移到等号两侧，再合并同类项、系数化为1即可；2. 含括号的方程，先按去括号法则去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解；3. 含分母的方程，先找分母的最小公倍数，方程两边同时乘最小公倍数去分母（注意不要漏乘不含分母的常数项），再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1得到解。
【解析】
(1) 移项，得
$-x + 3x = 6 - 4$
合并同类项，得
$2x = 2$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去括号，得
$-6x + 3 = -3x + 15$
移项，得
$-6x + 3x = 15 - 3$
合并同类项，得
$-3x = 12$
系数化为1，得
$x = -4$
(3) 去分母（方程两边同时乘10），得
$5(3x+1) - 2(4x-2) = -10$
去括号，得
$15x + 5 - 8x + 4 = -10$
移项，得
$15x - 8x = -10 - 5 - 4$
合并同类项，得
$7x = -19$
系数化为1，得
$x = -\frac{19}{7}$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-4$；(3)$x=-\frac{19}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号与去分母法则、移项法则
【点评】
这三道题是解一元一次方程的典型基础题，覆盖了无括号分母、仅含括号、含分母三类常见方程形式，解题时要注意移项变号、去括号符号变化、去分母不漏乘常数项等易错点，熟练掌握步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 老师在黑板上出了一道解方程的题：$\frac{2x-1}{3}=1-\frac{x+2}{4}$。小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：
$4(2x-1)=1-3(x+2)$，①
$8x-4=1-3x-6$，②
$8x+3x=1-6+4$，③
$11x=-1$，④
$x=-\frac{1}{11}$。⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，他错在第步（填序号），错误的原因是。现在，请你细心地解方程$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$。
$4(2x-1)=1-3(x+2)$，①
$8x-4=1-3x-6$，②
$8x+3x=1-6+4$，③
$11x=-1$，④
$x=-\frac{1}{11}$。⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，他错在第步（填序号），错误的原因是。现在，请你细心地解方程$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$。
答案
他错在第①步，错误的原因是去分母时，等式两边同时乘12，漏乘了等式右边的常数项1。
解：解方程$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$
去分母，得
$3(x-3)-2(2x+1)=6$
去括号，得
$3x-9-4x-2=6$
移项，得
$3x-4x=6+9+2$
合并同类项，得
$-x=17$
系数化为1，得
$x=-17$
解：解方程$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$
去分母，得
$3(x-3)-2(2x+1)=6$
去括号，得
$3x-9-4x-2=6$
移项，得
$3x-4x=6+9+2$
合并同类项，得
$-x=17$
系数化为1，得
$x=-17$
解析
【分析】
首先分析小明的解题过程：解一元一次方程去分母时，需根据等式的性质，给等式两边所有项都乘分母的最小公倍数，不能漏乘任意一项。原方程$\frac{2x-1}{3}=1-\frac{x+2}{4}$的分母最小公倍数是12，右边的常数项1也需要乘12，小明漏乘了该项，因此可快速定位错误步骤。
求解$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$时，按标准步骤推进：第一步找分母2和3的最小公倍数6，给所有项乘6去分母；第二步按去括号法则展开，注意负号的影响；第三步移项时注意变号；第四步合并同类项；第五步系数化为1即可得到解。
【解析】
1. 判断小明的错误：
原方程去分母时，等式两边应同时乘12，正确形式为$4(2x-1)=12-3(x+2)$，小明第①步中右侧常数项1未乘12，因此错在第①步，错误原因为去分母时漏乘了等式右边的常数项1。
2. 解方程$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$：
去分母：等式两边同时乘6，得 $3(x-3)-2(2x+1)=6$
去括号：展开括号得 $3x-9-4x-2=6$
移项：将常数项移到等式右侧，得 $3x-4x=6+9+2$
合并同类项：计算得 $-x=17$
系数化为1：两边同时除以$-1$，得 $x=-17$
【答案】
①；去分母时，等式两边同时乘12，漏乘了等式右边的常数项1；$x=-17$
【知识点】
一元一次方程解法，去分母法则，等式的性质
【点评】
本题主要考查一元一次方程的求解规则，去分母漏乘不含分母的项、去括号和移项时符号错误是这类题的常见易错点，熟练掌握每一步的运算要求就能避免失误。
【难度系数】
0.8
首先分析小明的解题过程：解一元一次方程去分母时，需根据等式的性质，给等式两边所有项都乘分母的最小公倍数，不能漏乘任意一项。原方程$\frac{2x-1}{3}=1-\frac{x+2}{4}$的分母最小公倍数是12，右边的常数项1也需要乘12，小明漏乘了该项，因此可快速定位错误步骤。
求解$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$时，按标准步骤推进：第一步找分母2和3的最小公倍数6，给所有项乘6去分母；第二步按去括号法则展开，注意负号的影响；第三步移项时注意变号；第四步合并同类项；第五步系数化为1即可得到解。
【解析】
1. 判断小明的错误：
原方程去分母时，等式两边应同时乘12，正确形式为$4(2x-1)=12-3(x+2)$，小明第①步中右侧常数项1未乘12，因此错在第①步，错误原因为去分母时漏乘了等式右边的常数项1。
2. 解方程$\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1$：
去分母：等式两边同时乘6，得 $3(x-3)-2(2x+1)=6$
去括号：展开括号得 $3x-9-4x-2=6$
移项：将常数项移到等式右侧，得 $3x-4x=6+9+2$
合并同类项：计算得 $-x=17$
系数化为1：两边同时除以$-1$，得 $x=-17$
【答案】
①；去分母时，等式两边同时乘12，漏乘了等式右边的常数项1；$x=-17$
【知识点】
一元一次方程解法，去分母法则，等式的性质
【点评】
本题主要考查一元一次方程的求解规则，去分母漏乘不含分母的项、去括号和移项时符号错误是这类题的常见易错点，熟练掌握每一步的运算要求就能避免失误。
【难度系数】
0.8
