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(1)分式方程$\frac{x-2}{x-3}=\frac{2}{x-3}$的解为(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
(1) C
解析
【分析】
要解分式方程，首先遵循分式方程的标准解题思路：第一步去分母，将分式方程转化为已经学过的整式方程求解；第二步解整式方程得到未知数的取值；第三步必须验根，因为去分母的过程可能产生让原方程分母为0的增根，增根需要舍去，最终才能得到原方程的正确解。
【解析】
解：原分式方程的最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘以$x-3$（需满足$x≠3$，否则原方程分母为0，无意义），得：
$x - 2 = 2$
移项计算得：$x = 2 + 2 = 4$
检验：将$x=4$代入最简公分母$x-3$，得$4-3=1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
若求解得到$x=3$，代入公分母得0，属于增根，需舍去。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程解法，分式方程验根，增根识别
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是部分同学解题时省略验根步骤，误将增根当做方程的解，解题时需牢记解分式方程最后必须完成验根步骤。
【难度系数】
0.8
要解分式方程，首先遵循分式方程的标准解题思路：第一步去分母，将分式方程转化为已经学过的整式方程求解；第二步解整式方程得到未知数的取值；第三步必须验根，因为去分母的过程可能产生让原方程分母为0的增根，增根需要舍去，最终才能得到原方程的正确解。
【解析】
解：原分式方程的最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘以$x-3$（需满足$x≠3$，否则原方程分母为0，无意义），得：
$x - 2 = 2$
移项计算得：$x = 2 + 2 = 4$
检验：将$x=4$代入最简公分母$x-3$，得$4-3=1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
若求解得到$x=3$，代入公分母得0，属于增根，需舍去。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程解法，分式方程验根，增根识别
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是部分同学解题时省略验根步骤，误将增根当做方程的解，解题时需牢记解分式方程最后必须完成验根步骤。
【难度系数】
0.8
(2)若分式$\frac{1}{5-x}$与分式$\frac{2}{2-3x}$的值互为相反数，则$x$的值为（
A.$-8$
B.$\frac{12}{5}$
C.$2$
D.$\frac{8}{5}$
B
）A.$-8$
B.$\frac{12}{5}$
C.$2$
D.$\frac{8}{5}$
答案
(2) B
解析
【分析】
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加等于0，据此我们可以列出关于x的分式方程。接下来按照分式方程的求解步骤：先去分母将其转化为整式方程，求解整式方程后，必须检验所得的解是否让原分式的分母不为0，排除增根后即可得到正确的x值。
【解析】
解：
∵分式$\frac{1}{5-x}$与$\frac{2}{2-3x}$互为相反数
∴根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$\frac{1}{5-x} + \frac{2}{2-3x} = 0$
方程两边同时乘以最简公分母$(5-x)(2-3x)$（此时默认$(5-x)(2-3x)≠0$，后续检验），去分母得：
$1×(2-3x) + 2×(5-x) = 0$
展开括号：
$2 - 3x + 10 - 2x = 0$
合并同类项：
$12 - 5x = 0$
移项得：
$5x = 12$
解得：$x = \frac{12}{5}$
检验：将$x = \frac{12}{5}$代入原方程分母，$5-x=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}≠0$，$2-3x=2-\frac{36}{5}=-\frac{26}{5}≠0$，分母均不为0，故$x=\frac{12}{5}$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
1.相反数的性质
2.分式方程的解法
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题的核心是先利用相反数的性质建立方程，需注意解分式方程最后必须验根，避免因增根导致结果错误。
【难度系数】
0.75
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加等于0，据此我们可以列出关于x的分式方程。接下来按照分式方程的求解步骤：先去分母将其转化为整式方程，求解整式方程后，必须检验所得的解是否让原分式的分母不为0，排除增根后即可得到正确的x值。
【解析】
解：
∵分式$\frac{1}{5-x}$与$\frac{2}{2-3x}$互为相反数
∴根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$\frac{1}{5-x} + \frac{2}{2-3x} = 0$
方程两边同时乘以最简公分母$(5-x)(2-3x)$（此时默认$(5-x)(2-3x)≠0$，后续检验），去分母得：
$1×(2-3x) + 2×(5-x) = 0$
展开括号：
$2 - 3x + 10 - 2x = 0$
合并同类项：
$12 - 5x = 0$
移项得：
$5x = 12$
解得：$x = \frac{12}{5}$
检验：将$x = \frac{12}{5}$代入原方程分母，$5-x=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}≠0$，$2-3x=2-\frac{36}{5}=-\frac{26}{5}≠0$，分母均不为0，故$x=\frac{12}{5}$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
1.相反数的性质
2.分式方程的解法
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题的核心是先利用相反数的性质建立方程，需注意解分式方程最后必须验根，避免因增根导致结果错误。
【难度系数】
0.75
(3)将分式方程$\frac{x-4}{x+1}=\frac{3}{x+1}-2$去分母化简后，得到的方程是（
A.$x-4=3-2$
B.$x-4=3-2x+1$
C.$x-4=3-2x+2$
D.$x-4=3-2x-2$
D
）A.$x-4=3-2$
B.$x-4=3-2x+1$
C.$x-4=3-2x+2$
D.$x-4=3-2x-2$
答案
(3) D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式方程去分母的规范步骤：第一步先确定所有分式的最简公分母，本题中两个分式的分母都是$x+1$，因此最简公分母为$x+1$；接下来给方程左右两边的每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项（本题中的常数项$-2$也要乘$x+1$）；最后对乘完的式子去括号，即可得到化简后的整式方程，再和选项对比就能选出答案。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$x+1$，
给方程两边同时乘以$x+1$（$x+1≠0$），得：
$(x+1)·\frac{x-4}{x+1}=(x+1)·\frac{3}{x+1} + (x+1)×(-2)$
约去分母后得：
$x-4 = 3 - 2(x+1)$
根据去括号法则（括号前是负号，括号内各项都要变号）展开右边，得：
$x-4 = 3 - 2x - 2$
和选项对比，对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程去分母
2.去括号法则
3.整式乘法运算
【点评】
本题是分式方程化简的基础题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是去括号时未注意括号前的负号导致符号出错，做题时要牢记每一项都要乘最简公分母，去括号时重点关注系数的符号。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆分式方程去分母的规范步骤：第一步先确定所有分式的最简公分母，本题中两个分式的分母都是$x+1$，因此最简公分母为$x+1$；接下来给方程左右两边的每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项（本题中的常数项$-2$也要乘$x+1$）；最后对乘完的式子去括号，即可得到化简后的整式方程，再和选项对比就能选出答案。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$x+1$，
给方程两边同时乘以$x+1$（$x+1≠0$），得：
$(x+1)·\frac{x-4}{x+1}=(x+1)·\frac{3}{x+1} + (x+1)×(-2)$
约去分母后得：
$x-4 = 3 - 2(x+1)$
根据去括号法则（括号前是负号，括号内各项都要变号）展开右边，得：
$x-4 = 3 - 2x - 2$
和选项对比，对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程去分母
2.去括号法则
3.整式乘法运算
【点评】
本题是分式方程化简的基础题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是去括号时未注意括号前的负号导致符号出错，做题时要牢记每一项都要乘最简公分母，去括号时重点关注系数的符号。
【难度系数】
0.7
(4)对于分式方程$\frac{x}{x-1} -1 = \frac{2}{x^2 -1}$，其解的情况是（
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-1$
D.无解
D
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-1$
D.无解
答案
(4) D
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根，避免出现增根。首先先确定方程中各分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，解出整式方程的根后，代入最简公分母验证，若公分母为0则该根是增根，原分式方程无解，否则为原方程的解。
【解析】
首先确定最简公分母为$x^2-1=(x+1)(x-1)$，
方程两边同时乘以$(x+1)(x-1)$，注意不要漏乘不含分母的项$-1$，得：
$x(x+1) - (x^2-1) = 2$
展开并化简左边：
$x^2 + x - x^2 + 1 = 2$
合并同类项得：$x + 1 = 2$
解得：$x = 1$
验根：将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，导致整式方程求解错误；二是解完整式方程后忘记验根，误将增根当作原方程的解。求解分式方程时验根是必不可少的步骤，需牢记。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根，避免出现增根。首先先确定方程中各分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，解出整式方程的根后，代入最简公分母验证，若公分母为0则该根是增根，原分式方程无解，否则为原方程的解。
【解析】
首先确定最简公分母为$x^2-1=(x+1)(x-1)$，
方程两边同时乘以$(x+1)(x-1)$，注意不要漏乘不含分母的项$-1$，得：
$x(x+1) - (x^2-1) = 2$
展开并化简左边：
$x^2 + x - x^2 + 1 = 2$
合并同类项得：$x + 1 = 2$
解得：$x = 1$
验根：将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，导致整式方程求解错误；二是解完整式方程后忘记验根，误将增根当作原方程的解。求解分式方程时验根是必不可少的步骤，需牢记。
【难度系数】
0.6
(5)若关于$x$的方程$\dfrac{2x - m}{x - 1} - \dfrac{3}{1 - x} = 1$的解是正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＞4$
B.$m＜4$
C.$m＞4$且$m≠5$
D.$m＜4$且$m≠1$
C
）A.$m＞4$
B.$m＜4$
C.$m＞4$且$m≠5$
D.$m＜4$且$m≠1$
答案
(5) C
解析
【分析】
要解决这道分式方程含参求范围的问题，可按以下思路思考：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的式子表示出方程的解；再根据“解是正数”列出关于m的不等式；最后注意分式方程有意义的前提是分母不为0，即解不能让原方程分母为0，结合两个限制条件即可求出m的取值范围。
【解析】
首先整理原方程，将分母统一：
$\dfrac{2x - m}{x - 1} + \dfrac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则分式无意义），去分母得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项求解整式方程：
$2x - x = m - 3 - 1$
解得$x = m - 4$
根据题意，方程的解是正数，因此：
$x＞0$，即$m - 4 ＞ 0$，解得$m ＞ 4$
又因为分母不能为0，即$x ≠ 1$，因此：
$m - 4 ≠ 1$，解得$m ≠ 5$
综上，m的取值范围是$m＞4$且$m≠5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程求解，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制条件，漏掉$m≠5$的情况导致错选，解决这类问题一定要记得检验解是否会使原分式无意义。
【难度系数】
0.7
要解决这道分式方程含参求范围的问题，可按以下思路思考：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的式子表示出方程的解；再根据“解是正数”列出关于m的不等式；最后注意分式方程有意义的前提是分母不为0，即解不能让原方程分母为0，结合两个限制条件即可求出m的取值范围。
【解析】
首先整理原方程，将分母统一：
$\dfrac{2x - m}{x - 1} + \dfrac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则分式无意义），去分母得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项求解整式方程：
$2x - x = m - 3 - 1$
解得$x = m - 4$
根据题意，方程的解是正数，因此：
$x＞0$，即$m - 4 ＞ 0$，解得$m ＞ 4$
又因为分母不能为0，即$x ≠ 1$，因此：
$m - 4 ≠ 1$，解得$m ≠ 5$
综上，m的取值范围是$m＞4$且$m≠5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程求解，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制条件，漏掉$m≠5$的情况导致错选，解决这类问题一定要记得检验解是否会使原分式无意义。
【难度系数】
0.7
(1)分式方程$\frac{2x}{x+1}=1$的解为$x=$
1
答案
(1) 1
解析
【分析】这是一道分式方程求解的基础题，解题思路是先通过去分母将分式方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解，由于去分母时可能会产生使原方程分母为0的增根，因此求解后必须检验所得的解是否满足原分式方程分母不为0的要求。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$x+1$，方程两边同时乘以$(x+1)$去分母，得：
$2x = x + 1$
移项得：$2x - x = 1$
合并同类项得：$x = 1$
检验：把$x=1$代入原方程的分母$x+1$，得$1+1=2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
1
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程的检验
【点评】
本题考察分式方程的常规求解步骤，属于基础类题目，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，求解后一定要检验所得根是否为增根。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$x+1$，方程两边同时乘以$(x+1)$去分母，得：
$2x = x + 1$
移项得：$2x - x = 1$
合并同类项得：$x = 1$
检验：把$x=1$代入原方程的分母$x+1$，得$1+1=2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
1
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程的检验
【点评】
本题考察分式方程的常规求解步骤，属于基础类题目，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，求解后一定要检验所得根是否为增根。
【难度系数】
0.8
(2)若关于$x$的方程$\frac{mx+1}{x}=8$的解为$x=\frac{1}{4}$，则$m=$
4
。答案
(2) 4
解析
【分析】
本题已知分式方程的解求参数值，解题核心是利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此只需将已知的解$x=\frac{1}{4}$代入原方程，就能得到一个仅含有参数$m$的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到$m$的值。
【解析】
∵ $ x=\frac{1}{4} $ 是方程 $ \frac{mx+1}{x}=8 $ 的解
∴ 将 $ x=\frac{1}{4} $ 代入原方程，等式成立，可得：
$ \frac{m×\frac{1}{4} + 1}{\frac{1}{4}} = 8 $
根据除法运算法则，除以一个数等于乘它的倒数，化简左边：
$ ( \frac{m}{4} + 1 ) × 4 = 8 $
去括号得：
$ m + 4 = 8 $
移项计算得：
$ m = 8 - 4 = 4 $
经检验，当$m=4$时，$x=\frac{1}{4}$满足原方程，结果正确。
【答案】
4
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的概念，将已知解代入原方程即可转化为常规的一元一次方程求解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
本题已知分式方程的解求参数值，解题核心是利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此只需将已知的解$x=\frac{1}{4}$代入原方程，就能得到一个仅含有参数$m$的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到$m$的值。
【解析】
∵ $ x=\frac{1}{4} $ 是方程 $ \frac{mx+1}{x}=8 $ 的解
∴ 将 $ x=\frac{1}{4} $ 代入原方程，等式成立，可得：
$ \frac{m×\frac{1}{4} + 1}{\frac{1}{4}} = 8 $
根据除法运算法则，除以一个数等于乘它的倒数，化简左边：
$ ( \frac{m}{4} + 1 ) × 4 = 8 $
去括号得：
$ m + 4 = 8 $
移项计算得：
$ m = 8 - 4 = 4 $
经检验，当$m=4$时，$x=\frac{1}{4}$满足原方程，结果正确。
【答案】
4
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的概念，将已知解代入原方程即可转化为常规的一元一次方程求解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
(3)解分式方程$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}=0$去分母时，方程两边同乘的最简公分母是
$x(x+1)$
。答案
(3) $x(x+1)$
解析
【分析】
要确定分式方程去分母时乘的最简公分母，首先要找出方程中所有分式的分母，再判断各分母的公因式情况：如果分母没有除1以外的公因式，最简公分母就是所有分母的乘积。本题先拆分得到两个分式的分母分别为x和x+1，判断二者无公因式后，直接相乘即可得到最简公分母。
【解析】
首先观察分式方程$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}=0$中两个分式的分母：分别为$x$和$x+1$。
由于$x$和$x+1$不存在除1之外的公因式，因此最简公分母为两个分母的乘积，即$x(x+1)$。
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
最简公分母的确定；分式方程去分母
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，考查最简公分母的确定方法，解题关键是先明确各分母的形式，若分母为已因式分解的整式且无公共因式，直接将各分母相乘即可得到最简公分母。
【难度系数】
0.9
要确定分式方程去分母时乘的最简公分母，首先要找出方程中所有分式的分母，再判断各分母的公因式情况：如果分母没有除1以外的公因式，最简公分母就是所有分母的乘积。本题先拆分得到两个分式的分母分别为x和x+1，判断二者无公因式后，直接相乘即可得到最简公分母。
【解析】
首先观察分式方程$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}=0$中两个分式的分母：分别为$x$和$x+1$。
由于$x$和$x+1$不存在除1之外的公因式，因此最简公分母为两个分母的乘积，即$x(x+1)$。
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
最简公分母的确定；分式方程去分母
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，考查最简公分母的确定方法，解题关键是先明确各分母的形式，若分母为已因式分解的整式且无公共因式，直接将各分母相乘即可得到最简公分母。
【难度系数】
0.9
(4)若关于x的分式方程$\frac{x}{x-3}=2-\frac{m}{x-3}$有增根，则增根是
$x=3$
，m=$-3$
。答案
(4) $x=3$，$-3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确分式方程增根的定义：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题思路分两步：第一步先根据分母为0确定增根的取值；第二步将增根代入去分母后的整式方程，即可求出m的值。
【解析】
1. 求增根：
分式方程的分母为$x-3$，根据增根的定义，令分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$，因此该分式方程的增根为$x=3$。
2. 求m的值：
先将分式方程去分母，方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（$x≠3$时），得：
$x = 2(x-3) - m$
已知增根$x=3$是上述整式方程的根，将$x=3$代入整式方程：
$3 = 2×(3-3) - m$
化简得$3 = -m$，解得$m=-3$。
【答案】
$x=3$，$-3$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，解题的关键是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程的分母为零，二是增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，结合这两个特征即可快速求解相关问题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确分式方程增根的定义：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题思路分两步：第一步先根据分母为0确定增根的取值；第二步将增根代入去分母后的整式方程，即可求出m的值。
【解析】
1. 求增根：
分式方程的分母为$x-3$，根据增根的定义，令分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$，因此该分式方程的增根为$x=3$。
2. 求m的值：
先将分式方程去分母，方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（$x≠3$时），得：
$x = 2(x-3) - m$
已知增根$x=3$是上述整式方程的根，将$x=3$代入整式方程：
$3 = 2×(3-3) - m$
化简得$3 = -m$，解得$m=-3$。
【答案】
$x=3$，$-3$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，解题的关键是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程的分母为零，二是增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，结合这两个特征即可快速求解相关问题。
【难度系数】
0.8
(5)若关于$x$的方程$\dfrac{5 - a}{x + 2} = \dfrac{x}{2 + x} + 3$无解，则$a=$
7
。答案
(5) 7
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。本题中先确定原方程的分母为$x+2$，因此增根只能是$x=-2$，接下来先去分母将分式方程转化为整式方程，再结合无解的条件计算$a$的值即可。
【解析】
原方程的最简公分母为$x+2$，给方程两边同时乘$x+2$（此时需满足$x≠ -2$），消去分母得：
$5 - a = x + 3(x + 2)$
展开并整理右边的式子：
$5 - a = 4x + 6$
变形用含$a$的式子表示$x$：
$4x = -a - 1$
$x = \dfrac{-a - 1}{4}$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原分式方程的增根，即$x = -2$，将$x=-2$代入上式：
$-2 = \dfrac{-a - 1}{4}$
两边同时乘4得：
$-8 = -a - 1$
解得：$a = 7$
【答案】
7
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程中求参数的典型基础题，解题核心是掌握分式方程无解的两类情形，优先验证增根的情况，将增根代入去分母后的整式方程即可快速求出参数，解题时要注意不要忽略分式分母不为0的前提。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。本题中先确定原方程的分母为$x+2$，因此增根只能是$x=-2$，接下来先去分母将分式方程转化为整式方程，再结合无解的条件计算$a$的值即可。
【解析】
原方程的最简公分母为$x+2$，给方程两边同时乘$x+2$（此时需满足$x≠ -2$），消去分母得：
$5 - a = x + 3(x + 2)$
展开并整理右边的式子：
$5 - a = 4x + 6$
变形用含$a$的式子表示$x$：
$4x = -a - 1$
$x = \dfrac{-a - 1}{4}$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原分式方程的增根，即$x = -2$，将$x=-2$代入上式：
$-2 = \dfrac{-a - 1}{4}$
两边同时乘4得：
$-8 = -a - 1$
解得：$a = 7$
【答案】
7
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程中求参数的典型基础题，解题核心是掌握分式方程无解的两类情形，优先验证增根的情况，将增根代入去分母后的整式方程即可快速求出参数，解题时要注意不要忽略分式分母不为0的前提。
【难度系数】
0.7
3. 解下列方程.
(1)$\frac{5}{x}=\frac{7}{x-2}$；
(2)$\frac{1}{x-1}=2-\frac{2x}{x+1}$；
(3)$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$；
(4)$\frac{2+x}{2-x}+\frac{16}{x^2-4}=-1$；
(5)$\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3x+3}+1$。
(1)$\frac{5}{x}=\frac{7}{x-2}$；
(2)$\frac{1}{x-1}=2-\frac{2x}{x+1}$；
(3)$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$；
(4)$\frac{2+x}{2-x}+\frac{16}{x^2-4}=-1$；
(5)$\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3x+3}+1$。
答案
(1)$x=-5$
(2)$x=3$
(3)$x=3$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(4)$x=2$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(5)$x=-\frac{3}{2}$
(2)$x=3$
(3)$x=3$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(4)$x=2$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(5)$x=-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用解题步骤为：①找最简公分母：先将各分式分母因式分解，确定所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘常数项；③解整式方程：按照移项、合并同类项等步骤求解未知数；④检验：将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，该根为增根需舍去，若最简公分母不为0，则该根为原方程的解，若所有根均为增根，则原方程无解。以下各题均按该步骤求解。
【解析】
(1) 最简公分母为$x(x-2)$，方程两边同时乘$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$）得：
$5(x-2)=7x$
展开得：$5x-10=7x$
移项合并同类项得：$-2x=10$
解得：$x=-5$
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)=(-5)×(-7)=35≠0$，故$x=-5$是原方程的解。
(2) 最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同时乘$(x-1)(x+1)$（$x≠\pm1$）得：
$x+1=2(x-1)(x+1)-2x(x-1)$
展开右边：$2(x^2-1)-2x^2+2x=2x^2-2-2x^2+2x=2x-2$
方程化简为：$x+1=2x-2$
移项得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x-1)(x+1)=2×4=8≠0$，故$x=3$是原方程的解。
(3) 先将右边分母变形：$\frac{1}{3-x}=-\frac{1}{x-3}$，原方程化为：
$\frac{2-x}{x-3}=-\frac{1}{x-3}-2$
最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$（$x≠3$）得：
$2-x=-1-2(x-3)$
展开右边：$-1-2x+6=5-2x$
方程化简为：$2-x=5-2x$
移项得：$x=3$
检验：当$x=3$时，最简公分母$x-3=0$，故$x=3$是增根，原分式方程无解。
(4) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$x^2-4$，方程两边同时乘$x^2-4$（$x≠\pm2$）得：
$-(2+x)(x+2)+16=-(x^2-4)$
展开左边：$-(x^2+4x+4)+16=-x^2-4x+12$
右边化简为：$-x^2+4$
方程化简为：$-x^2-4x+12=-x^2+4$
消去$-x^2$后移项得：$-4x=-8$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$x^2-4=0$，故$x=2$是增根，原分式方程无解。
(5) 先对分母变形：$3x+3=3(x+1)$，最简公分母为$3(x+1)$，方程两边同时乘$3(x+1)$（$x≠-1$）得：
$3x=2x+3(x+1)$
展开右边：$2x+3x+3=5x+3$
方程化简为：$3x=5x+3$
移项合并同类项得：$-2x=3$
解得：$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)=3×(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}≠0$，故$x=-\frac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-5$
(2)$x=3$
(3)$x=3$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(4)$x=2$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(5)$x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；整式方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础训练题，解题的关键是掌握去分母转化为整式方程的方法，尤其需要注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项；二是求解后必须检验增根，避免误将增根当做原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用解题步骤为：①找最简公分母：先将各分式分母因式分解，确定所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘常数项；③解整式方程：按照移项、合并同类项等步骤求解未知数；④检验：将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，该根为增根需舍去，若最简公分母不为0，则该根为原方程的解，若所有根均为增根，则原方程无解。以下各题均按该步骤求解。
【解析】
(1) 最简公分母为$x(x-2)$，方程两边同时乘$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$）得：
$5(x-2)=7x$
展开得：$5x-10=7x$
移项合并同类项得：$-2x=10$
解得：$x=-5$
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)=(-5)×(-7)=35≠0$，故$x=-5$是原方程的解。
(2) 最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同时乘$(x-1)(x+1)$（$x≠\pm1$）得：
$x+1=2(x-1)(x+1)-2x(x-1)$
展开右边：$2(x^2-1)-2x^2+2x=2x^2-2-2x^2+2x=2x-2$
方程化简为：$x+1=2x-2$
移项得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x-1)(x+1)=2×4=8≠0$，故$x=3$是原方程的解。
(3) 先将右边分母变形：$\frac{1}{3-x}=-\frac{1}{x-3}$，原方程化为：
$\frac{2-x}{x-3}=-\frac{1}{x-3}-2$
最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$（$x≠3$）得：
$2-x=-1-2(x-3)$
展开右边：$-1-2x+6=5-2x$
方程化简为：$2-x=5-2x$
移项得：$x=3$
检验：当$x=3$时，最简公分母$x-3=0$，故$x=3$是增根，原分式方程无解。
(4) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$x^2-4$，方程两边同时乘$x^2-4$（$x≠\pm2$）得：
$-(2+x)(x+2)+16=-(x^2-4)$
展开左边：$-(x^2+4x+4)+16=-x^2-4x+12$
右边化简为：$-x^2+4$
方程化简为：$-x^2-4x+12=-x^2+4$
消去$-x^2$后移项得：$-4x=-8$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$x^2-4=0$，故$x=2$是增根，原分式方程无解。
(5) 先对分母变形：$3x+3=3(x+1)$，最简公分母为$3(x+1)$，方程两边同时乘$3(x+1)$（$x≠-1$）得：
$3x=2x+3(x+1)$
展开右边：$2x+3x+3=5x+3$
方程化简为：$3x=5x+3$
移项合并同类项得：$-2x=3$
解得：$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)=3×(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}≠0$，故$x=-\frac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-5$
(2)$x=3$
(3)$x=3$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(4)$x=2$为原分式方程的增根，原分式方程无解
(5)$x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；整式方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础训练题，解题的关键是掌握去分母转化为整式方程的方法，尤其需要注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项；二是求解后必须检验增根，避免误将增根当做原方程的解。
【难度系数】
0.7
